Geometria piana e figure complicate.
Dimostrare che la differenza delle distanze di un punto qualunque del prolungamento della base di un triangolo isoscele dai lati è congruente all'altezza relativa ai lati.
DIMOSTRAZIONE:
Ma che dire...Dopo a una serie di osservazioni arrivo a un punto morto...
Considero un triangolo isoscele di base BC e vertice A.
Prolungo BC dalla parte di C .Sul prolungamento di BC prendo un punto D.
chiamo DF la perpendicolare ad AB che interseca AC nel punto E.
Poi ...E qui vengono i dolori...Ma come faccio a tracciare una perpendicolare ad AC dal punto D???Graficamente mi pare impossibile...Allora prolungo AC e sul prolungamento traccio la perpendicolare DI.
Considero i triangoli AFE e EDI hanno
90 gradi in comune
$ hat(AEF)=hat(DEI) $
$ hat(FAE)=hat(EDI) $
Considero i triangoli BGC e DCI
hanno:
$ hat(ACB)=hat(DCI) $
$ hat(GBC)=hat(CDI) $
90 gradi...Vabbè ma come vado avanti?Non riesco a ragionare sui lati...Mi sa che la figura è sballata di nuovo...
DIMOSTRAZIONE:
Ma che dire...Dopo a una serie di osservazioni arrivo a un punto morto...
Considero un triangolo isoscele di base BC e vertice A.
Prolungo BC dalla parte di C .Sul prolungamento di BC prendo un punto D.
chiamo DF la perpendicolare ad AB che interseca AC nel punto E.
Poi ...E qui vengono i dolori...Ma come faccio a tracciare una perpendicolare ad AC dal punto D???Graficamente mi pare impossibile...Allora prolungo AC e sul prolungamento traccio la perpendicolare DI.
Considero i triangoli AFE e EDI hanno
90 gradi in comune
$ hat(AEF)=hat(DEI) $
$ hat(FAE)=hat(EDI) $
Considero i triangoli BGC e DCI
hanno:
$ hat(ACB)=hat(DCI) $
$ hat(GBC)=hat(CDI) $
90 gradi...Vabbè ma come vado avanti?Non riesco a ragionare sui lati...Mi sa che la figura è sballata di nuovo...
Risposte
Prego. L'intuito è necessario e l'esercizio lo affina di certo ma forse ti può essere utile un piccolo trucco. Se l'esercizio parla di somma di segmenti, la prima cosa da fare è spesso costruire questa somma e il metodo più semplice è prolungarne uno di un segmento uguale all'altro; poi guardi se hai ottenuto un parallelogramma o un triangolo isoscele o qualche altra cosa utile: è quello che ho fatto io. Nelle prime due domande si parlava di differenza delle basi e potevi usare un metodo simile: bastava prendere all'interno di AB il segmento BF=CD: AF era la differenza citata e anche lì c'era un parallelogramma.
Ecco un altro problema che mi sta facendo riflettere molto...
La somma dei segmenti perpendicolari condotti da un punto interno di un triangolo equilatero ai tre lati è congruente all'altezza del triangolo.
DIMOSTRAZIONE:
Prendo un triangolo equilatero di base BC e vertice A .Traccio l'altezza AH e a destra di AH prendo un punto O e traccio le perpendicolari:
OE perpendicolare ad AC,DO perpendicolare ad AB,OK perpendicolare a BC.
Adesso qua è un bel problema...Ho pensato di condurre una parallela al lato BC dal punto O in questo modo OK è uguale TH,ove T è il punto di intersezione tra la retta condotta dal punto O e l'altezza AH.
La mia idea è quella di dimostrare che DO =TP ove P è il punto di intersezione tra DO e AH...e che OE=AP.
Ho una sfizza di triangoli simili tutti da 90,30 e 60 gradi ma con la similitudine la vedo dura...Quali sono quelli corretti da scegliere?
La somma dei segmenti perpendicolari condotti da un punto interno di un triangolo equilatero ai tre lati è congruente all'altezza del triangolo.
DIMOSTRAZIONE:
Prendo un triangolo equilatero di base BC e vertice A .Traccio l'altezza AH e a destra di AH prendo un punto O e traccio le perpendicolari:
OE perpendicolare ad AC,DO perpendicolare ad AB,OK perpendicolare a BC.
Adesso qua è un bel problema...Ho pensato di condurre una parallela al lato BC dal punto O in questo modo OK è uguale TH,ove T è il punto di intersezione tra la retta condotta dal punto O e l'altezza AH.
La mia idea è quella di dimostrare che DO =TP ove P è il punto di intersezione tra DO e AH...e che OE=AP.
Ho una sfizza di triangoli simili tutti da 90,30 e 60 gradi ma con la similitudine la vedo dura...Quali sono quelli corretti da scegliere?
Congiungi $O$ con i tre vertici del triangolo equilatero e indica con $h_1, h_2, h_3$ le distanze di $O$ dai tre lati. Considera i tre triangoli $OAB$, $OBC$, $OCA$ la somma delle cui aree è quella del triangolo di partenza $ABC$, di lato $l$ ed altezza $h$. Allora hai che l'area del triangolo $ABC$ la puoi calcolare sia come $Area=1/2*l*h_1 + 1/2*l*h_2 + 1/2*l*h_3=1/2*l*(h_1 + h_2 + h_3)$, sia come $Area=1/2*l*h$. Se uguagli le due espressioni dell'area trovi che $1/2*l*(h_1 + h_2 + h_3)=1/2*l*h$; semplificando $1/2*l$ arrivi a $h=h_1 + h_2 + h_3$.
Grande Chiarotta!
Mai una volta che mi venissero in mente delle finezze tecniche di questo tipo.Dopo vado a rifare il problema.Grazie!
Mai una volta che mi venissero in mente delle finezze tecniche di questo tipo.Dopo vado a rifare il problema.Grazie!
Ecco un altro problema su cui mi serve un aiuto:
Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi dei lati obliqui di un trapezio dimezza pure le diagonali.
Dimostrazione:
Considero un trapezio scaleno.
poichè i lati obliqui sono disequali anche i punti medi sono diversi e il segmento che li unisce è una retta inclinata neanche posso dire che sia parallela alle basi...quindi non ho niente di utile...
Se traccio una parallela al lato del triangolo congruente al lato stesso otterrei un parallelogramma e un triangolo...Ma che ci faccio? Oltretutto vedo che la figura si complica.
Se da O punto di intersezione delle diagonali,traccio la parallela alla base maggiore ottengo un pò di trapezi ....Ma poi?
Non posso parlare di assi di simmetria visto che il trapezio è scaleno.Nè posso parlare di centri di simmetria visto che il trapezio ne è sprovvisto.
Se prolungo i lati paralleli del trapezio cosa mi invento?Io non vedo niente.
Ci saranno sicuramente dei triangoli da tracciare ma non riesco a capire quali...Sempre se servano...
Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi dei lati obliqui di un trapezio dimezza pure le diagonali.
Dimostrazione:
Considero un trapezio scaleno.
poichè i lati obliqui sono disequali anche i punti medi sono diversi e il segmento che li unisce è una retta inclinata neanche posso dire che sia parallela alle basi...quindi non ho niente di utile...
Se traccio una parallela al lato del triangolo congruente al lato stesso otterrei un parallelogramma e un triangolo...Ma che ci faccio? Oltretutto vedo che la figura si complica.
Se da O punto di intersezione delle diagonali,traccio la parallela alla base maggiore ottengo un pò di trapezi ....Ma poi?
Non posso parlare di assi di simmetria visto che il trapezio è scaleno.Nè posso parlare di centri di simmetria visto che il trapezio ne è sprovvisto.
Se prolungo i lati paralleli del trapezio cosa mi invento?Io non vedo niente.
Ci saranno sicuramente dei triangoli da tracciare ma non riesco a capire quali...Sempre se servano...
"Marco24":
Aspetta!Nel primo problema cosa intendi per H? Nella mia figura H è il punto di intersezione tra BG ed FD...
H è il punto medio della base BC, si può dire piede dell'altezza?
"Marco24":
Ecco un altro problema su cui mi serve un aiuto:
Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi dei lati obliqui di un trapezio dimezza pure le diagonali.
Dimostrazione:
Considero un trapezio scaleno.
poichè i lati obliqui sono disequali anche i punti medi sono diversi e il segmento che li unisce è una retta inclinata neanche posso dire che sia parallela alle basi...quindi non ho niente di utile...
Se traccio una parallela al lato del triangolo congruente al lato stesso otterrei un parallelogramma e un triangolo...Ma che ci faccio? Oltretutto vedo che la figura si complica.
Se da O punto di intersezione delle diagonali,traccio la parallela alla base maggiore ottengo un pò di trapezi ....Ma poi?
Non posso parlare di assi di simmetria visto che il trapezio è scaleno.Nè posso parlare di centri di simmetria visto che il trapezio ne è sprovvisto.
Se prolungo i lati paralleli del trapezio cosa mi invento?Io non vedo niente.
Ci saranno sicuramente dei triangoli da tracciare ma non riesco a capire quali...Sempre se servano...
tu dici che i punti medi dei lati obliqui non si trovano alla stessa quota? A me sembra di si invece, magari non sono uguali le metà dei lati, ma la congiungente i punti medi dei lati obliqui di un trapezio mi sembra parallela alle basi.
Se tu hai un lato obliquo che ha una lunghezza di 8 cm e un altro di 12 cm il punto medio del primo è 4 cm e quello del secondo 6 cm...A me sempra inclinata...Nel trapezio isoscele è parallela alle basi ma bisogna dimostrarlo.
"Marco24":
Se tu hai un lato obliquo che ha una lunghezza di 8 cm e un altro di 12 cm il punto medio del primo è 4 cm e quello del secondo 6 cm...A me sempra inclinata...Nel trapezio isoscele è parallela alle basi ma bisogna dimostrarlo.
Se prolunghi i lati obliqui dalla parte della base minore essi si incontreranno in punto (O) origine di due semirette consecutive. E' corretto affermare che rette parallele "tagliano" su una coppia di semirette consecutive segmenti in proporzione e non strettamente congruenti?( Nel tuo caso 8cm : 12cm = 4cm : 6cm) Se è vera l'affermazione precedente allora la congiungente i punti medi dei lati obliqui di un trapezio è parallela alle basi.
Si rispetta il teorema :Fascio di rette parallele tagliato da due trasversali.Non me lo ricordavo grazie!
Tra l'altro quella retta divide il trapezio in due trapezi...Ho qualche idea^__^
giusto!!! sono lieta di esseri stata uitile!
Inizialmente volevo dimostrare che la retta parallela che unisce i punti medi di un trapezio scaleno divide il trapezio in due trapezi congruenti ma poi ho seguito un'altra strada e ho pensato di fare questo ragionamento:
Considero un trapezio scaleno di base maggiore AB e base minore DC.
Traccio le due altezze congruenti del trapezio scaleno,le chiamo DK e CQ.
Considero il rettangolo DCQK e noto che la retta che unisce i punti medi dei due lati ,MN, Dimezza il lato del triangolo ADK e dimezza anche un lato del triangolo CQB,so che MN è parallela e per un noto teorema dimezza anche i lati rimanenti quindi posso scrivere
$ DE=EK $
$ CF=FQ $
Adesso considero le due rette parallele MN e AB.
A MN appartiene il punto di intersezione delle diagonali del trapezio ,lo chiamo O.
Da O conduco il segmento di perpendicolare OV che rappresenta la distanza delle due rette.
Chiamo E il punto di intersezione di MN con DK.
Chiamo F il punto di intersezione di MN con CQ.
Poichè OV e FQ sono perpendicolari ad AB sono paralleli tra loro e per un noto teorema sono congruenti e noto:
$ DE=EK=OV=FQ=FC $
Con queste congruenze dimostro che i triangoli EDO E VOB sono congruenti perchè hanno:
$ hat(DOE)=hat(OBV) $
$ OV=DE $
quindi $ DO=OB $
un ragionamento analogo lo ripeto con i triangoli COF e OAV:
$ hat(COF)=hat(OAV) $
$ CF=OV $
dunque
$ AO=OC $
Considero un trapezio scaleno di base maggiore AB e base minore DC.
Traccio le due altezze congruenti del trapezio scaleno,le chiamo DK e CQ.
Considero il rettangolo DCQK e noto che la retta che unisce i punti medi dei due lati ,MN, Dimezza il lato del triangolo ADK e dimezza anche un lato del triangolo CQB,so che MN è parallela e per un noto teorema dimezza anche i lati rimanenti quindi posso scrivere
$ DE=EK $
$ CF=FQ $
Adesso considero le due rette parallele MN e AB.
A MN appartiene il punto di intersezione delle diagonali del trapezio ,lo chiamo O.
Da O conduco il segmento di perpendicolare OV che rappresenta la distanza delle due rette.
Chiamo E il punto di intersezione di MN con DK.
Chiamo F il punto di intersezione di MN con CQ.
Poichè OV e FQ sono perpendicolari ad AB sono paralleli tra loro e per un noto teorema sono congruenti e noto:
$ DE=EK=OV=FQ=FC $
Con queste congruenze dimostro che i triangoli EDO E VOB sono congruenti perchè hanno:
$ hat(DOE)=hat(OBV) $
$ OV=DE $
quindi $ DO=OB $
un ragionamento analogo lo ripeto con i triangoli COF e OAV:
$ hat(COF)=hat(OAV) $
$ CF=OV $
dunque
$ AO=OC $
"Marco24":
Inizialmente volevo dimostrare che la retta parallela che unisce i punti medi di un trapezio scaleno divide il trapezio in due trapezi congruenti ma poi ho seguito un'altra strada e ho pensato di fare questo ragionamento:
Considero un trapezio scaleno di base maggiore AB e base minore DC.
Traccio le due altezze congruenti del trapezio scaleno,le chiamo DK e CQ.
Considero il rettangolo DCQK e noto che la retta che unisce i punti medi dei due lati ,MN, Dimezza il lato del triangolo ADK e dimezza anche un lato del triangolo CQB,so che MN è parallela e per un noto teorema dimezza anche i lati rimanenti quindi posso scrivere
$ DE=EK $
$ CF=FQ $
Adesso considero le due rette parallele MN e AB.
A MN appartiene il punto di intersezione delle diagonali del trapezio ,lo chiamo O.
Da O conduco il segmento di perpendicolare OV che rappresenta la distanza delle due rette.
Chiamo E il punto di intersezione di MN con DK.
Chiamo F il punto di intersezione di MN con CQ.
Poichè OV e FQ sono perpendicolari ad AB sono paralleli tra loro e per un noto teorema sono congruenti e noto:
$ DE=EK=OV=FQ=FC $
Con queste congruenze dimostro che i triangoli EDO E VOB sono congruenti perchè hanno:
$ hat(DOE)=hat(OBV) $
$ OV=DE $
quindi $ DO=OB $
un ragionamento analogo lo ripeto con i triangoli COF e OAV:
$ hat(COF)=hat(OAV) $
$ CF=OV $
dunque
$ AO=OC $
Tu dici che l'intersezione delle diagonali appartiene alla congiungente dei punti medi, non ne sono molto sicura, e non mi sembra che le diagonali del trapezio si bisechino. Ciao
Ti riporto il testo del problema:
"Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi dei lati obliqui di un trapezio dimezza pure le diagonali."
Se dimezza le diagonali vuol dire che AO=OC e DO=OB per forza...
"Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi dei lati obliqui di un trapezio dimezza pure le diagonali."
Se dimezza le diagonali vuol dire che AO=OC e DO=OB per forza...
MMM in effetti hai ragione...Devo rivedere il problema e dimostrare che la congiungente divide a metà le diagonali...
probabilmente i punti medi delle diagonali non coincidono, ma appartengono entrambe alla congiungente i punti medi dei lati obliqui.
Vorrei dare a Marco24 un consiglio valido in generale: quando un problema di geometria crea difficoltà, come prima cosa bisogna fare la figura nel modo più accurato possibile e quindi usando carta a quadretti, riga centimetrata, squadra, eccetera. Facendolo, ti sarebbe bastata un'occhiata alla figura per evitare molte delle strade sbagliate: ad esempio avresti visto subito che la congiungente i punti medi era parallela alle basi (occorreva poi dimostrarlo, ma almeno sapevi cosa dimostrare), che i due trapezi ottenuti tracciandola non erano congruenti, che le diagonali non si bisecavano e non si incontravano su quella congiungente.
Quanto a questo problema, ti hanno già richiamato alla memoria il teorema del fascio di rette parallele tagliato da due trasversali; prova a meditarci.
Quanto a questo problema, ti hanno già richiamato alla memoria il teorema del fascio di rette parallele tagliato da due trasversali; prova a meditarci.
Ciao Giammaria!
Stavolta nella pratica ti ho anticipato io ma nella risposta su internet mi hai anticipato tu:-)).
Ho disegnato il trapezio con le squadre facendo il disegno nel modo più accurato possibile. E stavolta mi sono reso conto che il problema è molto più facile di quello che sembra.
Risoluzione:
Considero un trapezio di base maggiore AB e base minore DC.
Chiamo M il punto medio di AD.Chiamo N il punto medio di BC.
Traccio le diagonali DB e AC.
Noto che MN interseca AC nel punto P e DB in Q.O è il punto di intersezione delle diagonali.
E finalmente con il disegno corretto noto che MN si trova al di sotto di O.
Traccio le altezze DK e CT.
Chiamo S il punto di intersezione tra DK e MN.
Chiamo V il punto di intersezione tra CT e MN.
Considero il triangolo ADK:
per un noto teorema ho:
$ DM=AM $
$ DS=SK $
Ma S è punto di mezzo anche del lato DK che è un cateto del triangolo DKB retto in K.
SQ è un segmento di MN ed è parallelo poichè appartiene a una retta parallela.
SQ è una parallela al lato KB ed è condotta dal punto di mezzo S : allora SQ divide DB in due parti congruenti;
$ DQ=QB $
Un ragionamento analogo lo possiamo fare anche per i triangoli ACT e TCB.
SQ E PV sono segmenti appartenenti alla parallela MN e allora quest'ultima dimezza le diagonali.
Stavolta nella pratica ti ho anticipato io ma nella risposta su internet mi hai anticipato tu:-)).
Ho disegnato il trapezio con le squadre facendo il disegno nel modo più accurato possibile. E stavolta mi sono reso conto che il problema è molto più facile di quello che sembra.
Risoluzione:
Considero un trapezio di base maggiore AB e base minore DC.
Chiamo M il punto medio di AD.Chiamo N il punto medio di BC.
Traccio le diagonali DB e AC.
Noto che MN interseca AC nel punto P e DB in Q.O è il punto di intersezione delle diagonali.
E finalmente con il disegno corretto noto che MN si trova al di sotto di O.
Traccio le altezze DK e CT.
Chiamo S il punto di intersezione tra DK e MN.
Chiamo V il punto di intersezione tra CT e MN.
Considero il triangolo ADK:
per un noto teorema ho:
$ DM=AM $
$ DS=SK $
Ma S è punto di mezzo anche del lato DK che è un cateto del triangolo DKB retto in K.
SQ è un segmento di MN ed è parallelo poichè appartiene a una retta parallela.
SQ è una parallela al lato KB ed è condotta dal punto di mezzo S : allora SQ divide DB in due parti congruenti;
$ DQ=QB $
Un ragionamento analogo lo possiamo fare anche per i triangoli ACT e TCB.
SQ E PV sono segmenti appartenenti alla parallela MN e allora quest'ultima dimezza le diagonali.
Ecco una soluzione più rapida; non occorre tracciare le altezze ma tengo il resto della figura con le tue lettere.
Per l'inverso del teorema sul fascio di rette parallele (vedi anche *), MN è parallelo alle basi: le tre rette AB, CD, MN formano quindi un fascio di rette parallele. Sulla trasversale AD questo fascio intercetta due segmenti uguali e quindi, per il teorema diretto, sono uguali fra loro anche i segmenti intercettati su qualsiasi altra trasversale; in particolare, le diagonali sono divise a metà.
(*) Se non hai studiato il teorema inverso, puoi dire così: "Da M (punto medio di AD) traccio la parallela ad AB; per il teorema sul fascio di rette parallele con trasversali AD e BC, questa parallela incontra BC nel suo punto medio e quindi è la congiungente i punti medi dei lati obliqui."
Per l'inverso del teorema sul fascio di rette parallele (vedi anche *), MN è parallelo alle basi: le tre rette AB, CD, MN formano quindi un fascio di rette parallele. Sulla trasversale AD questo fascio intercetta due segmenti uguali e quindi, per il teorema diretto, sono uguali fra loro anche i segmenti intercettati su qualsiasi altra trasversale; in particolare, le diagonali sono divise a metà.
(*) Se non hai studiato il teorema inverso, puoi dire così: "Da M (punto medio di AD) traccio la parallela ad AB; per il teorema sul fascio di rette parallele con trasversali AD e BC, questa parallela incontra BC nel suo punto medio e quindi è la congiungente i punti medi dei lati obliqui."
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo