Le domandine idiote di sana
X.x ehm si scusate ..!
E' ke ho un dubbio proprio stupido e nn riesco a convincermene
5*10^(-3) ...quanto e'?
-Sana-
E' ke ho un dubbio proprio stupido e nn riesco a convincermene
5*10^(-3) ...quanto e'?
-Sana-
Risposte
Ma è chiaro che devi prima esprimere x in funzione
di t per calcolare i differenziali!!
$1-x=t
$x=1-t
$dx=-dt
A questo punto si ha:
$int (-(2(1-t)+6)t^(-4))dt=...
di t per calcolare i differenziali!!
$1-x=t
$x=1-t
$dx=-dt
A questo punto si ha:
$int (-(2(1-t)+6)t^(-4))dt=...
2x+6 = -(-2x-6) = - [2*(1-x)-8] = -(2t-8)
ora puoi mettere il - fuori dall'integrale e spezzare l'integrale in due... ti torna?
ora puoi mettere il - fuori dall'integrale e spezzare l'integrale in due... ti torna?
sì ^__^ ci sono riuscita anch'io!
Grazie tante!!!
PS: Peppe! Illinois, eh!? Mi torna in mente Hemingway! L'ho studiato ed è nato lì! eheheh!
grazie a tutti
Grazie tante!!!
PS: Peppe! Illinois, eh!? Mi torna in mente Hemingway! L'ho studiato ed è nato lì! eheheh!
grazie a tutti
Considerato il rettangolo ABCD dove AB=a.
Condurre per B la perpendicolare alla retta AC e chiamare H ed E i punti in cui essa taglia AC e il prolungamento di AD. Condurre la perpendicolare per H e su di essa prendere P tale che HP=6AE (in prtica HP è l'altezza della piramide).
Esprimere il VOLUME della piramide che ha per vertice P e per base il quadrilatero HDEC
il volume di una piramide è
V=$1/3S(b)*h$
cioè 1/3 per la superficie di base per l'altezza...
l'altezza sappiamo che è HP = 6AE
e la base consiste in quel quadrilatero HDEC...
la prof ci ha fatto chiamare quell'angolo che vedete nel disegno alfa...
qualcuno può spiegarmi perchè
AE = a*tg alfa?
e comunque, può dirmi come si fa a trovare l'area di base della piramide, così da poter ricavare poi il volume della stessa?
grazie grazie anticipatamente *fa inchini teatrali*
Condurre per B la perpendicolare alla retta AC e chiamare H ed E i punti in cui essa taglia AC e il prolungamento di AD. Condurre la perpendicolare per H e su di essa prendere P tale che HP=6AE (in prtica HP è l'altezza della piramide).
Esprimere il VOLUME della piramide che ha per vertice P e per base il quadrilatero HDEC
il volume di una piramide è
V=$1/3S(b)*h$
cioè 1/3 per la superficie di base per l'altezza...
l'altezza sappiamo che è HP = 6AE
e la base consiste in quel quadrilatero HDEC...
la prof ci ha fatto chiamare quell'angolo che vedete nel disegno alfa...
qualcuno può spiegarmi perchè
AE = a*tg alfa?
e comunque, può dirmi come si fa a trovare l'area di base della piramide, così da poter ricavare poi il volume della stessa?
grazie grazie anticipatamente *fa inchini teatrali*
qualcuno può spiegarmi perchè
AE = a*tg alfa?
Perchè in un triangolo rettangolo (ABE) la misura di un cateto (AE) è uguale a quella dell'altro cateto (AB) moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al primo ($alpha$)
AE = a*tg alfa?
Perchè in un triangolo rettangolo (ABE) la misura di un cateto (AE) è uguale a quella dell'altro cateto (AB) moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al primo ($alpha$)
Grazie Leo!
Ciaooooo!!!!!!!
Mettete che io abbia un circuito...con una certa forza elettromotrice f...poi
c'è un condensatore (C), una resistenza (R) ed una induttanza (L).
Scrivere l'equazione del circuito...
come si fa?
la prof ci aveva accennato di cominciare con
V = iR (legge di Ohm)
quindi
$f-L(di)/(dt)-q/c=iR
andando avanti, a me è risultato:
$i=f/R-A/R*e^(-R/L*t)-q/(CR)
dove A = +e $ e $-e$
è giusto?
ma una domanda, poi...
come ha fatto a decidere di "iniziare" con
$f-L(di)/(dt)-q/c=iR
?
cioè, iR lo capisco, dalla legge di Ohm...ma quello che c'è prima? Come fa a "sostituire" la V?
Grazie *si inchina 7 volte*
Mettete che io abbia un circuito...con una certa forza elettromotrice f...poi
c'è un condensatore (C), una resistenza (R) ed una induttanza (L).
Scrivere l'equazione del circuito...
come si fa?
la prof ci aveva accennato di cominciare con
V = iR (legge di Ohm)
quindi
$f-L(di)/(dt)-q/c=iR
andando avanti, a me è risultato:
$i=f/R-A/R*e^(-R/L*t)-q/(CR)
dove A = +e $ e $-e$
è giusto?
ma una domanda, poi...
come ha fatto a decidere di "iniziare" con
$f-L(di)/(dt)-q/c=iR
?
cioè, iR lo capisco, dalla legge di Ohm...ma quello che c'è prima? Come fa a "sostituire" la V?
Grazie *si inchina 7 volte*
Dato un circuito RLC, applichiamo la 2° legge di Kirchhoff:
$cc E=iR+L(di)/(dt)+q/C$
$cc E=L(d^2q)/(dt^2)+R(dq)/(dt)+q/C$
Devi risolvere questa equazione differenziale.
Avete fatto le equazioni differenziali?
$cc E=iR+L(di)/(dt)+q/C$
$cc E=L(d^2q)/(dt^2)+R(dq)/(dt)+q/C$
Devi risolvere questa equazione differenziale.
Avete fatto le equazioni differenziali?
Cavoli! Ma hai fatto questa roba a scuola? No, perchè per risolvere l'equazione del circuito devi saper risolvere le equazioni differenziali lineari...
Come ha detto giuseppe, la formula della prof è giusta, ma la soluzione purtroppo è sbagliata, ma a parte farti notare che q e i non sono affatto indipendenti tra loro, francamente non so spiegartelo elementarmente (è la soluzione generale di un'equazione differenziale)...
Come ha detto giuseppe, la formula della prof è giusta, ma la soluzione purtroppo è sbagliata, ma a parte farti notare che q e i non sono affatto indipendenti tra loro, francamente non so spiegartelo elementarmente (è la soluzione generale di un'equazione differenziale)...
Zao peppeeeeee! grazie per l'aiutooo! Grazie amel!
Beh ce le ha accennate la volta scorsa...
ha parlato di "equazione differenziale di prim'ordine" ...equazione perchè ha un'incognita, la i...
differenziale perchè, oltre alle i, compare la derivata...
e di prim'ordine perchè...la derivata che compare è una derivata prima.
Prima avevamo un circuito RL e, chiedendo sempre l'equazione del circuito, ha iniziato facendo
$V = iR
$f-L(di)/(dt)=iR
ed è risultato
$i=f/R-A/R*e^(-R/Lt)
dove A = più o meno e
...e poi ci ha fatto trovare questa A ponendo
{t=0
{i(o)=0
quindi sostituendo.
Ma ...
perchè se il circuito era RL si iniziava con
$f-L(di)/(dt)=iR
mentre con quello che devo fare io, circuito RCL, si comincia con
$f-L(di)/(dt)-q/c=iR
?
Non ho capito proprio che ragionamento si debba usare per scrivere una cosa del genere...
Beh ce le ha accennate la volta scorsa...
ha parlato di "equazione differenziale di prim'ordine" ...equazione perchè ha un'incognita, la i...
differenziale perchè, oltre alle i, compare la derivata...
e di prim'ordine perchè...la derivata che compare è una derivata prima.
Prima avevamo un circuito RL e, chiedendo sempre l'equazione del circuito, ha iniziato facendo
$V = iR
$f-L(di)/(dt)=iR
ed è risultato
$i=f/R-A/R*e^(-R/Lt)
dove A = più o meno e
...e poi ci ha fatto trovare questa A ponendo
{t=0
{i(o)=0
quindi sostituendo.
Ma ...
perchè se il circuito era RL si iniziava con
$f-L(di)/(dt)=iR
mentre con quello che devo fare io, circuito RCL, si comincia con
$f-L(di)/(dt)-q/c=iR
?
Non ho capito proprio che ragionamento si debba usare per scrivere una cosa del genere...
L'equazione è così perchè c'è:
- il contributo della d.d.p. relativa al generatore f;
- il contributo della d.d.p. relativa al resistore -iR;
- il contributo della d.d.p. relativa al condensatore $-q/C$ (si ricava direttamente dalla definizione di capacità, costante di proporzionalità che lega d.d.p. e carica sui piatti);
- il contributo della d.d.p. relativa all'induttore $-L(di)/(dt)$ (dalla definizione di induttanza).
Sommi il tutto e per la legge di Kirchoff deve essere uguale a 0... Se vuoi una spiegazione più dettagliata chiedi...
P.S.: In tal caso, non puoi più ricavare i come soluzione direttamente perchè qui compare esplicitamente q e i è la derivata di i rispetto a t. Per risolvere l'equazione bisogna esprimere i come $dq/dt$; così verrà un'equazione anche con derivate seconde (equazione differenziale ordinaria del secondo ordine). Per cui, per quanto la soluzione, forse è meglio se lasci perdere per il momento...
Lasciami festeggiare...
Evvai, seconda lampadina! 
- il contributo della d.d.p. relativa al generatore f;
- il contributo della d.d.p. relativa al resistore -iR;
- il contributo della d.d.p. relativa al condensatore $-q/C$ (si ricava direttamente dalla definizione di capacità, costante di proporzionalità che lega d.d.p. e carica sui piatti);
- il contributo della d.d.p. relativa all'induttore $-L(di)/(dt)$ (dalla definizione di induttanza).
Sommi il tutto e per la legge di Kirchoff deve essere uguale a 0... Se vuoi una spiegazione più dettagliata chiedi...
P.S.: In tal caso, non puoi più ricavare i come soluzione direttamente perchè qui compare esplicitamente q e i è la derivata di i rispetto a t. Per risolvere l'equazione bisogna esprimere i come $dq/dt$; così verrà un'equazione anche con derivate seconde (equazione differenziale ordinaria del secondo ordine). Per cui, per quanto la soluzione, forse è meglio se lasci perdere per il momento...
Lasciami festeggiare...
Evvai, seconda lampadina!
"Sana":
eh ce le ha accennate la volta scorsa...
ha parlato di "equazione differenziale di prim'ordine" ...equazione perchè ha un'incognita, la i...
differenziale perchè, oltre alle i, compare la derivata...
e di prim'ordine perchè...la derivata che compare è una derivata prima.
Beh, in questo caso la nostra equazione non è del primo ordine, ma del secondo in quanto compare anche la derivata seconda e ciò complica di parecchio le cose...dovremmo distinguere i casi del discriminante dell'equazione caratteristica etc...
Sono curiosa di sapere come viene, anche se non so bene di equazioni differenziali di quel tipo
vi prego, potete mostrarmi lo stesso i passaggi con eventuali spiegazioncine umili? ^_____^
vi prego, potete mostrarmi lo stesso i passaggi con eventuali spiegazioncine umili? ^_____^
$f-L(di)/(dt)-q/c=iR
era questa, mi pare ^^ il circuito era RLC
era questa, mi pare ^^ il circuito era RLC
Carissima Sana, la tua curiosità come studentessa ti fa onore (io come studente scolastico non l'ho mai avuta...). La tua richiesta, date le conoscenze che ti saranno state impartite finora, è forse impegnativa da soddisfare, ma sono sicuro che soprattutto i compagni di questo forum sapranno chiarirti le idee (io mi sa pochissimo... ). Intanto posso dirti che le tue domandine non sono affatto idiote . Guarda prima di tutto le ultime tre frasi di questo post, mi raccomando...
Dunque, per capire questo argomento, come già detto, bisogna conoscere le equazioni differenziali ordinarie. Iniziamo con qualche spunto intuitivo.
Ora, puoi capire che, data una certa equazione differenziale, se si vuole trovare una soluzione qualunque, potrebbe essere sufficiente cercarne una a tentativi. Se, cioè, voglio trovare una funzione f che sia soluzione di una certa equazione differenziale, se, così a occhio, vedo che sostituendo nell'equazione una f e le sue derivate soddisfo l'equazione differenziale posso dire, ok ho trovato una soluzione che cercavo e sono a posto. Cioè, se ho, ad esempio, l'equazione differenziale banalissima y'(x)=1, si vede a occhio che la funzione f(x)=x è una soluzione.
E' chiaro che questo modo di procedere funziona sempre, ma è altrettanto chiaro che non è un gran bel metodo, se voglio non trovare una soluzione particolare, ma tutte le soluzioni possibili.
Supponiamo, infatti, ora di voler conoscere tutte le soluzioni possibili di un'equazione differenziale; si parla di solito di soluzione generale o integrale generale dell'equazione. Lì puoi immaginare che, data un'equazione, matematici e company si spremono da secoli le meningi per trovare la sua soluzione generale... Ci sono certi tipi di equazioni differenziali ordinarie semplicissime da scrivere di cui tuttora non si è trovata la soluzione generale...
Nell'esempio stupido di prima, y'(x)=1, basta integrare tra 0 e t entrambi i membri e ottengo y(t)=t+c, c=costante reale qualunque. Ecco, in questo caso ho trovato la soluzione generale.
Domani andrò avanti in un successivo post per passare proprio alle equazioni del primo e secondo ordine, la parte che ti interessa.
Scusa forse sono un po' rompiscatole così lungo, perciò se vedi che sto esagerando (o ci son cose che già sai fino alla nausea) scrivi pure o per chiedermi qualcosa o per interrompermi (in tal caso scriverà qualcun altro più sintetico di me ...). E' che secondo me un'equazione differenziale non si può spiattellare così senza capirci niente. E' chiaro che quando verrò ai calcoli non sarò ovviamente così pedante...
). Intanto posso dirti che le tue domandine non sono affatto idiote . Guarda prima di tutto le ultime tre frasi di questo post, mi raccomando... Dunque, per capire questo argomento, come già detto, bisogna conoscere le equazioni differenziali ordinarie. Iniziamo con qualche spunto intuitivo.
Ora, puoi capire che, data una certa equazione differenziale, se si vuole trovare una soluzione qualunque, potrebbe essere sufficiente cercarne una a tentativi. Se, cioè, voglio trovare una funzione f che sia soluzione di una certa equazione differenziale, se, così a occhio, vedo che sostituendo nell'equazione una f e le sue derivate soddisfo l'equazione differenziale posso dire, ok ho trovato una soluzione che cercavo e sono a posto. Cioè, se ho, ad esempio, l'equazione differenziale banalissima y'(x)=1, si vede a occhio che la funzione f(x)=x è una soluzione.
E' chiaro che questo modo di procedere funziona sempre, ma è altrettanto chiaro che non è un gran bel metodo, se voglio non trovare una soluzione particolare, ma tutte le soluzioni possibili.
Supponiamo, infatti, ora di voler conoscere tutte le soluzioni possibili di un'equazione differenziale; si parla di solito di soluzione generale o integrale generale dell'equazione. Lì puoi immaginare che, data un'equazione, matematici e company
si spremono da secoli le meningi per trovare la sua soluzione generale... Ci sono certi tipi di equazioni differenziali ordinarie semplicissime da scrivere di cui tuttora non si è trovata la soluzione generale...Nell'esempio stupido di prima, y'(x)=1, basta integrare tra 0 e t entrambi i membri e ottengo y(t)=t+c, c=costante reale qualunque. Ecco, in questo caso ho trovato la soluzione generale.
Domani andrò avanti in un successivo post per passare proprio alle equazioni del primo e secondo ordine, la parte che ti interessa.
Scusa forse sono un po' rompiscatole così lungo, perciò se vedi che sto esagerando (o ci son cose che già sai fino alla nausea) scrivi pure o per chiedermi qualcosa o per interrompermi (in tal caso scriverà qualcun altro più sintetico di me
...). E' che secondo me un'equazione differenziale non si può spiattellare così senza capirci niente. E' chiaro che quando verrò ai calcoli non sarò ovviamente così pedante...
Amel, sei un angelo!!!!!!!!!!!
Grazie tante davvero *_____________*
hai scritto una spiegazione veramente carina, l'ho letta e la rileggo molto volentieri.
Sai che ho scritto sul mio quaderno:
- il contributo della d.d.p. relativa al generatore $f$;
- il contributo della d.d.p. relativa al resistore $-iR$;
- il contributo della d.d.p. relativa al condensatore $-q/C$ (si ricava direttamente dalla definizione di capacità, costante di proporzionalità che lega d.d.p. e carica sui piatti);
- il contributo della d.d.p. relativa all'induttore $-L(di)/dt$ (dalla definizione di induttanza).
? XDDD
Grazie ancora ^__________^ Ci rileggiamo oggi intanto dal mio mondo, ti auguro una buona giornata!
Grazie tante davvero *_____________*
hai scritto una spiegazione veramente carina, l'ho letta e la rileggo molto volentieri.
Sai che ho scritto sul mio quaderno:
- il contributo della d.d.p. relativa al generatore $f$;
- il contributo della d.d.p. relativa al resistore $-iR$;
- il contributo della d.d.p. relativa al condensatore $-q/C$ (si ricava direttamente dalla definizione di capacità, costante di proporzionalità che lega d.d.p. e carica sui piatti);
- il contributo della d.d.p. relativa all'induttore $-L(di)/dt$ (dalla definizione di induttanza).
? XDDD
Grazie ancora ^__________^ Ci rileggiamo oggi
intanto dal mio mondo, ti auguro una buona giornata!
"Sana":
Amel, sei un angelo!!!!!!!!!!!
Grazie tante davvero *_____________*
hai scritto una spiegazione veramente carina, l'ho letta e la rileggo molto volentieri.
Sai che ho scritto sul mio quaderno:
- il contributo della d.d.p. relativa al generatore $f$;
- il contributo della d.d.p. relativa al resistore $-iR$;
- il contributo della d.d.p. relativa al condensatore $-q/C$ (si ricava direttamente dalla definizione di capacità, costante di proporzionalità che lega d.d.p. e carica sui piatti);
- il contributo della d.d.p. relativa all'induttore $-L(di)/dt$ (dalla definizione di induttanza).
? XDDD
Grazie ancora ^__________^ Ci rileggiamo oggi
Addirittura? Bene, mi fa piacere, visto che sono molto vanitoso...
Andiamo avanti ora con le nozioni di equazioni del primo ordine e del secondo ordine.
Come ti è gia stato detto, del primo ordine è un'equazione in cui compare solo la funzione incognita e la sua derivata prima.
Ad esempio, sono del primo ordine:
y'(x)-2y(x)=x+1
$4(y'(x))^2=sin(y(x))+5x$
y'(x)+x=0
.........
Bene, ora il tipo più semplice di equazione del primo ordine si dice equazione lineare (del 1° ordine).
Si tratta di un'equazione di questo tipo:
y'(x)=a(x)y(x)+b(x)
dove y=y(x) è la funzione incognita, a(x) e b(x) sono funzioni continue definite su un certo intervallo.
Ad esempio, sono equazioni lineari le seguenti:
y'(x)-2y(x)=x+1
y'(x)+x=0
$y'(x)=x^4y(x)+e^(cos(x))$
.........
In sostanza si chiamano equazioni lineari proprio perchè la funzione incognita e la sua derivata compaiono unicamente con l'esponente 1. Dunque, l'esempio di prima:
$4(y'(x))^2=sin(y(x))+5x$
non è lineare perchè y' appare con l'esponente 2.
Ora osserva che l'equazione del circuito RL è un'equazione lineare del primo ordine:
$f-L(di)/(dt)-iR=0$
$(di)/(dt)=f/L-R/Li$
Ossia, se proprio vogliamo scriverlo pedantemente nella forma vista sopra (ovviamente sai che la derivata si può scrivere sia come (di)/(dt) che come i'(t)...):
$i'(t)=-R/Li(t)-f/L$
Spero che rispetto alla definizione di equazione lineare che ti ho dato non ti metta in confusione il fatto che in questa equazione per la variabile si usa la lettera t (tempo) al posto di x (è solo una questione di lettere e non di sostanza)... Se vuoi posso riscrivere:
y'(t)=a(t)y(t)+b(t)
In questo caso: y(t)=i(t), $a(t)=-R/L$=costante, $b(t)=-f/L$=costante.
Ebbene, avete visto la soluzione di questa equazione lineare, perchè si dimostra che esiste una formula che ci dà la soluzione generale di un'equazione del primo ordine (qui esiste! ma come ti ho detto è raro...). Per arrivare al risultato si utilizza un trucchetto per trovare una certa classe di soluzioni e poi si osserva che tali soluzioni sono tutte quelle possibili. Non so se questo metodo lo abbiate visto oppure vi abbia dato la soluzione generale e basta, se ti interessa potrò cercare di spiegartelo...
Andrò avanti con il prossimo post per arrivare alle fatidiche equazioni lineari del secondo ordine cercando di spiegarti perchè il ragionamento che avevi fatto all'inizio non andava bene (vale sempre la regola di fermarmi che ti ho scritto nel post precedente... , a proposito, e meno male che non dovevo essere pedante!, vabbè...
).
Come ti è gia stato detto, del primo ordine è un'equazione in cui compare solo la funzione incognita e la sua derivata prima.
Ad esempio, sono del primo ordine:
y'(x)-2y(x)=x+1
$4(y'(x))^2=sin(y(x))+5x$
y'(x)+x=0
.........
Bene, ora il tipo più semplice di equazione del primo ordine si dice equazione lineare (del 1° ordine).
Si tratta di un'equazione di questo tipo:
y'(x)=a(x)y(x)+b(x)
dove y=y(x) è la funzione incognita, a(x) e b(x) sono funzioni continue definite su un certo intervallo.
Ad esempio, sono equazioni lineari le seguenti:
y'(x)-2y(x)=x+1
y'(x)+x=0
$y'(x)=x^4y(x)+e^(cos(x))$
.........
In sostanza si chiamano equazioni lineari proprio perchè la funzione incognita e la sua derivata compaiono unicamente con l'esponente 1. Dunque, l'esempio di prima:
$4(y'(x))^2=sin(y(x))+5x$
non è lineare perchè y' appare con l'esponente 2.
Ora osserva che l'equazione del circuito RL è un'equazione lineare del primo ordine:
$f-L(di)/(dt)-iR=0$
$(di)/(dt)=f/L-R/Li$
Ossia, se proprio vogliamo scriverlo pedantemente nella forma vista sopra (ovviamente sai che la derivata si può scrivere sia come (di)/(dt) che come i'(t)...):
$i'(t)=-R/Li(t)-f/L$
Spero che rispetto alla definizione di equazione lineare che ti ho dato non ti metta in confusione il fatto che in questa equazione per la variabile si usa la lettera t (tempo) al posto di x (è solo una questione di lettere e non di sostanza)... Se vuoi posso riscrivere:
y'(t)=a(t)y(t)+b(t)
In questo caso: y(t)=i(t), $a(t)=-R/L$=costante, $b(t)=-f/L$=costante.
Ebbene, avete visto la soluzione di questa equazione lineare, perchè si dimostra che esiste una formula che ci dà la soluzione generale di un'equazione del primo ordine (qui esiste! ma come ti ho detto è raro...). Per arrivare al risultato si utilizza un trucchetto per trovare una certa classe di soluzioni e poi si osserva che tali soluzioni sono tutte quelle possibili. Non so se questo metodo lo abbiate visto oppure vi abbia dato la soluzione generale e basta, se ti interessa potrò cercare di spiegartelo...
Andrò avanti con il prossimo post per arrivare alle fatidiche equazioni lineari del secondo ordine cercando di spiegarti perchè il ragionamento che avevi fatto all'inizio non andava bene (vale sempre la regola di fermarmi che ti ho scritto nel post precedente... , a proposito, e meno male che non dovevo essere pedante!, vabbè...
).
Certamente non ti fermo e ti ringrazio ancora!!!!!!
Sei molto paziente, e gentile a perdere del tempo per me, grazie *_* *occhi a stellina verso Amel*
Sei molto paziente, e gentile a perdere del tempo per me, grazie *_* *occhi a stellina verso Amel*
la prof ha proprio detto:
eh verrebbe un'equazione bla bla bla che per voi è difficile
ma non ha spiegato niente U_u
beh, colmerò le mie curiosità su matematicamente.it, gnì gnì gnì XDDD
hiiihihihi
eh verrebbe un'equazione bla bla bla che per voi è difficile
ma non ha spiegato niente U_u
beh, colmerò le mie curiosità su matematicamente.it, gnì gnì gnì XDDD
hiiihihihi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo