Funzioni in R

[Bad90]

Ho risolto il seguente quesito, ma spero di aver fatto bene, ecco quì:

Per il primo quesito.

a) $ [a,b ) $
b) $ (-oo, a ] $
c) $ (a, b ]uu[c,d] $
d) $ [a,+oo ) $
e) $ (a,b) uu [c,+oo) $
f) $ [a,b ] $

Per il secondo quesito.

a) Penso si riferisca ad un intorno circolare, ma come posso esprimerlo?

[Sk_Anonymous]

È sempre decrescente in certi sottoinsiemi del suo dominio, che non è un intervallo. L'esercizio ti chiede di determinare due intervalli in cui è decrescente.

[Bad90]

"giuliofis":
È dello stesso tipo dell'esercizio della tangente. Disegna il grafico della funzione (è un'iperbole, dovresti saperlo fare) e poi guardalo: dov'è che è decrescente? Che intervallo è?

Ecco il grafico della funzione $ y = 1/x $:

La funzione $ y = 1/x $ è sempre decrescente, ma il caso in cui sia $ mathbb(R^*) $, non sto capendo quale sia
Se devo imporre delle restrizioni, allora dico che deve essere:

$ {AA x in mathbb(R^*) |y = 1/x , if x!= 0} $

Dici questo?

P.S. Io vedo che è decrescente nel primo quadrante, ma non so dire altro

Intuitivamente una funzione e' decrescente quando va verso il basso siccome siamo in un piano cartesiano diremo che e' decrescente quando spostando il punto sulle $ x $ verso destra il punto sulle $ y $ si sposta verso il basso in simboli:
si dice che la funzione
$ y = f(x) $
e' decrescente nell' intervallo
$ [a, b]$
se per tutti i punti dell'intervallo da
$ x_1 < x_2$ segue $ f(x_1) > f(x_2)$
cioe' se prendo un punto sulle $ x$ piu' a destra il punto sulle $ y $ e' piu' in basso, oppure man mano che la $ x $ aumenta la $ y$ dimunuisce.

Oppure basta dire questo?

$ {AA x in mathbb(R) |y = 1/x , x in mathbb(R^*)} $

[Sk_Anonymous]

"Bad90":$ {AA x in mathbb(R^*) |y = 1/x , if x!= 0} $

Ce la fai a scriverlo come unione di due intervalli?

[Bad90]

"giuliofis":[quote="Bad90"]$ {AA x in mathbb(R^*) |y = 1/x , if x!= 0} $

Ce la fai a scriverlo come unione di due intervalli?[/quote]

No, spero almeno che quello che ho scritto sia corretto!

[Sk_Anonymous]

"Bad90":[quote="giuliofis"][quote="Bad90"]$ {AA x in mathbb(R^*) |y = 1/x , if x!= 0} $

Ce la fai a scriverlo come unione di due intervalli?[/quote]

No[/quote]
Bad, Bad, Bad... Hai l'intero asse reale eccetto lo $0$, possibile che non ti venga in mente come scrivere questo insieme come unione di due intervalli? Sarebbe la risposta al problema...
Hai una retta e la "tagli" in un punto, chiamato $0$: come scriveresti le due metà ottenute?

[Bad90]

"giuliofis":
Bad, Bad, Bad... Hai l'intero asse reale eccetto lo $0$, possibile che non ti venga in mente come scrivere questo insieme come unione di due intervalli? Sarebbe la risposta al problema...
Hai una retta e la "tagli" in un punto, chiamato $0$: come scriveresti le due metà ottenute?

$ (-oo, -1]uu[1,+oo) $


Va bene così?????

[burm87]

Ma perchè interrompi su $-1$ e riprendi da $1$ se la discontinuità è in $0$?

[Bad90]

"burm87":Ma perchè interrompi su $-1$ e riprendi da $1$ se la discontinuità è in $0$?

Allora devo scrivere $ (-oo, 0]uu[0,+oo) $

Va bene così???

Ma secondo te, quanto ho scritto prima, cioè questo $ {AA x in mathbb(R^*) |y = 1/x , if x!= 0} $, è corretto

[burm87]

"Bad90":[quote="burm87"]Ma perchè interrompi su $-1$ e riprendi da $1$ se la discontinuità è in $0$?

Allora devo scrivere $ (-oo, 0]uu[0,+oo) $

Va bene così???
[/quote]

Non è proprio del tutto preciso, utilizzando le parentesi quadre rivolte verso lo $0$ lo stai includendo, quindi unendo quei due intervalli ed includendo lo zero in entrambi il risultato finale è che anche lo zero viene incluso. La scrittura corretta è $ (-oo, 0[uu]0,+oo) $

"Bad90":
Ma secondo te, quanto ho scritto prima, cioè questo $ {AA x in mathbb(R^*) |y = 1/x , if x!= 0} $, è corretto

Non ho ben seguito il tuo botta/risposta con giuliofis, quindi ho un po' perso il filo del vostro discorso.

[Bad90]

"burm87":
Non ho ben seguito il tuo botta/risposta con giuliofis, quindi ho un po' perso il filo del vostro discorso.

Perfetto

[@melia]

"Bad90":Allora devo scrivere $ (-oo, 0]uu[0,+oo) $

Devi escludere lo zero, non includerlo due volte, quindi $ (-oo, 0)uu(0,+oo) $

"Bad90":Ma secondo te, quanto ho scritto prima, cioè questo $ {AA x in mathbb(R^*) |y = 1/x , if x!= 0} $, è corretto

Non è del tutto corretto, in quanto la funzione è decrescente prima di 0 e dopo 0, non a cavallo dello 0, mi spiego meglio.
Se $x_1f(x_2)$, allo stesso modo se $0f(x_2)$, ma se $x_1<0
Ho corretto un errore di battitura che rendeva incomprensibile l'ultima riga.

[Bad90]

Melia, ti ringrazio per la spiegazione

[Bad90]

,,

[Sk_Anonymous]

"burm87":Non è proprio del tutto preciso, utilizzando le parentesi quadre rivolte verso lo $0$ lo stai includendo, quindi unendo quei due intervalli ed includendo lo zero in entrambi il risultato finale è che anche lo zero viene incluso. La scrittura corretta è $ (-oo, 0[uu]0,+oo) $

Beh, dato che per il $\pm oo$ ha usato le tonde, io userei le tonde anche attorno allo $0$ (cosa che mi sembra anche più leggibile). Quindi: $ (-oo, 0)uu(0,+oo) $. Finalmente, ecco l'insieme scritto come volevo che lo scrivessi!

"@melia":
Non è del tutto corretto

Quello è il dominio della funzione, e Bad stava scrivendo quello (o ho letto male?), quindi direi che va bene...

Non ho ben seguito il tuo botta/risposta con giuliofis, quindi ho un po' perso il filo del vostro discorso.

Leggi anche tu, Bad, pur essendo una risposta a burm. L'insieme che ha trovato è il dominio della funzione: ora che è riuscito a scriverlo come unione di due intervalli, riuscirà a trovare due intervalli in cui la funzione è decrescente?

[Bad90]

"@melia":ma se $x_1<0

Ma nella seconda x manca il pedice? Intendo che forse dovrebbe essere scritta in questo modo?

$x_1<0

Cita

Segnala

[Bad90]

Verificare che le due funzioni $ y = x $ e $ y = 2x $ sono crescenti in $ mathbb(R) $ . Trovare poi un intervallo in cui la funzione prodotto $ y = 2x^2 $ è decrescente!

Allora, $ y = x $ è una retta passante per l'origine! a me risulta che sia crescente se $ x_1 < x_2 $ e quindi $ f(x_1) < f(x_2) $.

Idem per $ y = 2x $, si tratta solo di una inclinazione diversa, infatti quel $ 2 $ equivale al coefficiente angolare $ m = 2 $ , quindi stesso discorso se $ x_1 < x_2 $ e quindi $ f(x_1) < f(x_2) $.

Be, questa $ y = 2x^2 $ è una parabola con concavità rivolta verso l'alto, risulta crescente, dato che al crescere della $ x $, la $ y $ cresce molto più rapidamente!
Sarà decrescente se al decrescere della $ x $, la $ y $ decresce, solo che se devo intenderla come un intervallo, cosa devo dire

[burm87]

Potresti disegnare la parabola e vedere graficamente qual'è l'intervallo in cui è decrescente.

[@melia]

"Bad90":Be, questa $ y = 2x^2 $ è una parabola con concavità rivolta verso l'alto, risulta crescente, dato che al crescere della $ x $, la $ y $ cresce molto più rapidamente!
Sarà decrescente se al decrescere della $ x $, la $ y $ decresce, solo che se devo intenderla come un intervallo, cosa devo dire

Quando la $x$ è negativa la funzione è decrescente!

[Sk_Anonymous]

Ma perché cambi esercizio senza aver finito il precedente?

[Bad90]

"@melia":[quote="Bad90"]Be, questa $ y = 2x^2 $ è una parabola con concavità rivolta verso l'alto, risulta crescente, dato che al crescere della $ x $, la $ y $ cresce molto più rapidamente!
Sarà decrescente se al decrescere della $ x $, la $ y $ decresce, solo che se devo intenderla come un intervallo, cosa devo dire

Quando la $x$ è negativa la funzione è decrescente![/quote]

Allora quando la $ x_2 < x_1 $ e l'intervallo sarà $ (-oo, 0)$