Geometria piana e figure complicate.
Dimostrare che la differenza delle distanze di un punto qualunque del prolungamento della base di un triangolo isoscele dai lati è congruente all'altezza relativa ai lati.
DIMOSTRAZIONE:
Ma che dire...Dopo a una serie di osservazioni arrivo a un punto morto...
Considero un triangolo isoscele di base BC e vertice A.
Prolungo BC dalla parte di C .Sul prolungamento di BC prendo un punto D.
chiamo DF la perpendicolare ad AB che interseca AC nel punto E.
Poi ...E qui vengono i dolori...Ma come faccio a tracciare una perpendicolare ad AC dal punto D???Graficamente mi pare impossibile...Allora prolungo AC e sul prolungamento traccio la perpendicolare DI.
Considero i triangoli AFE e EDI hanno
90 gradi in comune
$ hat(AEF)=hat(DEI) $
$ hat(FAE)=hat(EDI) $
Considero i triangoli BGC e DCI
hanno:
$ hat(ACB)=hat(DCI) $
$ hat(GBC)=hat(CDI) $
90 gradi...Vabbè ma come vado avanti?Non riesco a ragionare sui lati...Mi sa che la figura è sballata di nuovo...
DIMOSTRAZIONE:
Ma che dire...Dopo a una serie di osservazioni arrivo a un punto morto...
Considero un triangolo isoscele di base BC e vertice A.
Prolungo BC dalla parte di C .Sul prolungamento di BC prendo un punto D.
chiamo DF la perpendicolare ad AB che interseca AC nel punto E.
Poi ...E qui vengono i dolori...Ma come faccio a tracciare una perpendicolare ad AC dal punto D???Graficamente mi pare impossibile...Allora prolungo AC e sul prolungamento traccio la perpendicolare DI.
Considero i triangoli AFE e EDI hanno
90 gradi in comune
$ hat(AEF)=hat(DEI) $
$ hat(FAE)=hat(EDI) $
Considero i triangoli BGC e DCI
hanno:
$ hat(ACB)=hat(DCI) $
$ hat(GBC)=hat(CDI) $
90 gradi...Vabbè ma come vado avanti?Non riesco a ragionare sui lati...Mi sa che la figura è sballata di nuovo...
Risposte
Un altro problema di cui non riesco a capire la figura:
I segmenti di perpendicolare ad una corda AB di una circonferenza condotti da due punti P e Q di essa equidistanti dal suo punto medio e limitati da M ed N dello stesso arco sono congruenti.
In che senso limitati? Non riesco a comprendere questa frase sicuramente importante...
I segmenti di perpendicolare ad una corda AB di una circonferenza condotti da due punti P e Q di essa equidistanti dal suo punto medio e limitati da M ed N dello stesso arco sono congruenti.
limitati da M ed N dello stesso arco
In che senso limitati? Non riesco a comprendere questa frase sicuramente importante...
"Marco24":
il triangolo AOC è isoscele e OH (H è il punto di intersezione tra AC e il diametro) è bisettrice.
E perché è bisettrice (o altezza, o mediana)? Non è dimostrato.
Suggerimento per la soluzione: indicando con R, S le proiezioni di O sulle due corde, dimostra l'eguaglianza dei triangoli OER, OES. E' rapidissimo.
Per il problema successivo: credo che si intenda che, mentre P e Q stanno sulla corda AB, M e N stanno sull'arco AB (chiedo venia ai moderatori per non aver messo il simbolo dell'arco).
Tutto dimostrato grazie
Ecco un altro problema di cui non sono sicuro:
Se due circonferenze sono concentriche ed hanno raggi uno doppio dell'altro , le tangenti condotte alla minore da un punto dell'altra e la congiungente i punti di contatto formano un triangolo equilatero
Chiamo C2 la circonferenza con raggio maggiore e C1 la circonferenza con raggio minore.
Prendo un punto P su C2 e traccio le tangenti a C1 cioè PC e PD i cui punti di contatto sono rispettivamente sono Q e T.
Traccio poi la tangente CD con punto di contatto K.
Adesso ...
Unisco Q con T.Unisco Q con K.
per un noto teorema $ PQ=PT $ ma anche
$ CQ=CK $
Adesso i due triangoli PQT e CQK sono isosceli .
SO che l'asse di una qualunque corda passa per il centro inoltre è bisettrice altezza e mediana dei triangoli sopra citati.
Mi accorgo che i triangoli POC ,POD e COD sono isosceli e congruenti ma allora sarà anche:
$ hat(COP)=hat(POD)=hat(COD) $
La somma di questi tre angoli da 360 e ciascun angolo e di 120 gradi.
Ma l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro dunque:
$ hat(CPD)=hat(COD)/2=60 GRADI $
da qui facilmente dimostro che PQT e CQK sono equilateri.
Se due circonferenze sono concentriche ed hanno raggi uno doppio dell'altro , le tangenti condotte alla minore da un punto dell'altra e la congiungente i punti di contatto formano un triangolo equilatero
Chiamo C2 la circonferenza con raggio maggiore e C1 la circonferenza con raggio minore.
Prendo un punto P su C2 e traccio le tangenti a C1 cioè PC e PD i cui punti di contatto sono rispettivamente sono Q e T.
Traccio poi la tangente CD con punto di contatto K.
Adesso ...
Unisco Q con T.Unisco Q con K.
per un noto teorema $ PQ=PT $ ma anche
$ CQ=CK $
Adesso i due triangoli PQT e CQK sono isosceli .
SO che l'asse di una qualunque corda passa per il centro inoltre è bisettrice altezza e mediana dei triangoli sopra citati.
Mi accorgo che i triangoli POC ,POD e COD sono isosceli e congruenti ma allora sarà anche:
$ hat(COP)=hat(POD)=hat(COD) $
La somma di questi tre angoli da 360 e ciascun angolo e di 120 gradi.
Ma l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro dunque:
$ hat(CPD)=hat(COD)/2=60 GRADI $
da qui facilmente dimostro che PQT e CQK sono equilateri.
Ehh guarda te che svista...Angoli di 90 ,30,60 gradi ed è fatta...
Ecco un altro problema di cui non comprendo la figura:
In una circonferenza di dato raggio r ,inscrivere un triangolo ABC tale che sia $ hat(BAC)=60° $ (AB>AC) e che l'altezza condotta dal vertice A sia =r.Si prolunghi il lato BA di un segmento AD=AC e si dimostri che la retta DC è tangente in C alla circonferenza ed è parallela alla bisettrice dell'angolo $ hat(BAC) $
Non riesco a capire come disegnare quel triangolo nella circonferenza...A me viene un triangolo rettangolo...
In una circonferenza di dato raggio r ,inscrivere un triangolo ABC tale che sia $ hat(BAC)=60° $ (AB>AC) e che l'altezza condotta dal vertice A sia =r.Si prolunghi il lato BA di un segmento AD=AC e si dimostri che la retta DC è tangente in C alla circonferenza ed è parallela alla bisettrice dell'angolo $ hat(BAC) $
Non riesco a capire come disegnare quel triangolo nella circonferenza...A me viene un triangolo rettangolo...
Ragazzi continuo ad andare avanti con gli esercizi e poi dopo li posto...
Effettivamente si ottiene un triangolo rettangolo in C e non è facilissimo fare bene la figura; forse però ci sei già riuscito, visto che parli di triangolo rettangolo. Se lo desideri, posso spiegarti come io ho fatto la figura.
Ehhh Giammaria sono giù con il morale perchè questa volta gli esercizi sulla circonferenza che ho fatto non mi sono venuti...Poi li posto in seguito.Adesso vado avanti.Il problema postato lo rivediamo dopo...mmm...per me quelli con la circonferenza sono più ostici...Poi è questione di gusti e SOPRATTUTTO fare bene la figura:sei non fai bene quella e non lo intuisci subito perdi ore.
Ecco i problemi che non mi sono venuti riporto il primo:
Un angolo col vertice interno ad una circonferenza e i lati secanti è congruente alla semisomma degli angoli al centro corrispondenti agli archi compresi fra i lati dell'angolo e i loro prolungamenti.
Allora come punto interno ho pensato di scegliere un punto P appartenente al raggio della circonferenza.Dopo una serie di considerazioni ottengo un trapezio isoscele e una circonferenza passante per due punti dell'angolo in comune con la prima circonferenza ma la figura si complica notevolmente.Come posso ragionare?
Un angolo col vertice interno ad una circonferenza e i lati secanti è congruente alla semisomma degli angoli al centro corrispondenti agli archi compresi fra i lati dell'angolo e i loro prolungamenti.
Allora come punto interno ho pensato di scegliere un punto P appartenente al raggio della circonferenza.Dopo una serie di considerazioni ottengo un trapezio isoscele e una circonferenza passante per due punti dell'angolo in comune con la prima circonferenza ma la figura si complica notevolmente.Come posso ragionare?
Ehh ho sbagliato proprio la figura adesso controllo tutto. Grazie!
Non riesco a comprendere il ragionamento effettuato...allora...
$ hat(BOA)=hat(OAD)+hat(ODA) $
$ hat(DOE)=hat(OAD)+hat(ODA) $
Questo per il teorema dell' angolo esterno. E da qui deduco:
$ hat(BOA)=hat(DOE) $
E VABBè...Poi
$ hat(BOA)=hat(OAC)+hat(CAD) $
Non riesco proprio a capire come
$ hat(CAD)=2*hat(EOD) $
Mannaggia sto proprio in alto mare...
$ hat(BOA)=hat(OAD)+hat(ODA) $
$ hat(DOE)=hat(OAD)+hat(ODA) $
Questo per il teorema dell' angolo esterno. E da qui deduco:
$ hat(BOA)=hat(DOE) $
E VABBè...Poi
$ hat(BOA)=hat(OAC)+hat(CAD) $
Non riesco proprio a capire come
$ hat(CAD)=2*hat(EOD) $
Mannaggia sto proprio in alto mare...
Perchè forse ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro. 
Praticamente se l'angolo alla circonferenza e quello al centro insistono sullo stesso arco sono congruenti...No mi sa che sto toppando in pieno...
Praticamente se l'angolo alla circonferenza e quello al centro insistono sullo stesso arco sono congruenti...No mi sa che sto toppando in pieno...
Ecco il problema numero 71 del dodero che non riesco a comprendere:
Un angolo col vertice esterno ad una circonferenza e i lati secanti è congruente alla semidifferenza degli angoli al centro corrispondenti agli archi interni all'angolo
Non so proprio come ragionare...
Un angolo col vertice esterno ad una circonferenza e i lati secanti è congruente alla semidifferenza degli angoli al centro corrispondenti agli archi interni all'angolo
Non so proprio come ragionare...
Grazie Vittorino per le tue celeri risposte.
Sempre grazie alla tua tecnica sono riuscito a risolvere un altro problema che non mi veniva...Fortunatamente uno in meno da postare...
Ecco invece un altro dove non riesco a interpretare la figura:
Gli angoli formati dalle tangenti nei punti d'intersezione di due circonferenze secanti sono congruenti.
Allora ho considerato una circonferenza di raggio 5cm e una di raggio 10cm.Chiamo A e B i punti in comune delle due circonferenze. poi traccio le tangenti in A e in B che incontrano la circonferenza più grande in C e D.
Ma non capisco quali angoli devo dimostrare essere congruenti...Io vedo 4 angoli opposti al vertice che come si sa sono congruenti...A voi come viene la figura?
Sempre grazie alla tua tecnica sono riuscito a risolvere un altro problema che non mi veniva...Fortunatamente uno in meno da postare...
Ecco invece un altro dove non riesco a interpretare la figura:
Gli angoli formati dalle tangenti nei punti d'intersezione di due circonferenze secanti sono congruenti.
Allora ho considerato una circonferenza di raggio 5cm e una di raggio 10cm.Chiamo A e B i punti in comune delle due circonferenze. poi traccio le tangenti in A e in B che incontrano la circonferenza più grande in C e D.
Ma non capisco quali angoli devo dimostrare essere congruenti...Io vedo 4 angoli opposti al vertice che come si sa sono congruenti...A voi come viene la figura?
Secondo me, devi dimostrare che uno degli angoli in A è uguale a uno di quelli in B.
Allora secondo te Giammaria dovrei unire A con O e B con O ,dove O è il centro della circonferenza più piccola...intendi cosi?
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