Limiti notevoli

[Bad90]

Ho il seguente limite notevole:

$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = 0 $

Non capisco come fa a compiere i seguenti passaggi:

$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = lim_(x -> 0) ((1-cosx)*(1+cosx))/(x*(1+cosx)) $

Perchè ha moltiplicato per $ 1+cosx $

Che poi diventa così, mi sembra ovvio:

$ lim_(x -> 0)(sen^2x)/(x(1+cosx)) $

E poi come fa ad ottenere questo?

$ lim_(x -> 0)((senx)/x*senx*1/(1+cosx)) = 1*0*1/2 = 0 $

[Bad90]

Esercizio 1

Non sto riuscendo a risolvere il seguente limite:

$ lim_(x -> 0) (x-sen^2x)/(x+sen^2x) $

Il testo mi dice che il risultato deve essere $1$!

Come devo fare a risolverlo???

[Bad90]

Esercizio 2

Ma come devo risolvere il seguente:

$ lim_(x -> 0) (2cosx(1-cosx))/(3sen^2x) $

Il testo mi dice che il risultato deve essere $1/3$

Come devo risolverlo??

[giammaria2]

Esercizio 1
Metti in evidenza $x$, così:
$=lim_(x->0)(x(1-(sin^2x)/x))/(x(1+(sin^2x)/x^2))=...$

Esercizio 2
Puoi ricorrere ad uno dei seguenti due metodi:
a) Quando dà problemi il fattore $1-cosx$ si ricorre ad una specie di razionalizzazione, moltiplicando tutto per una frazione che abbia a numeratore e denominatore $1+cosx$. In uno dei due questo fattore viene lasciato indicato (o, in alternativa, ne calcoli il limite che è $1+1=2$), mentre nell'altro calcoli

$(1-cosx)(1+cosx)=1-cos^2x=sin^2x$

b) Fai uso del limite notevole $lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$. Per avere $x^2$ a denominatore dividiamo per $x^2$ sopra e sotto:

$=lim_(x->0)(2cosx(1-cosx)/x^2)/(3(sin^2x)/x^2)=(2*1*1/2)/(3*1^2)=1/3$

[Bad90]

Esercizio 3

Come posso risolvere il seguente limite???

$ lim_(x -> 0) (1+x)^(5/x) $

Ho pensato di fare cosi':

$ lim_(x -> 0) ((1+x)/x)^(5/x) $

$ lim_(x -> 0) (e)^(5/x) $

Sfruttando il limite notevole, ok, ma poi il testo mi dice che il risultato deve essere $ e^5$

Cone devo fare per arrivarci???

Il Testo mi consiglia di utilizzare dei limiti notevoli, ma non mi spiega il perchè e di come si opera con questo tipo di limiti!?!?!?

C'e ne anche un altro:

$ lim_(x -> oo) (1+2/x)^x $

Bene, e come faccio a capire come si risolve
Il risultato è $ e^2 $

Ma come fa a finire quel $ 2 $ alla potenza di $ e $

[giammaria2]

$lim_(x->0)(1+x)^(5/x)=lim_(x->0)[(1+x)^(1/x)]^5=[lim_(x->0)(1+x)^(1/x)]^5=e^5$

Altro esercizio: con la sostituzione $x=2u$ ottieni
$lim_(u->oo)(1+1/u)^(2u)$
e poi lavori in modo del tutto analogo al precedente.

[Bad90]

Ma scusami, per il secondo esercizio, quali sono i passaggi per arrivare alla soluzione?
A me sembra gia' un limite notevole, giusto??

Come hai fatto a portare quel due alla potenza??????

$lim_(u->oo)(1+1/u)^(2u)$

[burm87]

L'esercizio a cui si riferisce è questo:
$lim_(x->oo)(1+2/x)^x$.
Se poni $x=2u$ ottieni: che per $x->oo$ anche $u->oo$ e sostituendo nel limite hai $lim_(u->oo)(1+1/u)^(2u)$.

[Bad90]

"burm87":L'esercizio a cui si riferisce è questo:
$lim_(x->oo)(1+2/x)^x$.
Se poni $x=2u$ ottieni: che per $x->oo$ anche $u->oo$ e sostituendo nel limite hai $lim_(u->oo)(1+1/u)^(2u)$.

Ti ringrazio, adesso ho capito

[Bad90]

Esercizio guidato

Non sto capendo il seguente esercizio guidato, calcolare il seguente limite:

$ lim_(x -> oo) (n/(3+n))^(5n) $

Dice il testo che si tratta di una forma di indeterminazione del tipo $ [1^oo] $ , (questo non mi è tanto chiaro).

Poi fa questa serie di passaggi che non sto proprio capendo come vengono svolti:

$ (n/(3+n))^(5n+1)= 1/(1+3/n)^(5n+1)=...... $

Ma cosa ha fatto Ha moltimplicato per $-1$, ma come si possono replicare questi passaggi? Io non sto riuscendo a capire come ha fatto!

Poi proseguendo:

$ ....=1/[(1+3/n)^(n/3)]^((3(5n+1))/n $

E cosa è successo qua???

E poi scrive che:

$ ....-= 1/[(1+3/a_n)^(a_n)]^(b_n) $

Ok, qui a sostituito $ a_n = n/3 $

E alla fine mi dice che per un Teorema, la successione entro le parentesi quadre, tende a $ e $ , mentre l'esponente:

$ b_n = ((3(5n+1))/(n))->15 $ (Come ha fatto?)

Conclude che il limite cercato è $ 1/e^(15) $

AIUTOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

[giammaria2]

"Bad90": $ lim_(x -> oo) (n/(3+n))^(5n) $
Dice il testo che si tratta di una forma di indeterminazione del tipo $ [1^oo] $

Che l'esponente tenda ad infinito penso ti sia chiaro; che la base tenda ad 1 possiamo vederlo sia pensando che per $n$ grandissimo numeratore e denominatore sono praticamente uguali, sia calcolandolo veramente:
$lim_(n->oo)n/(n+3)=lim_(n->oo)n/(n(1+3/n))=lim_(n->oo)1/(1+3/n)=1$

Poi fa questa serie di passaggi che non sto proprio capendo come vengono svolti:

$ (n/(3+n))^(5n+1)= 1/(1+3/n)^(5n+1)=...... $

Ha invertito due volte, sia portando a denominatore che capovolgendo la frazione ed ha saltato un passaggio, che aggiungo:
$ (n/(3+n))^(5n+1)= 1/((n+3)/n)^(5n+1)=1/(1+3/n)^(5n+1)=...... $

$ ....=1/[(1+3/n)^(n/3)]^((3(5n+1))/n $
E cosa è successo qua???

Sta cercando di ottenere il limite fondamentale $lim_(x->oo)(1+1/x)^x=e$. Lo si studia così, ma pensando alle sostituzioni (senza farle veramente) si vede che al posto di $1/x$ possono esserci formule come $5/x^2$ oppure $3/(7x)$ o altro: purché tendano a zero e ad esponente ci sia la stessa cosa capovolta, il limite è sempre $e$. Qui c'era $3/n$, quindi ad esponente vuole $n/3$; non c'è, quindi modifica l'esponente scrivendolo come
$n/3*3/n*(5n+1)$
Per una proprietà delle potenze, $a^(p*q)=(a^p)^q$, quindi lascia $n/3$ nel punto in cui lo voleva, elevando il tutto a quello che resta nell'esponente.
A questo punto ha ottenuto dentro alla quadra quello che voleva e che sa tendente ad $e$; basta calcolare a cosa tende l'esponente. Penso proprio che tu sappia calcolare che
$lim_(n->oo) (3(5n+1))/n=15$

[Bad90]

Scusami, ma non sto capenedo questo:

Qui c'era $3/n$, quindi ad esponente vuole $n/3$

Che fosa significa?
Quale proprieta' e'?
Ho visto che capitano spesso questi passaggi, ma non capisco che regola e', non mi ricordo di averla mai utilizzata!??!
Si potrebbe fare un esempio???

P.S. Appena chiariamo questo concetto, posto la soluzione del limite

[giammaria2]

Come ho accennato, è una sostituzione fatta a mente: ho $3/n$ e vorrei $1/x$, quindi pongo $3/n=1/x$. Se vuoi puoi ricavare da qui $n=3x$, ma non è necessario: si subito che per $n->oo$ si ha anche $x->oo$ e che, capovolgendo le due frazioni, si ha $n/3=x$. Quindi
$lim_(n->oo)(1+3/n)^(n/3)=lim_(x->oo)(1+1/x)^x=e$

Ripeto la mia frase: al posto di $1/x$ possono esserci formule come$ 5/x^2$ oppure $3/(7x)$ o altro: purché tendano a zero e ad esponente ci sia la stessa cosa capovolta, il limite è sempre $e$.

[Bad90]

Ecco come ho risolto il seguente limite:

$lim_(n->oo) (3(5n+1))/n=15$

$ |(3(5n+1))/n - 15|
$ |3/n|
Adesso porto al numeratore la variabile:

$ |n/3|>1/epsilon $

$ |n|>3/epsilon $

Cioè

$ n>3/epsilon $

$ n<-3/epsilon $

E adesso cosa dovrei dire ancora

[giammaria2]

Niente; hai già detto anche troppo perché hai verificato il limite mentre bastava calcolarlo. Il calcolo poteva anche farsi a mente con qualche mezzuccio; scritto per esteso era
$lim_(n->oo)(3(5n+1))/n=lim_(n->oo)(3n(5+1/n))/n=15$

[Bad90]

Perfetto

[Bad90]

Non sto capendo i passaggi che fa ne le seguente limite:

$ lim_(x -> +oo) root(n)n = [oo^0] $

Il testo mi scrive i seguenti passaggi:

$ root(n)n = n^(1/n) = e^(logn^(1/n)) = e^(logn/n) $

Ma come ha fatto a passare da questo:

$ n^(1/n) $

A questo?

$ e^(logn^(1/n)) $



E alla fine come ha fatto a scrivere questo??

$e^(logn/n)$

Forse ha potuto scrivere la potenza in quel modo, perchè ha fatto i seguenti passaggi per la potenza?

$ (logn^(1/n)) = (logn^(n^-1)) = (logn/n) $

[burm87]

$f(x)^(g(x))=e^(lnf(x)^(g(x)))=e^(g(x)lnf(x)$

[Bad90]

"burm87":$f(x)^(g(x))=e^(lnf(x)^(g(x)))=e^(g(x)lnf(x)$

E che proprieta' o regola e'??

[burm87]

La avevamo già vista altrove, non ricordo in che topic. Il primo passaggio semplicemente esprime l'espressione tramite un esponenziale, il secondo passaggio applica una proprietà dei logaritmi.

[Bad90]

"burm87":La avevamo già vista altrove, non ricordo in che topic. Il primo passaggio semplicemente esprime l'espressione tramite un esponenziale, il secondo passaggio applica una proprietà dei logaritmi.