Limiti notevoli

[Bad90]

Ho il seguente limite notevole:

$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = 0 $

Non capisco come fa a compiere i seguenti passaggi:

$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = lim_(x -> 0) ((1-cosx)*(1+cosx))/(x*(1+cosx)) $

Perchè ha moltiplicato per $ 1+cosx $

Che poi diventa così, mi sembra ovvio:

$ lim_(x -> 0)(sen^2x)/(x(1+cosx)) $

E poi come fa ad ottenere questo?

$ lim_(x -> 0)((senx)/x*senx*1/(1+cosx)) = 1*0*1/2 = 0 $

[Bad90]

"giammaria":
Per quanto riguarda le altre ipotesi di cui parla burm87, ci sono (è rarissimo che intervengano), ma non è del tutto vero che la derivata del denominatore non deve annullarsi: ad esempio il teorema si applica anche per calcolare
$lim_(x->0)(x-sinx)/x^3$

Vorrei capire meglio quanto detto

[burm87]

Ecco, ricordavo male anche quello che pensavo di ricordare bene

In questo caso la derivata del denominatore nel punto $x=0$ si annulla.

[giammaria2]

Non ricordavi male; la mia frase si prestava ad equivocare. Dicendo che "non è del tutto vero" intendevo che è solo una mezza verità, non che è completamente falso.

[Bad90]

Dite che è corretto lo svolgimento della derivata del seguente limite?

$ lim_(x -> 0)[logsen x^2 - log(1-cosx)] $

Per le proprietà dei logaritmi, lo posso scrivere nel seguente modo:

$ lim_(x -> 0)[log((sen x^2) /(1-cosx))] $

Derivando avrò:

$ lim_(x -> 0)[log((2 sen x cosx) /(senx))] = lim_(x -> 0)[log(2 cosx)]= lim_(x -> 0)[log(2 *1)] = log2$

[chiaraotta1]

Non mi è chiara la scrittura. Con $senx^2$ intendi $(sen x)^2$ e cioè $sen^2x$ oppure $sen(x^2)$?

[Bad90]

"chiaraotta":Non mi è chiara la scrittura. Con $senx^2$ intendi $(sen x)^2$ e cioè $sen^2x$ oppure $sen(x^2)$?

Intendo $sen(x^2)$

[chiaraotta1]

Allora la derivata è
$D[sen(x^2)]=2xcos(x^2)!=2senxcosx$