Geometria piana e figure complicate.
Dimostrare che la differenza delle distanze di un punto qualunque del prolungamento della base di un triangolo isoscele dai lati è congruente all'altezza relativa ai lati.
DIMOSTRAZIONE:
Ma che dire...Dopo a una serie di osservazioni arrivo a un punto morto...
Considero un triangolo isoscele di base BC e vertice A.
Prolungo BC dalla parte di C .Sul prolungamento di BC prendo un punto D.
chiamo DF la perpendicolare ad AB che interseca AC nel punto E.
Poi ...E qui vengono i dolori...Ma come faccio a tracciare una perpendicolare ad AC dal punto D???Graficamente mi pare impossibile...Allora prolungo AC e sul prolungamento traccio la perpendicolare DI.
Considero i triangoli AFE e EDI hanno
90 gradi in comune
$ hat(AEF)=hat(DEI) $
$ hat(FAE)=hat(EDI) $
Considero i triangoli BGC e DCI
hanno:
$ hat(ACB)=hat(DCI) $
$ hat(GBC)=hat(CDI) $
90 gradi...Vabbè ma come vado avanti?Non riesco a ragionare sui lati...Mi sa che la figura è sballata di nuovo...
DIMOSTRAZIONE:
Ma che dire...Dopo a una serie di osservazioni arrivo a un punto morto...
Considero un triangolo isoscele di base BC e vertice A.
Prolungo BC dalla parte di C .Sul prolungamento di BC prendo un punto D.
chiamo DF la perpendicolare ad AB che interseca AC nel punto E.
Poi ...E qui vengono i dolori...Ma come faccio a tracciare una perpendicolare ad AC dal punto D???Graficamente mi pare impossibile...Allora prolungo AC e sul prolungamento traccio la perpendicolare DI.
Considero i triangoli AFE e EDI hanno
90 gradi in comune
$ hat(AEF)=hat(DEI) $
$ hat(FAE)=hat(EDI) $
Considero i triangoli BGC e DCI
hanno:
$ hat(ACB)=hat(DCI) $
$ hat(GBC)=hat(CDI) $
90 gradi...Vabbè ma come vado avanti?Non riesco a ragionare sui lati...Mi sa che la figura è sballata di nuovo...
Risposte
Se vuoi utilizzare i centri si può fare come dici ma non è necessario. Indicando con C, D le ulteriori intersezioni della circonferenza grande con le tangenti alla piccola rispettivamente in A, B, noti che gli angoli $B \hat A C$ e $A \hat B D$ sono uguali perché nella circonferenza piccola entrambi sono angoli alla circonferenza che insistono sull'arco AB. Ragionamento analogo per le tangenti alla circonferenza grande e poi sommi i risultati.
OK ho capito.
Devo dimostrare questi due teoremi:
1)Ogni quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrivibile in una in una circonferenza
Considero un quadrilatero qualsiasi traccio gli assi dei lati e applico il seguente teorema:
Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.Poichè i punti A e C fanno parte dei due angoli $ hat(ADC) $ e $ hat(ABC) $ La circonferenza passa per D e B.
2)Ogni quadrilatero in cui la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due è circoscrittibile a una circonferenza
considero un quadrilatero ABCD. AB consecutivo ad AD e BC consecutivo a CD.
Prendo AE =AK e CH=CF e considero il quadrilatero EKHF...Dovrei dimostrare che gli angoli opposti sono supplementari...ma come faccio???
1)Ogni quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrivibile in una in una circonferenza
Considero un quadrilatero qualsiasi traccio gli assi dei lati e applico il seguente teorema:
Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.Poichè i punti A e C fanno parte dei due angoli $ hat(ADC) $ e $ hat(ABC) $ La circonferenza passa per D e B.
2)Ogni quadrilatero in cui la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due è circoscrittibile a una circonferenza
considero un quadrilatero ABCD. AB consecutivo ad AD e BC consecutivo a CD.
Prendo AE =AK e CH=CF e considero il quadrilatero EKHF...Dovrei dimostrare che gli angoli opposti sono supplementari...ma come faccio???
Altro problema
Dimostrare che gli assi dei segmenti che congiungono l'incentro di un triangolo equilatero con gli estremi di un lato,dividono questo lato in tre parti congruenti.
Dimostrare che gli assi dei segmenti che congiungono l'incentro di un triangolo equilatero con gli estremi di un lato,dividono questo lato in tre parti congruenti.
Per l'ultimo problema: l'ncentro è anche ortocentro, quindi quegli assi sono paralleli ai lati. Inoltre è anche baricentro: applica la proprietà del baricentro e il teorema sul fascio di parallele.
Il penultimo mi dà invece delle difficoltà; con certezza posso però dirti che non devi dimostrare che gli angoli opposti sono supplementari: questo vale per i poligoni inscritti e non per quelli circoscritti.
Il penultimo mi dà invece delle difficoltà; con certezza posso però dirti che non devi dimostrare che gli angoli opposti sono supplementari: questo vale per i poligoni inscritti e non per quelli circoscritti.
Questi problemi "reciproci" di solito si dimostrano per assurdo.Costruisci la circonferenza tangente solo a 3 lati ( nella figura sono AD,AB,BC) mentre ,per assurdo, il lato CD sia esterno.Questa circonferenza esiste ed è unica e si costruisce con riga e compasso.Fatto ciò,tira da D l'ulteriore tangente DE alla suddetta circonferenza.Essendo il quadrilatero ABED circoscritto ad una circonferenza ,per il teorema diretto hai:
AD+BE=AB+ED
e aggiungendo EC ad ambo i membri
AD+BE+EC=AB+ED+EC
e cioé :
AD+BC=AB+(ED+EC)
ma dal triangolo DEC hai che ED+EC>CD e quindi risulta che:
AD+BC >AB+CD
Questo va contro l'ipotesi e perciò CD non può essere esterno alla circonferenza di cui prima.In maniera analoga ( fai tu la figura) dimostri che CD non può essere secante e dunque deve essere anch'esso tangente, che era quello da dimostrare.
Per l'altro problema devi procedere in maniera analoga.Costruisci la circonferenza passante solo per 3 punti ,supponendo che il quarto punto non appartenga a detta circonferenza.Ragionando come fatto prima troverai una contraddizione con l'ipotesi.
Prova un po'...
Grazie ragazzi! Adesso mi studio le vostre risposte e vi faccio sapere!
No Giammaria non ho capito il tuo consiglio.
Allora per fissare le idee ho un triangolo equilatero di base AB e vertice C traccio le bisettrici ricordando che baricentro,ortocentro,circocentro e Incentro coincidono.
SU AO traccio la retta t che è asse del segmento AO.su CO traccio la retta s che è asse del segmento.
Adesso s è parallela ad AB e t è parallela a BC.
Poi AF,BE,CD sono le bisettrici,altezze,madiane e assi dei lati.
s interseca AC in H, CD in G e BC in I.
t interseca s in N ,AC in M ,AF in L e AB in Q.
Voglio dimostrare la congruenza dei triangoli CHI e AMQ.Riconosco due angoli congruenti ma non so come dimostrare
HI=MQ
Tra l'altro devo dimostrare AM=MH=CH..
Allora per fissare le idee ho un triangolo equilatero di base AB e vertice C traccio le bisettrici ricordando che baricentro,ortocentro,circocentro e Incentro coincidono.
SU AO traccio la retta t che è asse del segmento AO.su CO traccio la retta s che è asse del segmento.
Adesso s è parallela ad AB e t è parallela a BC.
Poi AF,BE,CD sono le bisettrici,altezze,madiane e assi dei lati.
s interseca AC in H, CD in G e BC in I.
t interseca s in N ,AC in M ,AF in L e AB in Q.
Voglio dimostrare la congruenza dei triangoli CHI e AMQ.Riconosco due angoli congruenti ma non so come dimostrare
HI=MQ
Tra l'altro devo dimostrare AM=MH=CH..
Riesco a dimostrare che AMQ e CHI sono a loro volta triangoli equilateri e che MNH è isoscele
Anzi MNH è pure equilatero.Tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro.
Adesso se conduco la parallela che va da Q a I ...Posso applicare il teorema del fascio di rette parallele tagliate da due trasversali e quindi AM=MH=CH
Adesso se conduco la parallela che va da Q a I ...Posso applicare il teorema del fascio di rette parallele tagliate da due trasversali e quindi AM=MH=CH
Ecco un altro problema che mi da guai:
Pag.932 es 42 del Dodero:
Dato un triangolo e la circonferenza inscritta,si consideri il triangolo che ha per vertici i punti di contatto della circonferenza con i lati e si dimostri che gli angoli del secondo triangolo sono i complementari dei semiangoli del primo
Allora per la dimostrazione ho considerato un triangolo scaleno ABC di base BC circoscritto a una circonferenza.I punti di contatto sono D ,E ,F.Li unisco e ottengo il triangolo DEF.
Il centro O della circonferenza è l'incentro di ABC.
Adesso mi chiedo se l'incentro di ABC è anche incentro di DEF...Scarto questa ipotesi anche perchè ciò accade solo se la circonferenza è inscritta nel triangolo...
Adesso da O mi traccio i raggi OE ,OD,OF.Provo a dimostrare :
$ hat(DEF)=hat(A/2) $
Ma purtroppo noto che solo una parte di $ hat(DEF) $ è congruente a $ hat(A/2) $
rimango a pensare ....
E se provo a dimostrare che DEF è isoscele? Mi sa che è impossibile è uno scaleno...
Pag.932 es 42 del Dodero:
Dato un triangolo e la circonferenza inscritta,si consideri il triangolo che ha per vertici i punti di contatto della circonferenza con i lati e si dimostri che gli angoli del secondo triangolo sono i complementari dei semiangoli del primo
Allora per la dimostrazione ho considerato un triangolo scaleno ABC di base BC circoscritto a una circonferenza.I punti di contatto sono D ,E ,F.Li unisco e ottengo il triangolo DEF.
Il centro O della circonferenza è l'incentro di ABC.
Adesso mi chiedo se l'incentro di ABC è anche incentro di DEF...Scarto questa ipotesi anche perchè ciò accade solo se la circonferenza è inscritta nel triangolo...
Adesso da O mi traccio i raggi OE ,OD,OF.Provo a dimostrare :
$ hat(DEF)=hat(A/2) $
Ma purtroppo noto che solo una parte di $ hat(DEF) $ è congruente a $ hat(A/2) $
rimango a pensare ....
E se provo a dimostrare che DEF è isoscele? Mi sa che è impossibile è uno scaleno...
Ecco pure il 48 pag 932 del Dodero
In una circonferenza per il punto medio A di un arco BAC ,si conducono due corde qualunqua AD e AE che intersecano la corda BC in F e G .Dimostrare che il quadrilatero DEGF è inscrittibile.
Il teorema sarebbe immediato se le corde BC e DE fossero parallele...Ma supponiamo che D sia più vicino a B ed E più vicino del simmetrrico del punto A ...Come faccio a dimostrare che
$ hat(D)+hat(G) $ =180°?
Noto che gli angoli alla circonferenza BDA e AEC sono congruenti perchè insistono su archi congruenti...Inoltre BEC è congruente a BDC perchè insistono sullo stesso arco...Solo cosa ci faccio???
In una circonferenza per il punto medio A di un arco BAC ,si conducono due corde qualunqua AD e AE che intersecano la corda BC in F e G .Dimostrare che il quadrilatero DEGF è inscrittibile.
Il teorema sarebbe immediato se le corde BC e DE fossero parallele...Ma supponiamo che D sia più vicino a B ed E più vicino del simmetrrico del punto A ...Come faccio a dimostrare che
$ hat(D)+hat(G) $ =180°?
Noto che gli angoli alla circonferenza BDA e AEC sono congruenti perchè insistono su archi congruenti...Inoltre BEC è congruente a BDC perchè insistono sullo stesso arco...Solo cosa ci faccio???
Posto $A \hat B C=A \hat C B=\alpha$ e $B \hat A D=B \hat C D= \beta$ ottieni
$D \hat E A=D \hat C A=A \hat C B+B \hat C D=\alpha+\beta$.
Per il calcolo di $C \hat F D$ osserva il triangolo ABF; sai certamente completare.
$D \hat E A=D \hat C A=A \hat C B+B \hat C D=\alpha+\beta$.
Per il calcolo di $C \hat F D$ osserva il triangolo ABF; sai certamente completare.
Aspetta Giammaria a quale problema ti riferisci?
Fatto.
Devo disegnare la figura più grande perchè se no diventa fitta di disegni e non si capisce nulla...
Devo disegnare la figura più grande perchè se no diventa fitta di disegni e non si capisce nulla...
Le diagonali di un quadrilatero inscrittibile ABCD si tagliano ad angolo retto nel punto P .Il prolungamento del segmento di perpendicolare PE tracciata da P a DC incontra il lato AB in F .
1)Quali sono nella figura gli angoli congruenti all'angolo DPE?
2)Quali sono gli angoli congruenti all'angolo CPE?
3)Dimostrare che il punto F è punto medio del lato AB
Allora...
1)Solo l'angolo FPB.
2)Solo l'angolo APF.
3)Stavo pensando ad una dimostrazione per assurdo....Ma come impostarla?
se F è punto medio del triangolo rettangolo ABP dovrà essere il circocentro...Ma come fare a dimostrare che gli assi dei lati passano per F??
supponiamo che PF non sia mediana... dico che lo è PT con T su in alto a F...se T è punto medio per un noto teorema la retta parallela ad BP divide AP in due parti congruenti ....Adesso dimostro che il segmento BT è maggiore di AT...
dovrei dimostrare che l'angolo TPA è congruente a una parte dell'angolo BPT...Poi ci sarebbe il problema di dare un ruolo al segmento PF...
1)Quali sono nella figura gli angoli congruenti all'angolo DPE?
2)Quali sono gli angoli congruenti all'angolo CPE?
3)Dimostrare che il punto F è punto medio del lato AB
Allora...
1)Solo l'angolo FPB.
2)Solo l'angolo APF.
3)Stavo pensando ad una dimostrazione per assurdo....Ma come impostarla?
se F è punto medio del triangolo rettangolo ABP dovrà essere il circocentro...Ma come fare a dimostrare che gli assi dei lati passano per F??
supponiamo che PF non sia mediana... dico che lo è PT con T su in alto a F...se T è punto medio per un noto teorema la retta parallela ad BP divide AP in due parti congruenti ....Adesso dimostro che il segmento BT è maggiore di AT...
dovrei dimostrare che l'angolo TPA è congruente a una parte dell'angolo BPT...Poi ci sarebbe il problema di dare un ruolo al segmento PF...
Gli angoli in egual colore sono congruenti.
Vittorino ho fatto il tuo stesso disegno con l'unica differenza che non ho descritto la circonferenza...Un grosso errore.
Per disegnare la circonferenza ho tracciato gli assi dei lati del poligono.Adesso vedo di rispondere alle domande in modo corretto.
Per disegnare la circonferenza ho tracciato gli assi dei lati del poligono.Adesso vedo di rispondere alle domande in modo corretto.
Adesso vittorino ti dico perchè sono congruenti così ti dico se ho capito:
$ hat(BAC)=hat(BDC) $ perchè angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.
$ hat(ABD)=hat(ACD) $ perchè angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.
$ hat(DPE)=hat(PCE) $ perchè complementari dello stesso angolo.
$ hat(FAP)=hat(FPA) $ perchè complementari di angoli congruenti .
$ hat(BAC)=hat(BDC) $ perchè angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.
$ hat(ABD)=hat(ACD) $ perchè angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.
$ hat(DPE)=hat(PCE) $ perchè complementari dello stesso angolo.
$ hat(FAP)=hat(FPA) $ perchè complementari di angoli congruenti .
Aiutatemi a comprendere questa figura...
Per un punto D del diametro AB di una semicirconferenza ,si conduca la perpendicolare ad AB intersecante la semicirconferenza in M. Per un punto C dell'arco MB si conduca la tangente t.La retta DM incontra rispettivamente in E ,in F ed in P le rette AC,BC,e t.Dimostrare che i quadrilateri BCED e ADCF sono inscrittibili
Non riesco a capire come BC incontra DM...Ciò è possibile solo se si prolunga BC.Viene anche a voi così?
Il primo da dimostrare è facile il secondo richiede più ragionamento sempre se la figura è questa...
Per un punto D del diametro AB di una semicirconferenza ,si conduca la perpendicolare ad AB intersecante la semicirconferenza in M. Per un punto C dell'arco MB si conduca la tangente t.La retta DM incontra rispettivamente in E ,in F ed in P le rette AC,BC,e t.Dimostrare che i quadrilateri BCED e ADCF sono inscrittibili
Non riesco a capire come BC incontra DM...Ciò è possibile solo se si prolunga BC.Viene anche a voi così?
Il primo da dimostrare è facile il secondo richiede più ragionamento sempre se la figura è questa...
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