Geometria piana e figure complicate.
Dimostrare che la differenza delle distanze di un punto qualunque del prolungamento della base di un triangolo isoscele dai lati è congruente all'altezza relativa ai lati.
DIMOSTRAZIONE:
Ma che dire...Dopo a una serie di osservazioni arrivo a un punto morto...
Considero un triangolo isoscele di base BC e vertice A.
Prolungo BC dalla parte di C .Sul prolungamento di BC prendo un punto D.
chiamo DF la perpendicolare ad AB che interseca AC nel punto E.
Poi ...E qui vengono i dolori...Ma come faccio a tracciare una perpendicolare ad AC dal punto D???Graficamente mi pare impossibile...Allora prolungo AC e sul prolungamento traccio la perpendicolare DI.
Considero i triangoli AFE e EDI hanno
90 gradi in comune
$ hat(AEF)=hat(DEI) $
$ hat(FAE)=hat(EDI) $
Considero i triangoli BGC e DCI
hanno:
$ hat(ACB)=hat(DCI) $
$ hat(GBC)=hat(CDI) $
90 gradi...Vabbè ma come vado avanti?Non riesco a ragionare sui lati...Mi sa che la figura è sballata di nuovo...
DIMOSTRAZIONE:
Ma che dire...Dopo a una serie di osservazioni arrivo a un punto morto...
Considero un triangolo isoscele di base BC e vertice A.
Prolungo BC dalla parte di C .Sul prolungamento di BC prendo un punto D.
chiamo DF la perpendicolare ad AB che interseca AC nel punto E.
Poi ...E qui vengono i dolori...Ma come faccio a tracciare una perpendicolare ad AC dal punto D???Graficamente mi pare impossibile...Allora prolungo AC e sul prolungamento traccio la perpendicolare DI.
Considero i triangoli AFE e EDI hanno
90 gradi in comune
$ hat(AEF)=hat(DEI) $
$ hat(FAE)=hat(EDI) $
Considero i triangoli BGC e DCI
hanno:
$ hat(ACB)=hat(DCI) $
$ hat(GBC)=hat(CDI) $
90 gradi...Vabbè ma come vado avanti?Non riesco a ragionare sui lati...Mi sa che la figura è sballata di nuovo...
Risposte
Si Giammaria ho corretto subito dopo aver postato sul forum la soluzione .Grazie ancora!Senza altezze infatti è ancora più rapido basta applicare un noto teorema.
Ecco un altro problema che mi da noie:
Date due rette parallele a e b ,si traccino ,da un punto A di a ,i segmenti AC e AB rispettivamente perpendicolare ed obliquo alla retta b; sia D un punto della retta a tale che BD incontri il segmento AC in E e che sia ED=2AB. Si dimostri che l'angolo EBC è un terzo dell'angolo ABC.
Dimostrazione:
poichè:
$ hat(ABC)=hat(EBA)+hat(EBC) $
la mia idea è di dimostrare
$ hat(EBA)=2*hat(EBC) $
Dopo a una serie di calcoli arrivo alla seguente equazione:
$ hat(EBA)+90+hat(CAB)=hat(CEB)+90 $
E non so come continuare...Qualche idea?
Date due rette parallele a e b ,si traccino ,da un punto A di a ,i segmenti AC e AB rispettivamente perpendicolare ed obliquo alla retta b; sia D un punto della retta a tale che BD incontri il segmento AC in E e che sia ED=2AB. Si dimostri che l'angolo EBC è un terzo dell'angolo ABC.
Dimostrazione:
poichè:
$ hat(ABC)=hat(EBA)+hat(EBC) $
la mia idea è di dimostrare
$ hat(EBA)=2*hat(EBC) $
Dopo a una serie di calcoli arrivo alla seguente equazione:
$ hat(EBA)+90+hat(CAB)=hat(CEB)+90 $
E non so come continuare...Qualche idea?
"Marco24":
Ecco un altro problema che mi da noie:
Date due rette parallele a e b ,si traccino ,da un punto A di a ,i segmenti AC e AB rispettivamente perpendicolare ed obliquo alla retta b; sia D un punto della retta a tale che BD incontri il segmento AC in E e che sia ED=2AB. Si dimostri che l'angolo EBC è un terzo dell'angolo ABC.
Dimostrazione:
poichè:
$ hat(ABC)=hat(EBA)+hat(EBC) $
forse non ho capito bene la figura, non dovrebbe essere $ hat(ABC)=hat(EBA)-hat(EBC) $ ?
Ricorda che in un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa
è metà dell'ipotenusa medesima .
Ora indica con F il punto medio di ED, congiungi F con A ed interpreta la figura...
Vittorino70 ti ringrazio.Ho risolto subito il problema.Le solite sviste non ho applicato quella proprietà del triangolo rettangolo.Infatti grazie a quella i conti tornano.Grazie ancora!
Ecco un problema semplice di cui il libro mi da un suggerimento che non capisco:
In una stessa circonferenza,due corde parallele intercettano archi congruenti.
suggerimento:condurre il diametro perpendicolare alle corde.
E perchè mai?
Allora se io ho una corda AB e una corda CD ,unisco A,B,C,D con O centro della circonferenza e ottengo i due triangoli AOB E COD che sono congruenti perchè hanno due angoli opposti al vertice e i lati congruenti in quanto raggi.
Quindi dalla congruenza dei due triangoli AB=CD e da ciò deduco per un noto teorema, che gli archi AB e CD sono congruenti.
In una stessa circonferenza,due corde parallele intercettano archi congruenti.
suggerimento:condurre il diametro perpendicolare alle corde.
E perchè mai?
Allora se io ho una corda AB e una corda CD ,unisco A,B,C,D con O centro della circonferenza e ottengo i due triangoli AOB E COD che sono congruenti perchè hanno due angoli opposti al vertice e i lati congruenti in quanto raggi.
Quindi dalla congruenza dei due triangoli AB=CD e da ciò deduco per un noto teorema, che gli archi AB e CD sono congruenti.
IL teorema non ipotizza che le due corde siano congruenti ma solo che sono parallele .Prova a disegnarle parallele e non congruenti e vedrai che il teorema sussiste comunque...
Si adesso è tutto chiaro grazie!
Dimostrare che in una circonferenza di centro O due corde AB E AC ,formanti angoli congruenti con il AO ,sono congruenti.
Ragiono in questa maniera.
AO è bisettrice dell'angolo BAC.Ma la bisettrice di un angolo è asse di simmetria dell'angolo e dunque AO è perpendicolare a BC e dunque AB=AC.
Ragiono in questa maniera.
AO è bisettrice dell'angolo BAC.Ma la bisettrice di un angolo è asse di simmetria dell'angolo e dunque AO è perpendicolare a BC e dunque AB=AC.
Vediamo se ho capito, perchè il precedente problema l'ho toppato. dunque: AO dovrebbe essere il raggio, giusto? Prolungandolo incontra la circonferenza nel punto D, riconosco due corde DC e CB fra loro congruenti perchè corrispondenti a due angoli alla circonferenza congruenti, ok? Dopodichè riconosco due triangoli rettangoli, perchè inscritti in una semicirconferena, ACD e ADB. Questi due triangoli hanno in comune l'ipotenusa coincidente con il diametro AD, mentre i due cateti BD e CD sono congruenti per la relazione sopra esposta; di conseguenza i due cateti AC e AB sono congruenti come volevasi dimostrare. Ci ho preso?
PS Marco 24 i tuoi problemi mi piacciono molto, dove li trovi e come li scegli?
PS Marco 24 i tuoi problemi mi piacciono molto, dove li trovi e come li scegli?
riconosco due corde DC e CB fra loro congruenti perchè corrispondenti a due angoli alla circonferenza congruenti
Io so che in una stessa circonferenza o in circonferenze congruenti ad archi congruenti corrispondono ANGOLI AL CENTRO congruenti e viceversa.
Inoltre so, per un noto teorema, che corde che sottendono archi congruenti sono congruenti e viceversa.
Non conosco nessun teorema che dice che se due angoli alla circonferenza sono congruenti lo sono anche le corde...
Questi esercizi li trovo dal Dodero Vecchia Edizione.
dunque: ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro, giusto? Dunque angoli alla circonferenza congruenti corrispondono ad angoli al centro congruenti a cui corrispondono archi congruenti. Fino qui vado bene? Ma se gli archi sono congruenti non lo sono anche le corde sottese? Ciao
si ok il ragionamento è giusto.
Aspetta che mi sembra che ci sia qualcosa che non va con la figura...
Ti riporto di nuovo il testo del problema:
Dimostrare che in una circonferenza di centro O due corde AB E AC ,formanti angoli congruenti con il AO ,sono congruenti.
Allora se traccio una circonferenza di centro O e traccio AO in modo "perpendicolare" cioè da O vado all'insù...poi da A traccio la corda AB e poi la corda AC.
Gli angoli alla circonferenza BAO E CAO sono congruenti ma allora sono congruenti gli angoli al centro BOD e COD (Prolunga AO dall'altra parte e chiama D il punto di intersezione del prolungamento del raggio con la circonferenza.
Adesso se gli angoli al centro sono congruenti...Dovrebbero essere congruenti gli archi BD e CD...e allora dovrebbero essere congruenti le corde BD e CD e non AB e AC.
Dovresti dimostrare che gli archi BA E CA sono congruenti...
Non so se mi sono spiegato...
Ti riporto di nuovo il testo del problema:
Dimostrare che in una circonferenza di centro O due corde AB E AC ,formanti angoli congruenti con il AO ,sono congruenti.
Allora se traccio una circonferenza di centro O e traccio AO in modo "perpendicolare" cioè da O vado all'insù...poi da A traccio la corda AB e poi la corda AC.
Gli angoli alla circonferenza BAO E CAO sono congruenti ma allora sono congruenti gli angoli al centro BOD e COD (Prolunga AO dall'altra parte e chiama D il punto di intersezione del prolungamento del raggio con la circonferenza.
Adesso se gli angoli al centro sono congruenti...Dovrebbero essere congruenti gli archi BD e CD...e allora dovrebbero essere congruenti le corde BD e CD e non AB e AC.
Dovresti dimostrare che gli archi BA E CA sono congruenti...
Non so se mi sono spiegato...
"Marco24":
Allora se traccio una circonferenza di centro O e traccio AO in modo "perpendicolare" cioè da O vado all'insù...poi da A traccio la corda AB e poi la corda AC
Dovresti dimostrare che gli archi BA E CA sono congruenti...
Non so se mi sono spiegato...
Non capisco molto bene il primo periodo.
Per quanto riguarda la seconda frase: sei daccordo che il diametro AD divide la circonferenza in due semicirconferenze (ovviamente fra loro congruenti)? Se a ciascuna delle due semicirconferenze sottrai rispettivamente l'arco CD e l'arco DB (tra loro congruenti) ottieni rispettivamente i due archi BA e CA. Questi ultimi devono essere congruenti perchè ottenuti sottraendo a una stessa lunghezza (semicirconferenza) lo stesso arco.
A parole risulta un po' difficile, ma non ho ancora imparato a fare i disegni. Spero che la mia figura coincida con la tua. Ciao
"Marco24":
...
Dimostrare che in una circonferenza di centro O due corde AB E AC ,formanti angoli congruenti con il AO ,sono congruenti.
...
Io proporrei di fare così ....
Congiunti $B$ e $C$ con $O$, ragioniamo sui triangoli $OBA$ e $OAC$. Questi sono isosceli, perché $OB=OA=raggio$ e analogamente $OA=OC=raggio$, e sono anche congruenti, perché hanno due angoli ($OhatBA=OhatAB=OhatAC=OhatCA$), e quindi anche il terzo, congruenti e un lato comune ($AO$). Perciò anche le basi dei due triangoli sono congruenti ($BA=AC$).
Ciao Chiarotta.
Ho capito il tuo ragionamento.Volevo chiederti se per dimostrare la congruenza dei due triangoli hai utilizzato il seguente teorema:
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi,purchè ugualmente disposti ,sono congruenti.
Ho capito il tuo ragionamento.Volevo chiederti se per dimostrare la congruenza dei due triangoli hai utilizzato il seguente teorema:
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi,purchè ugualmente disposti ,sono congruenti.
Pardon Chiarotta,solo adesso mi sono accorto che anche i terzi angoli sono congruenti,dunque il discorso torna.
Gio73 adesso che ci penso anche il tuo discorso torna...E non è male anzi.
Insomma credo che anche il mio metodo dovrebbe essere giusto...
Insomma credo che anche il mio metodo dovrebbe essere giusto...
Due corde congruenti AB e CD di una stessa circonferenza s'incontrano nel punto E , interno alla circonferenza ;dimostrare che esse formano angoli congruenti con il diametro passante per E .
DIMOSTRAZIONE:
Unisco il centro O con A e C e poi A con C.
il triangolo AOC è isoscele e OH (H è il punto di intersezione tra AC e il diametro) è bisettrice.
Considero poi i triangoli AOE e COE:
AO=OC
OE in comune
l'angolo AOE=COE
Dunque:
AE=CE
Ma allora il triangolo AEC è isoscele e si ha
$ hat(AEH)=hat(CEH) $
poi DE=BE perchè differenze di segmenti ordinatamente congruenti.
così si ha:
$ hat(DEK)=hat(BEK) $
Ove K è il punto di intersezione del diametro con DB
DIMOSTRAZIONE:
Unisco il centro O con A e C e poi A con C.
il triangolo AOC è isoscele e OH (H è il punto di intersezione tra AC e il diametro) è bisettrice.
Considero poi i triangoli AOE e COE:
AO=OC
OE in comune
l'angolo AOE=COE
Dunque:
AE=CE
Ma allora il triangolo AEC è isoscele e si ha
$ hat(AEH)=hat(CEH) $
poi DE=BE perchè differenze di segmenti ordinatamente congruenti.
così si ha:
$ hat(DEK)=hat(BEK) $
Ove K è il punto di intersezione del diametro con DB
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