Geometria piana e figure complicate.
Dimostrare che la differenza delle distanze di un punto qualunque del prolungamento della base di un triangolo isoscele dai lati è congruente all'altezza relativa ai lati.
DIMOSTRAZIONE:
Ma che dire...Dopo a una serie di osservazioni arrivo a un punto morto...
Considero un triangolo isoscele di base BC e vertice A.
Prolungo BC dalla parte di C .Sul prolungamento di BC prendo un punto D.
chiamo DF la perpendicolare ad AB che interseca AC nel punto E.
Poi ...E qui vengono i dolori...Ma come faccio a tracciare una perpendicolare ad AC dal punto D???Graficamente mi pare impossibile...Allora prolungo AC e sul prolungamento traccio la perpendicolare DI.
Considero i triangoli AFE e EDI hanno
90 gradi in comune
$ hat(AEF)=hat(DEI) $
$ hat(FAE)=hat(EDI) $
Considero i triangoli BGC e DCI
hanno:
$ hat(ACB)=hat(DCI) $
$ hat(GBC)=hat(CDI) $
90 gradi...Vabbè ma come vado avanti?Non riesco a ragionare sui lati...Mi sa che la figura è sballata di nuovo...
DIMOSTRAZIONE:
Ma che dire...Dopo a una serie di osservazioni arrivo a un punto morto...
Considero un triangolo isoscele di base BC e vertice A.
Prolungo BC dalla parte di C .Sul prolungamento di BC prendo un punto D.
chiamo DF la perpendicolare ad AB che interseca AC nel punto E.
Poi ...E qui vengono i dolori...Ma come faccio a tracciare una perpendicolare ad AC dal punto D???Graficamente mi pare impossibile...Allora prolungo AC e sul prolungamento traccio la perpendicolare DI.
Considero i triangoli AFE e EDI hanno
90 gradi in comune
$ hat(AEF)=hat(DEI) $
$ hat(FAE)=hat(EDI) $
Considero i triangoli BGC e DCI
hanno:
$ hat(ACB)=hat(DCI) $
$ hat(GBC)=hat(CDI) $
90 gradi...Vabbè ma come vado avanti?Non riesco a ragionare sui lati...Mi sa che la figura è sballata di nuovo...
Risposte
Riposto il problema che stiamo considerando...
Sia ABC un triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza di centro O.Il vertice A dell'angolo retto è mobile sulla semicirconferenza BAC.
1)Dimostrare che le bisettrici interne ed esterne dell'angolo Aˆ incontrano la circonferenza in due punti fissi.
2)Trovare il luogo del punto medio del cateto AC.
3)Trovare il luogo del punto di incontro delle mediane del triangolo ABC.
4)Trovare il luogo del centro I della circonferenza inscritta nel triangolo ABC.
5)La bisettrice interna dell'angolo Bˆ e la bisettrice esterna dell'angolo Cˆ si incontrano nel punto M.Provare che l'angolo BMCˆ è di 45 gradie dedurre il luogo del centro M della circonferenza exinscritta al triangolo ABC è tangente ad AC.
Sia ABC un triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza di centro O.Il vertice A dell'angolo retto è mobile sulla semicirconferenza BAC.
1)Dimostrare che le bisettrici interne ed esterne dell'angolo Aˆ incontrano la circonferenza in due punti fissi.
2)Trovare il luogo del punto medio del cateto AC.
3)Trovare il luogo del punto di incontro delle mediane del triangolo ABC.
4)Trovare il luogo del centro I della circonferenza inscritta nel triangolo ABC.
5)La bisettrice interna dell'angolo Bˆ e la bisettrice esterna dell'angolo Cˆ si incontrano nel punto M.Provare che l'angolo BMCˆ è di 45 gradie dedurre il luogo del centro M della circonferenza exinscritta al triangolo ABC è tangente ad AC.
Allora ,chiama P il punto medio di AC ed M quello di OC. Per un noto teorema PM è la metà di OA ( oltre che essere parallelo ad OA) ovvero la metà del raggio r della semicirconferenza in cui è inscritto ABC :
\(\displaystyle PM=\frac {1}{2}r=OM=MC\)
Poiché P ha dal punto fisso M una distanza pure fissa pari ad OM=MC ,al variare di A sulla semicirconferenza di diametro BC ( quella disegnata in colore nero ) , P descrive la semicirconferenza di centro M e raggio OM= MC ( quella disegnata in colore bleu).E questa è il luogo di P.
In figura c'è pure il luogo descritto dal baricentro G di ABC (incontro delle mediane ): è la semicirconferenza piccola di centro O,Si può trovare con un ragionamento simile a quello fatto per P se si ricorda un teorema sulla posizione di G sulla mediana.
Ciao Vittorino,
prima di tutto buon anno a te e Giammaria^__^.
Adesso per quanto riguarda la figura...TUTTO CHIARO tranne una cosa:
Il teorema di cui ti riferisci è quello che dice:"Il baricentro del triangolo divide la mediana in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell'altra?"
prima di tutto buon anno a te e Giammaria^__^.
Adesso per quanto riguarda la figura...TUTTO CHIARO tranne una cosa:
n figura c'è pure il luogo descritto dal baricentro G di ABC (incontro delle mediane ): è la semicirconferenza piccola di centro O,Si può trovare con un ragionamento simile a quello fatto per P se si ricorda un teorema sulla posizione di G sulla mediana.
Il teorema di cui ti riferisci è quello che dice:"Il baricentro del triangolo divide la mediana in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell'altra?"
Ragazzi mi serve un chiarimento sulla teoria...
Si può dire che il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è uguale al diametro?
Dico questo perchè ho notato che dalla costruzione di un esagono regolare inscritto in una circonferenza l'unione dei punti dispari degli archi congruenti genera tre corde congruenti.
ciascuna corda/lato del triangolo equilatero è data dalla somma di due corde congruenti che sottendono archi congruenti e siccome ogni corda è congruente al raggio...Allora la somma dei due raggi genera il diametro...E' così?
Si può dire che il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è uguale al diametro?
Dico questo perchè ho notato che dalla costruzione di un esagono regolare inscritto in una circonferenza l'unione dei punti dispari degli archi congruenti genera tre corde congruenti.
ciascuna corda/lato del triangolo equilatero è data dalla somma di due corde congruenti che sottendono archi congruenti e siccome ogni corda è congruente al raggio...Allora la somma dei due raggi genera il diametro...E' così?
"Marco24":
....
Si può dire che il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è uguale al diametro?....
No!!! Il lato del triangolo equilatero inscritto misura $r*sqrt(3)$ ...
grazie Chiarotta.
Ecco un ennesimo problema dove non comprendo la figura:
Prolungando ciascun lato di un poligono regolare,nel medesimo senso,di uno stesso segmento si ottiene un altro poligono regolare.
Allora io ho considerato un esagono regolare e ho prolungato ciascun lato verso destra di 4cm ma mi viene una figura irregolare...Che figura intende il libro?
Prolungando ciascun lato di un poligono regolare,nel medesimo senso,di uno stesso segmento si ottiene un altro poligono regolare.
Allora io ho considerato un esagono regolare e ho prolungato ciascun lato verso destra di 4cm ma mi viene una figura irregolare...Che figura intende il libro?
Anche l'esercizio 74 mi da dei problemi.
Dimostrare che le diagonali di un pentagono regolare si dividono a due a due in parti disuguali, di cui la maggiore è congruente al lato del pentagono.
Traccio le diagonali ma tutto quello che riesco a trovare sono trapezi isosceli,triangoli congruenti e triangoli isosceli.Dovrei arrivare a dimostrare che un lato del pentagono sia uguale a una parte della diagonale....Ma non riesco a dimostrare che il triangolo formato dal lato del pentagono e dalla parte maggiore della diagonale è isoscele perchè se no ce l'avrei fatta...
Dimostrare che le diagonali di un pentagono regolare si dividono a due a due in parti disuguali, di cui la maggiore è congruente al lato del pentagono.
Traccio le diagonali ma tutto quello che riesco a trovare sono trapezi isosceli,triangoli congruenti e triangoli isosceli.Dovrei arrivare a dimostrare che un lato del pentagono sia uguale a una parte della diagonale....Ma non riesco a dimostrare che il triangolo formato dal lato del pentagono e dalla parte maggiore della diagonale è isoscele perchè se no ce l'avrei fatta...
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