Funzioni goniometriche
Nello studio del paragrafo delle Definizioni delle funzioni goniometriche, non sto capendo questo:
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla 
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla
Risposte
Siccome non ho letto tutto il 3d... hai già visto nella teoria cos'è un angolo in radianti? 
"Obidream":
Siccome non ho letto tutto il 3d... hai già visto nella teoria cos'è un angolo in radianti?
Si, il radiante è l'angolo misurato al centro di una circonferenza, dove raggio = arco di circonferenza
Dovresti trovare la formula per convertire sul libro
$\alpha°:360°=\beta rad : 2pi\$
$\alpha°:360°=\beta rad : 2pi\$
Allora si tratta di fare la proporzione? Non mi sembra sia quella la soluzione! Non sto capendo, e' il colmo, il risultato del testo e a) $ gamma=90^o $! Forse ho capito...
$ 72^o +18^o + gamma=180^o=>gamma=90 $
E' banale, in quanto la somma degli angoli interni, in un triangolo e' sempre $ 180^o $ !
Resta il fatto che la traccia mi chiede i radianti mentre i risultati dell'esercizio, sono in gradi! Bohohoh
$ 72^o +18^o + gamma=180^o=>gamma=90 $
E' banale, in quanto la somma degli angoli interni, in un triangolo e' sempre $ 180^o $ !
Resta il fatto che la traccia mi chiede i radianti mentre i risultati dell'esercizio, sono in gradi! Bohohoh
Esercizio 8
$ ABC $ è un triangolo equilatero di centro $ O $ . Valuta in radianti del triangolo $ OBC $ .
Il triangolo $ OBC $ ha i due vertici che combaciano con i punti $ BC $ ed ha un vertice che è sul centro $ O $ .
Non sto capendo il senso dell' esercizio! Io so benissimo che un triangolo equilatero ha tre angoli di $ 60^o $ ciascuno
Facendo un disegno, mi è venuto spontaneo pensare che ho due angoli di $ 30^o $ e uno di $ 120^o $
Non capisco cosa ci sia di difficile! A cosa servono questi esercizi così banali
E pure io che ci penso nel risolverli, pensando chissà che esercizio sia e poi è banalissimo!
MAhahah
$ ABC $ è un triangolo equilatero di centro $ O $ . Valuta in radianti del triangolo $ OBC $ .
Il triangolo $ OBC $ ha i due vertici che combaciano con i punti $ BC $ ed ha un vertice che è sul centro $ O $ .
Non sto capendo il senso dell' esercizio! Io so benissimo che un triangolo equilatero ha tre angoli di $ 60^o $ ciascuno
Facendo un disegno, mi è venuto spontaneo pensare che ho due angoli di $ 30^o $ e uno di $ 120^o $
Non capisco cosa ci sia di difficile! A cosa servono questi esercizi così banali
E pure io che ci penso nel risolverli, pensando chissà che esercizio sia e poi è banalissimo!
MAhahah
Parità e disparità delle funzioni goniometriche.
Il testo mi fa un esempio con due triangoli isometrici, mi sembra ovvio che avrò:
$ bar(BM)=-bar(BM)' $ e $ bar(OB)=-bar(OB) $
Ma sulla base di cosa si può dire che le funzioni di $ sen $ e $ tan $ sono dispari, mentre la funzione di $ cos $ è pari
Il testo mi ha fatto un esempio, ma non riesco a comprenderlo!
Una domanda, ma cosa significa questo simbolo $ -= $
Il testo mi fa un esempio con due triangoli isometrici, mi sembra ovvio che avrò:
$ bar(BM)=-bar(BM)' $ e $ bar(OB)=-bar(OB) $
Ma sulla base di cosa si può dire che le funzioni di $ sen $ e $ tan $ sono dispari, mentre la funzione di $ cos $ è pari
Il testo mi ha fatto un esempio, ma non riesco a comprenderlo!
Una domanda, ma cosa significa questo simbolo $ -= $
...
non capisco "triangolo equilatero di centro O"
non l'ho mai sentito.
$-=$ è il simbolo di congruenza.
Geometricamente se $AB$ e $CD$ sono due segmenti, se essi sono sovrapponibili cioè posso mettere $AB$ su $CD$ e viceversa, si usa dire che sono segmenti congrui e si scrive $AB-=CD$
In generale vale per qualsiasi figura. Diciamo che due oggetti (due figure geometriche) sono congruenti se possono essere , in poche parole , sovrapposti.
non capisco "triangolo equilatero di centro O"
non l'ho mai sentito.
$-=$ è il simbolo di congruenza.
Geometricamente se $AB$ e $CD$ sono due segmenti, se essi sono sovrapponibili cioè posso mettere $AB$ su $CD$ e viceversa, si usa dire che sono segmenti congrui e si scrive $AB-=CD$
In generale vale per qualsiasi figura. Diciamo che due oggetti (due figure geometriche) sono congruenti se possono essere , in poche parole , sovrapposti.
"Bad90":
Parità e disparità delle funzioni goniometriche.
Il testo mi fa un esempio con due triangoli isometrici, mi sembra ovvio che avrò:
$ bar(BM)=-bar(BM)' $ e $ bar(OB)=-bar(OB) $
Ma sulla base di cosa si può dire che le funzioni di $ sen $ e $ tan $ sono dispari, mentre la funzione di $ cos $ è pari
Il testo mi ha fatto un esempio, ma non riesco a comprenderlo!
Una domanda, ma cosa significa questo simbolo $ -= $
il simbolo meno non mi è chiaro.
$ bar(BM)=-bar(BM)' $ e $ bar(OB)=-bar(OB) $ il simbolo meno non indica una quantità negativa, perché quelli sono segmenti, lunghezze e sono quantità positive.
Non è che intendevi che $bar(BM)=bar(MB)$ e $bar(OB)=bar(BO)$?
(quell'uguale, in questo caso andrebbe inteso come congruenza, cioè $-=$ , che ti ho esposto nel post precedente)
per la seconda parte della domanda,
quando una funzione si dice pari? quando dispari?
@ Kashaman: credo che Bad90 intendesse segmenti orientati, quali appunto sono seno e coseno; il meno avrebbe quindi un senso.
@Bad90: il modo in cui parli di quei segmenti non è per nulla chiaro. Non ha senso scrivere $ bar(OB)=-bar(OB) $: se gli estremi sono gli stessi i segmenti orientati sono uguali e se non sono gli stessi devi dargli nomi diversi. Inoltre ti consiglio di usare il simbolo di vettore e non quello di segmento: è molto più vicino alla realtà.
Per quanto riguarda il pari e dispari ecco la spiegazione. Pensa di avere una funzione $f(x)$ e cambia il segno di $x$, cioè calcola $f(-x)$. Possono capitare tre casi:
1) $f(-x)=f(x)$ ed allora diciamo che la funzione è pari. Ad esempio capita per $f(x)=x^4-3x^2+5$; infatti $f(x)=(-x)^4-3(-x)^2+5=x^4-3x^2+5$;
2) $f(-x)=-f(x)$ ed allora diciamo che la funzione è dispari. Ad esempio capita per $f(x)=2x^3+7x$; infatti $f(-x)=2*(-x)^3+7*(-x)=-2x^3-7x=-(2x^3+7x)$;
3) non capita nessuno dei casi precedenti ed allora la funzione non è né pari né dispari.
Il motivo di questi nomi deriva dal fatto che le potenze con esponente pari sono funzioni pari ed idem per il dispari ma una funzione può essere pari o dispari anche se l'algebra non c'entra; ad esempio, il coseno è pari mentre seno e tangente sono dispari.
Riepilogo breve: se cambiando il segno di $x$ non cambia nulla, la funzione è pari; se cambia solo il segno la funzione è dispari.
@Bad90: il modo in cui parli di quei segmenti non è per nulla chiaro. Non ha senso scrivere $ bar(OB)=-bar(OB) $: se gli estremi sono gli stessi i segmenti orientati sono uguali e se non sono gli stessi devi dargli nomi diversi. Inoltre ti consiglio di usare il simbolo di vettore e non quello di segmento: è molto più vicino alla realtà.
Per quanto riguarda il pari e dispari ecco la spiegazione. Pensa di avere una funzione $f(x)$ e cambia il segno di $x$, cioè calcola $f(-x)$. Possono capitare tre casi:
1) $f(-x)=f(x)$ ed allora diciamo che la funzione è pari. Ad esempio capita per $f(x)=x^4-3x^2+5$; infatti $f(x)=(-x)^4-3(-x)^2+5=x^4-3x^2+5$;
2) $f(-x)=-f(x)$ ed allora diciamo che la funzione è dispari. Ad esempio capita per $f(x)=2x^3+7x$; infatti $f(-x)=2*(-x)^3+7*(-x)=-2x^3-7x=-(2x^3+7x)$;
3) non capita nessuno dei casi precedenti ed allora la funzione non è né pari né dispari.
Il motivo di questi nomi deriva dal fatto che le potenze con esponente pari sono funzioni pari ed idem per il dispari ma una funzione può essere pari o dispari anche se l'algebra non c'entra; ad esempio, il coseno è pari mentre seno e tangente sono dispari.
Riepilogo breve: se cambiando il segno di $x$ non cambia nulla, la funzione è pari; se cambia solo il segno la funzione è dispari.
Si, sono stato poco chiaro, perdonatemi!
Il concetto è quello spiegato da giammaria, adesso ho compreso perfettamente il significato! Ti ringrazio vivamente
Il concetto è quello spiegato da giammaria, adesso ho compreso perfettamente il significato! Ti ringrazio vivamente
Esercizio 9
Ho risolto il seguente esercizio, ma sto avendo qualche problemino negli arrotondamenti, almeno penso sia quello l'errore... Ecco la traccia:
Calcola l'ampiezza in gradi e radianti di un arco di circonferenza lungo $ 45m $ e il cui raggio misura $ 30m $
Ecco cosa ho fatto:
$ l=alpha*r $ segue $ alpha= l/r $
$ alpha= (45m)/(30m)=3/2=1,5 $ (ampiezza angolo in radianti)
Adesso imposto la proporzione:
$ alpha^o :180= alpha^r : pi $
$ alpha^o = (180 * 1,5)/(3,14)=(85,98)^o $ ( ampiezza in gradi)
Adesso con il metodo del calcolo dei primi e secondi, faccio così:
$ (85,98)^o $
$ 0,98 * 60= 58,8 $
Quindi fin quì abbiamo $ 85^o 58' $
$ 0,8 * 60= 48 $
Quindi abbiamo $ 85^o 58' 48''$
Perchè il testo mi dice che il risultato corretto è $ 85^o 56' 37''$
Ho risolto il seguente esercizio, ma sto avendo qualche problemino negli arrotondamenti, almeno penso sia quello l'errore... Ecco la traccia:
Calcola l'ampiezza in gradi e radianti di un arco di circonferenza lungo $ 45m $ e il cui raggio misura $ 30m $
Ecco cosa ho fatto:
$ l=alpha*r $ segue $ alpha= l/r $
$ alpha= (45m)/(30m)=3/2=1,5 $ (ampiezza angolo in radianti)
Adesso imposto la proporzione:
$ alpha^o :180= alpha^r : pi $
$ alpha^o = (180 * 1,5)/(3,14)=(85,98)^o $ ( ampiezza in gradi)
Adesso con il metodo del calcolo dei primi e secondi, faccio così:
$ (85,98)^o $
$ 0,98 * 60= 58,8 $
Quindi fin quì abbiamo $ 85^o 58' $
$ 0,8 * 60= 48 $
Quindi abbiamo $ 85^o 58' 48''$
Perchè il testo mi dice che il risultato corretto è $ 85^o 56' 37''$
Semplicemente, nel calcolo hai considerato poche cifre di $pi$. Solo $3.14$ non è sufficiente.
Se hai usato la calcolatrice, avrai il comando "$pi"$ che ti dice il valore di $pi$ con almeno $6$ cifre dopo la virgola.
Usa quello
Se hai usato la calcolatrice, avrai il comando "$pi"$ che ti dice il valore di $pi$ con almeno $6$ cifre dopo la virgola.
Usa quello
Hai ragione, adesso i conti tornano
Grazie mille!
Grazie mille!
Esercizio 10
Calcolare la misura del raggio di una circonferenza sapendo che un suo arco è lungo $ 26cm $ e ha ampiezza di $ 26^o 12' 15'' $
Sono sicuro che la formula è $ r=l/alpha => (26cm)/alpha$
Penso il problema è nel ricavare in primis, l'ampiezza $ alpha = 26^o 12' 15'' $ ma in gradi e togliendo i primi e i secondi
Come si fa al contrario
Provo a dire qualcosa:
$ x*60=15''=>15/60=0,25 $
Quindi $ 26^o 12,25' $
$ x*60=12'=>(12')/60=0,2^o $
Quindi dite che deve essere $ 26,2^o $
Non sono sicuro di aver fatto bene, vorrei imparare a fare il procedimento al contrario di quello utilizzato per ricavare i primi e i secondi
Non so se la via risolutiva dell'esercizio centra con questo che voglio imparare, ma non so come arrivare alla soluzione $ 56,85 $
Grazie mille!
Calcolare la misura del raggio di una circonferenza sapendo che un suo arco è lungo $ 26cm $ e ha ampiezza di $ 26^o 12' 15'' $
Sono sicuro che la formula è $ r=l/alpha => (26cm)/alpha$
Penso il problema è nel ricavare in primis, l'ampiezza $ alpha = 26^o 12' 15'' $ ma in gradi e togliendo i primi e i secondi
Come si fa al contrario
Provo a dire qualcosa:
$ x*60=15''=>15/60=0,25 $
Quindi $ 26^o 12,25' $
$ x*60=12'=>(12')/60=0,2^o $
Quindi dite che deve essere $ 26,2^o $
Non sono sicuro di aver fatto bene, vorrei imparare a fare il procedimento al contrario di quello utilizzato per ricavare i primi e i secondi
Non so se la via risolutiva dell'esercizio centra con questo che voglio imparare, ma non so come arrivare alla soluzione $ 56,85 $
Grazie mille!
"giammaria":
@ Kashaman: credo che Bad90 intendesse segmenti orientati, quali appunto sono seno e coseno; il meno avrebbe quindi un senso.
ciao giammaria, scusa una cosa .
Ok d'accordo, se si intende quei due segmenti come vettori d'accordo, quella scrittura ha senso.
Tuttavia non comprendo appieno questa tua affermazione :
segmenti orientati, quali appunto sono seno e coseno;
a meno di non sbagliarmi, ma scusa, geometricamente il seno e il coseno sono vettori?!
"Kashaman":
geometricamente il seno e il coseno sono vettori?!
Assumendo come unità di misura il raggio, seno e coseno sono, con segno, le misure del segmento verticale e di quello orizzontale; spesso il discorso viene abbreviato dicendo che sono quei segmenti, presi con segno. Parlavo di segmenti orientati intendendo appunto che se ne doveva considerare il segno: più se in alto o a destra, meno altrimenti.
Avrei qualche perplessità a definirli vettori, dato che sono caratterizzati solo da grandezza e segno e non dalla direzione (che non può essere obliqua).
RITIRO il suggerimento di mettere il segno di vettore, avendo appena constatato che non funziona; ho già segnalato il problema in Questioni tecniche.
Esercizio 10
$12,25'=((12,25)/60)°=0,204°$
Quindi $alpha=26,204°$
Ora devi trasformarlo in radianti e poi usare la tua prima formula per calcolare $r$.
$12,25'=((12,25)/60)°=0,204°$
Quindi $alpha=26,204°$
Ora devi trasformarlo in radianti e poi usare la tua prima formula per calcolare $r$.
ora è più chiaro giammaria. tuttavia neanche io li considererei come vettori.
Presa la circonferenza unitaria $C$ di centro $O$ e $r=1 u$ e un punto $P$ su $C$ (disegnata su un opportuno sistema di riferimento cartesiano Oxy)
se tracciamo da $P$ una parallela a $y$, otteniamo su $x$ un punto $K$.
Inoltre se congiungiamo $OPK$ otteniamo un triangolo rettangolo. Chiamiamo $\alpha$ l'angolo in $O$
giusto?
Possiamo dire che $OK=cos(\alpha)$ e $PK=sin(\alpha)$ giusto?
in questo senso diciamo quei due segmenti rappresentano delle lunghezze, che sono i due cateti del triangolo ottenuto.
Poniamo $c_1=OK,c_2=PK$
Penso tuttavia che il meno davanti a tali grandezze vada considerato come una traslazione. 7
del tipo se scriviamo $-PK$ , è da intendersi, che $c_2$ si trova sotto l'asse $x$.
se scriviamo $-OK$ è da intendersi che $c_1$ si trova nella posizione opposta della direzione di $x$.
In questo senso, si conserva il fatto che sono segmenti e il meno viene usato per una convenzione e nulla di più. Che ne dici?
piccola chicca :
Presa la circonferenza unitaria $C$ di centro $O$ e $r=1 u$ e un punto $P$ su $C$ (disegnata su un opportuno sistema di riferimento cartesiano Oxy)
se tracciamo da $P$ una parallela a $y$, otteniamo su $x$ un punto $K$.
Inoltre se congiungiamo $OPK$ otteniamo un triangolo rettangolo. Chiamiamo $\alpha$ l'angolo in $O$
giusto?
Possiamo dire che $OK=cos(\alpha)$ e $PK=sin(\alpha)$ giusto?
in questo senso diciamo quei due segmenti rappresentano delle lunghezze, che sono i due cateti del triangolo ottenuto.
Poniamo $c_1=OK,c_2=PK$
Penso tuttavia che il meno davanti a tali grandezze vada considerato come una traslazione. 7
del tipo se scriviamo $-PK$ , è da intendersi, che $c_2$ si trova sotto l'asse $x$.
se scriviamo $-OK$ è da intendersi che $c_1$ si trova nella posizione opposta della direzione di $x$.
In questo senso, si conserva il fatto che sono segmenti e il meno viene usato per una convenzione e nulla di più. Che ne dici?
piccola chicca :
"Kashaman":
... sono segmenti e il meno viene usato per una convenzione e nulla di più.
Si può anche vederlo come una convenzione (non una traslazione, come prima ti è sfuggito) ma io preferisco accostarmi ai vettori: per definizione questi sono caratterizzati da intensità, direzione e verso e nel nostro caso abbiamo qualcosa caratterizzato da intensità e verso.
Forse il meglio è dire che seno e coseno sono ordinata e ascissa di un punto della circonferenza, assumendo come unità il raggio. Per essere più precisi e far quadrare anche il calcolo dimensionale, sono il rapporto fra queste coordinate ed il raggio.
Perfetto, grazie ai vostri messaggi ho chiarito eventuali dubbi che senz'altro mi sarebbero venuti in mente!
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