Limiti notevoli
Ho il seguente limite notevole:
$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = 0 $
Non capisco come fa a compiere i seguenti passaggi:
$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = lim_(x -> 0) ((1-cosx)*(1+cosx))/(x*(1+cosx)) $
Perchè ha moltiplicato per $ 1+cosx $
Che poi diventa così, mi sembra ovvio:
$ lim_(x -> 0)(sen^2x)/(x(1+cosx)) $
E poi come fa ad ottenere questo?
$ lim_(x -> 0)((senx)/x*senx*1/(1+cosx)) = 1*0*1/2 = 0 $
$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = 0 $
Non capisco come fa a compiere i seguenti passaggi:
$ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x = lim_(x -> 0) ((1-cosx)*(1+cosx))/(x*(1+cosx)) $
Perchè ha moltiplicato per $ 1+cosx $
Che poi diventa così, mi sembra ovvio:
$ lim_(x -> 0)(sen^2x)/(x(1+cosx)) $
E poi come fa ad ottenere questo?
$ lim_(x -> 0)((senx)/x*senx*1/(1+cosx)) = 1*0*1/2 = 0 $
Risposte
Ora dovresti essere capace di risolvere anche tutti gli altri.
Li ho capiti tutti, tranne il seguente:
$ lim_(x -> 1^-) (-x)/(|x|*sqrt(1-x^2)) $
Come faccio a dire che vale $-oo $
$ lim_(x -> 1^-) (-x)/(|x|*sqrt(1-x^2)) $
Come faccio a dire che vale $-oo $
Dopo la semplificazione la funzione diventa $(-1)/sqrt(1-x^2)$.
$1^-$ al quadrato fa $1^-$ e quindi dalla radice uscirà uno $0^+$. $(-1)/0^+$ va a $-oo$.
$1^-$ al quadrato fa $1^-$ e quindi dalla radice uscirà uno $0^+$. $(-1)/0^+$ va a $-oo$.
Ho un limite che non mi e' tanto chiaro:
$ lim_(x -> 2) (1)/(3root(3)((x-2)^2) $
Il testo mi dice che deve essere $+- oo$, vorrei capire il perche'!
Se io pongo il valore di $x=2$, avro' il seguente limite:
$ lim_(x -> 2) (1)/(3root(3)((2-2)^2) $
Il che mi porterebbe ad un seguente valore:
$ lim_(x->2) (1)/(0) = 0 $
Perche' dice che deve essere $+-oo$ ???
$ lim_(x -> 2) (1)/(3root(3)((x-2)^2) $
Il testo mi dice che deve essere $+- oo$, vorrei capire il perche'!
Se io pongo il valore di $x=2$, avro' il seguente limite:
$ lim_(x -> 2) (1)/(3root(3)((2-2)^2) $
Il che mi porterebbe ad un seguente valore:
$ lim_(x->2) (1)/(0) = 0 $
Perche' dice che deve essere $+-oo$ ???
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{0} = +\infty \)
Se sotto la radice non ci fosse il quadrato allora sarebbe \(\pm \infty \).
Se sotto la radice non ci fosse il quadrato allora sarebbe \(\pm \infty \).
"marcoumbrello":
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{0} = +\infty \)
Se sotto la radice non ci fosse il quadrato allora sarebbe \(\pm \infty \).
Allora ci sarà un errore di stampa
Allora ho intuito correttamente che c' è un errore, perchè se al denominatore il valore tende ad essere sempre più piccolo, al numeratore avrò un valore unitario, vorrà dire $+oo$ e non $+-oo$, giusto
Si ma ricordati di fare attenzione ai segni, se prendi ad esempio \(\displaystyle \frac{1}{x} \) il limite destro sarà diverso da quello sinistro (si tratta di un'iperbole equilatera)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = + \infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x} = - \infty \)
se invece come nel tuo caso hai \(\displaystyle \frac{1}{x^2} \) allora il denominatore è sempre maggiore di zero, dunque
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x^2} = + \infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = + \infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x} = - \infty \)
se invece come nel tuo caso hai \(\displaystyle \frac{1}{x^2} \) allora il denominatore è sempre maggiore di zero, dunque
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x^2} = + \infty \)
Ok, ti ringrazio 
Chi mi aiuta cortesemente a capire come è stato svolto il seguente limite?
E' nella forma $ (oo)/(oo) $
$ lim_(x -> 0^+) (ln(3x))/(ln(5x)) $
Come si risolve
Il testo mi dice che si risolve in questo modo:
$ lim_(x -> 0^+) ((3)/(3x))/((5)/(5x)) = lim_(x -> 0^+) 1=1 $
Ma cosa ha fatto
E' nella forma $ (oo)/(oo) $
$ lim_(x -> 0^+) (ln(3x))/(ln(5x)) $
Come si risolve
Il testo mi dice che si risolve in questo modo:
$ lim_(x -> 0^+) ((3)/(3x))/((5)/(5x)) = lim_(x -> 0^+) 1=1 $
Ma cosa ha fatto
"Bad90":
Chi mi aiuta cortesemente a capire come è stato svolto il seguente limite?
E' nella forma $ (oo)/(oo) $
$ lim_(x -> 0^+) (ln(3x))/(ln(5x)) $
Come si risolve
Il testo mi dice che si risolve in questo modo:
$ lim_(x -> 0^+) ((3)/(3x))/((5)/(5x)) = lim_(x -> 0^+) 1=1 $
Ma cosa ha fatto
è la regola di De L'Hopital
Potresti aiutarmi a capirla?
Insomma, si potrebbero replicare i passaggi
Insomma, si potrebbero replicare i passaggi
Hai già studiato quel teorema? In caso negativo, lascia stare questi esercizi finché non lo conoscerai. In caso affermativo, dov'è la difficoltà?
"giammaria":
Hai già studiato quel teorema? In caso negativo, lascia stare questi esercizi finché non lo conoscerai. In caso affermativo, dov'è la difficoltà?
Si, l'ho visto proprio adesso e non mi sembra sia tanto complicato....
Provo a dire cosa ho compreso...
Mi sembra di aver capito che se ho un limite di una frazione del tipo:
$ lim_(x -> a)(f(x))/(g(x)) $
Per risolverlo, basta derivare numeratore e denominatore in questo modo:
$ lim_(x -> a)(f(x))/(g(x)) = lim_(x -> a)(f'(x))/(g'(x)) $
"Bad90":
Potresti aiutarmi a capirla?
Insomma, si potrebbero replicare i passaggi
Non sono un moderatore e non so se posso farlo, comunque sia, la regola di De L'Hopital dice che se il limite di una funzione derivabile si presenta nella forma inderterminata $infty/infty$ o $0/0$ allora si può risolvere facendo la derivata del numeratore fratto la derivata del denominatore.
"Ev3nt":
[quote="Bad90"]Potresti aiutarmi a capirla?
Insomma, si potrebbero replicare i passaggi
Non sono un moderatore e non so se posso farlo, comunque sia, la regola di De L'Hopital dice che se il limite di una funzione derivabile si presenta nella forma inderterminata $infty/infty$ o $0/0$ allora si può risolvere facendo la derivata del numeratore fratto la derivata del denominatore.[/quote]
Allora la regola di De L'Hospital, consiste solo in questo?
In realtà manca qualche ipotesi, come per esempio che la derivata del denominatore deve essere non nulla, e qualche altra che di sicuro dimentico. Ma ai fini dell'utilizzo della regola credo che questo possa esserti sufficiente.
"burm87":
In realtà manca qualche ipotesi, come per esempio che la derivata del denominatore deve essere non nulla, e qualche altra che di sicuro dimentico. Ma ai fini dell'utilizzo della regola credo che questo possa esserti sufficiente.
Ok, allora è semplice da capire
"burm87":
In realtà manca qualche ipotesi, come per esempio che la derivata del denominatore deve essere non nulla, e qualche altra che di sicuro dimentico. Ma ai fini dell'utilizzo della regola credo che questo possa esserti sufficiente.
chiedo venia...ho dato una definizione frettolosa
"Ev3nt":
[quote="burm87"]In realtà manca qualche ipotesi, come per esempio che la derivata del denominatore deve essere non nulla, e qualche altra che di sicuro dimentico. Ma ai fini dell'utilizzo della regola credo che questo possa esserti sufficiente.
chiedo venia...ho dato una definizione frettolosa[/quote]
No no, andava benissimo ai fini di far capire rapidamente il funzionamento. Poi come ho detto sicuro dimentico anche io qualche ipotesi
"Ev3nt":
Non sono un moderatore e non so se posso farlo...
Certo che puoi! Anzi, è molto gradito che gli utenti collaborino fra loro con spiegazioni, suggerimenti ed aiuti di vario genere; l'unica cosa che è bene evitare (anche da parte dei moderatori) è di svolgere sempre e completamente gli esercizi, perché chi ha posto la domanda si limiterebbe a copiarne la soluzione, senza imparare niente.
Per quanto riguarda le altre ipotesi di cui parla burm87, ci sono (è rarissimo che intervengano), ma non è del tutto vero che la derivata del denominatore non deve annullarsi: ad esempio il teorema si applica anche per calcolare
$lim_(x->0)(x-sinx)/x^3$
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