Funzioni goniometriche
Nello studio del paragrafo delle Definizioni delle funzioni goniometriche, non sto capendo questo:
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla 
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla
Risposte
"piero_":
devi moltiplicare solo la parte decimale.
$0,75*60=45'$
Quindi avrò $78^o45'$
Giusto Poi non si può continuare più 
Perchè il testo mi dice che il risultato è $ 11^o15' $
è il complementare di questo angolo (78,75°)
per il complementare 11,25°
$0,25*60=15'$
dunque:
$11,25°=11°15'$
per il complementare 11,25°
$0,25*60=15'$
dunque:
$11,25°=11°15'$
"piero_":
è il complementare di questo angolo (78,75°)
per il complementare 11,25°
$0,25*60=15'$
dunque:
$11,25°=11°15'$
Scusa ma non avevo capito che bisognava trovare prima il complementare e poi ricavare i primi e i secondi ecc.
Grazie mille!
Esercizio 6
Trova la misura in radianti degli angoli di $ 1' $ e di $ 1'' $ . Come bisogna fare
Penso che $ 1' = 0^o1'$ giusto
Trova la misura in radianti degli angoli di $ 1' $ e di $ 1'' $ . Come bisogna fare
Penso che $ 1' = 0^o1'$ giusto
5) Se vuoi passare da un'unità più piccola ad una più grande (da secondi a primi o da primi a gradi) devi dividere per 60, eccetera. Se invece vuoi fare il passaggio inverso devi lasciare la parte intera e moltiplicare per 60 quella decimale.
Per esempio
$78,75°=78°+(0,75*60)'=78°45'$
Se anche i primi risultassero con la virgola ripeti il procedimento: lasci la parte intera e moltiplichi per 60 quella decimale, ottenendo i secondi.
Nel tuo problema conviene però impostare i calcoli in altro modo perché le operazioni con primi e secondi sono scomode; meglio fare
$90°-78,75°=11,25°$
$11,25°=11°+(0,25*60)'=11°15'$
6) Come prima cosa devi scrivere l'angolo in gradi con la virgola ed è una cosa diversa dallo scriverlo in gradi, primi e secondi; il metodo è ricordare che 1 primo è la 60-esima parte del grado e un secondo ne è la 3600-esima parte. Quindi, ad esempio
$7°15'32''=(7+15/60+32/3600)° =7,2589°$
Quando hai l'angolo in gradi lo trasformi in radianti con la solita formula.
Consiglio: non soffermarti troppo su questa parte; la trigonometria importante viene dopo, parlando di seni e compagnia bella.
Per esempio
$78,75°=78°+(0,75*60)'=78°45'$
Se anche i primi risultassero con la virgola ripeti il procedimento: lasci la parte intera e moltiplichi per 60 quella decimale, ottenendo i secondi.
Nel tuo problema conviene però impostare i calcoli in altro modo perché le operazioni con primi e secondi sono scomode; meglio fare
$90°-78,75°=11,25°$
$11,25°=11°+(0,25*60)'=11°15'$
6) Come prima cosa devi scrivere l'angolo in gradi con la virgola ed è una cosa diversa dallo scriverlo in gradi, primi e secondi; il metodo è ricordare che 1 primo è la 60-esima parte del grado e un secondo ne è la 3600-esima parte. Quindi, ad esempio
$7°15'32''=(7+15/60+32/3600)° =7,2589°$
Quando hai l'angolo in gradi lo trasformi in radianti con la solita formula.
Consiglio: non soffermarti troppo su questa parte; la trigonometria importante viene dopo, parlando di seni e compagnia bella.
Per l' Esercizio 6 ho fatto in questo modo:
$ (1')/60=0,01666666667^o $ e penso che tutta questa cifra siano gradi, giusto
$ alpha^r=(0,01666666667^o*3,14)/180=2,9*10^-4 $ radianti
Perfetto, ho ascoltato il tuo consiglio
Se vuoi passare da un'unità più piccola ad una più grande (da secondi a primi o da primi a gradi) devi dividere per 60, eccetera. Se invece vuoi fare il passaggio inverso devi lasciare la parte intera e moltiplicare per 60 quella decimale.
$ (1')/60=0,01666666667^o $ e penso che tutta questa cifra siano gradi, giusto
$ alpha^r=(0,01666666667^o*3,14)/180=2,9*10^-4 $ radianti
Perfetto, ho ascoltato il tuo consiglio
Se vuoi passare da un'unità più piccola ad una più grande (da secondi a primi o da primi a gradi) devi dividere per 60, eccetera. Se invece vuoi fare il passaggio inverso devi lasciare la parte intera e moltiplicare per 60 quella decimale.
6) Quasi giusto, complimenti; però hai trascurato il $1''$. Mentre scrivevi il tuo ultimo post ho aggiunto qualcosa al mio; vai a leggerlo.
"giammaria":
6) Quasi giusto, complimenti; però hai trascurato il $1''$. Mentre scrivevi il tuo ultimo post ho aggiunto qualcosa al mio; vai a leggerlo.
Quindi vorresti dire che:
$ (1')/60=0,01666666667^o $ è da scrivere così? $ (1')/60=0,01666666667'' $
Ti ringrazio per avermi fatto notare il fatto che devo andare avanti senza soffermarmi su questo, grazie mille!
Se mi viene detto di calcolare il $ cos 30^o $ faccio riferimento alla formula che non è altro che il teorema de Grande Piatogora, sapendo che:
$ (sin^o alpha)^2 + (cos^o alpha)^2 =1 $
Perfetto, il mio testo dice che andrebbe bene scriverlo anche in questo modo:
$ (sin^o)^2 alpha + (cos^o)^2 alpha =1 $
Ok, ma se mi trovo nel seguente caso in cui devo ricavare il $ cos30^o $, per formula inversa (non ricordo se si può dire formula inversa ) ricavo la seguente:
$ cos30^o =sqrt(1-(sin30^o)^2) $
Allora sarà lo stesso di:
$ cos30^o =sqrt(1-sin^2 30^o) $
Insomma il $ 30^o $ non viene calcolato come un quadrato
$ (sin^o alpha)^2 + (cos^o alpha)^2 =1 $
Perfetto, il mio testo dice che andrebbe bene scriverlo anche in questo modo:
$ (sin^o)^2 alpha + (cos^o)^2 alpha =1 $
Ok, ma se mi trovo nel seguente caso in cui devo ricavare il $ cos30^o $, per formula inversa (non ricordo se si può dire formula inversa
) ricavo la seguente: $ cos30^o =sqrt(1-(sin30^o)^2) $
Allora sarà lo stesso di:
$ cos30^o =sqrt(1-sin^2 30^o) $
Insomma il $ 30^o $ non viene calcolato come un quadrato
Solo un appunto 
Quando risolvi ad esempio $x^2=1$ hai 2 soluzioni ( essendo un'equazione di II grado) ovvero $x_1=1$ e $x_2=-1$ quindi lo stesso vale per $cos\alpha=+-sqrt(1-sin^2\alpha)$
Quando risolvi ad esempio $x^2=1$ hai 2 soluzioni ( essendo un'equazione di II grado) ovvero $x_1=1$ e $x_2=-1$ quindi lo stesso vale per $cos\alpha=+-sqrt(1-sin^2\alpha)$
"Obidream":
Solo un appunto
Quando risolvi ad esempio $x^2=1$ hai 2 soluzioni ( essendo un'equazione di II grado) ovvero $x_1=1$ e $x_2=-1$ quindi lo stesso vale per $cos\alpha=+-sqrt(1-sin^2\alpha)$
Grazie, non avevo fatto caso, sto studiando seno e coseno ..... e non stavo pensando a questi fondamentali concetti!
Grazie mille
Non sto capendo un concetto......
Se ho una circonferenza con un triangolo all'interno $ OBM $ che ha un angolo $ alpha= 45^o $, sulla base di cosa si può dire che:
$ sin^2 45^o=cos^2 45^o $
In virtù di questa uguaglianza, il teso mi dice che:
$ sin 18^o= (sqrt (5)-1)/4 $
$ cos 18^o= sqrt (10+2sqrt(5))/4 $
Ma mi dice che si arriva a queste mediante considerazioni goniometriche che ritiene inopportuno enunciare
Perchè Come fa ad ottenere questi valori
Vorrei replicare i passaggi
Come devo fare
Da dove vengono fuori questi valori
Grazie mille!
Se ho una circonferenza con un triangolo all'interno $ OBM $ che ha un angolo $ alpha= 45^o $, sulla base di cosa si può dire che:
$ sin^2 45^o=cos^2 45^o $
In virtù di questa uguaglianza, il teso mi dice che:
$ sin 18^o= (sqrt (5)-1)/4 $
$ cos 18^o= sqrt (10+2sqrt(5))/4 $
Ma mi dice che si arriva a queste mediante considerazioni goniometriche che ritiene inopportuno enunciare
Perchè
Come fa ad ottenere questi valori Vorrei replicare i passaggi
Come devo fare Da dove vengono fuori questi valori
Grazie mille!
Prendendo la circonferenza goniometria e considerando $45°$ si ottiene un triangolo rettangolo:
Inoltre $B=90°$ ed$O=45°$ ( sto considerando gli angoli) ergo l'angolo $A=180°-90°-45°=45°$ quindi si tratta di un triangolo rettangolo isoscele con $OH=PH$ ovvero $x=cos(45°)=sin(45°)$
Applicando Pitagora, si ha $x^2+x^2=r^2$ da cui $x^2=1/2$ quindi si ricava $x=1/sqrt(2)$ e razionalizzando $x=sqrt(2)/2$
( considera solo la soluzione positiva perché guardo solo al I quadrante)
Credo che siccome seno e coseno sono uguali a $45°$ debba essere uguale anche il loro quadrato, però attendi qualcuno più qualificato di me
Però per il resto non mi viene in mente nulla al momento...
Anzi ho trovato questo che magari può interessarti: http://www.andrews.edu/~calkins/math/we ... NUMB18.HTM
6) No: voglio dire che
$1'1''=(1/60+1/3600)°=0,016944...°$
Il computer scrive il segno di grado ad altezze talora sbagliate.
Domanda sui 30°) Il $30°$ non viene elevato a quadrato perché vuoi elevare a quadrato il seno, non l'angolo. C'è all'incirca la stessa differenza che fra $(logx)^2$ e $log x^2$.
La tua prima formula andrebbe bene anche scritta come
$sin^2alpha°+cos^2alpha°=1$;
tu hai fatto un po' di pasticcio.
Ultima domanda) Per l'angolo di 45° hai già avuto risposte; aggiungo qualcosa per gli altri angoli della tabella. Suppongo che O sia il centro, B sia sulla circonferenza e M sia la proiezione di B su OA.
Se l'angolo fosse di 30° o di 60° OBM sarebbe metà di un triangolo equilatero; applicando le formule del triangolo equilatero e ricordando che, se il raggio OB vale 1, BM è il seno e OM il coseno trovi seno e coseno (questa volta sono diversi fra loro).
Per l'angolo di 18° devi invece pensare al decagono regolare inscritto in una circonferenza ed è un ragionamento un po' più complicato; suggerirei di limitarti a credere al risultato.
Per 0° e 90° non credo tu abbia problemi e per ora non preoccuparti degli altri angoli della tabella: proseguendo nel programma capirai come si è fatto per trovarne seno ed altro.
$1'1''=(1/60+1/3600)°=0,016944...°$
Il computer scrive il segno di grado ad altezze talora sbagliate.
Domanda sui 30°) Il $30°$ non viene elevato a quadrato perché vuoi elevare a quadrato il seno, non l'angolo. C'è all'incirca la stessa differenza che fra $(logx)^2$ e $log x^2$.
La tua prima formula andrebbe bene anche scritta come
$sin^2alpha°+cos^2alpha°=1$;
tu hai fatto un po' di pasticcio.
Ultima domanda) Per l'angolo di 45° hai già avuto risposte; aggiungo qualcosa per gli altri angoli della tabella. Suppongo che O sia il centro, B sia sulla circonferenza e M sia la proiezione di B su OA.
Se l'angolo fosse di 30° o di 60° OBM sarebbe metà di un triangolo equilatero; applicando le formule del triangolo equilatero e ricordando che, se il raggio OB vale 1, BM è il seno e OM il coseno trovi seno e coseno (questa volta sono diversi fra loro).
Per l'angolo di 18° devi invece pensare al decagono regolare inscritto in una circonferenza ed è un ragionamento un po' più complicato; suggerirei di limitarti a credere al risultato.
Per 0° e 90° non credo tu abbia problemi e per ora non preoccuparti degli altri angoli della tabella: proseguendo nel programma capirai come si è fatto per trovarne seno ed altro.
Ok, con la risposta data da Obidream, sono riuscito a capire perfettamente il seguente concetto
Applicando Pitagora, si ha $x^2+x^2=r^2$ da cui $x^2=1/2$ quindi si ricava $x=1/sqrt(2)$ e razionalizzando $x=sqrt(2)/2$
Ok per il resto!
Grazie mille!
Applicando Pitagora, si ha $x^2+x^2=r^2$ da cui $x^2=1/2$ quindi si ricava $x=1/sqrt(2)$ e razionalizzando $x=sqrt(2)/2$
Ok per il resto!
Grazie mille!
Periodicità delle funzioni goniometriche
Sarà sicuramente colpa della mia testolina, ma cosa si intende per Periodicità delle funzioni goniometriche
Se ho due angoli orientati, $ alpha_1 $ e $ alpha_2 $, come si può spiegare il concetto
Non sto capendo quanto dice il testo:
Sapendo che due angoli orientati differiscono tra loro di un multiplo di angolo, esprimendo in radianti, come posso scrivere questo?
$ sen alpha= sen(alpha +2kpi) $
$ cos alpha= cos(alpha +2kpi) = cos alpha $ con $ k in Z $
Oppure espressa in gradi:
$ sen alpha= sen(alpha +k360^o) $
$ cos alpha= cos(alpha +k360^o) = cos alpha $ con $ k in Z $
Non sto capendo queste equazioni
Cerco di dirla a parole mie....
Funzione periodica, significa che si ripete in un intervallo di tempo, giusto?
Sarà sicuramente colpa della mia testolina, ma cosa si intende per Periodicità delle funzioni goniometriche
Se ho due angoli orientati, $ alpha_1 $ e $ alpha_2 $, come si può spiegare il concetto
Non sto capendo quanto dice il testo:
Sapendo che due angoli orientati differiscono tra loro di un multiplo di angolo, esprimendo in radianti, come posso scrivere questo?
$ sen alpha= sen(alpha +2kpi) $
$ cos alpha= cos(alpha +2kpi) = cos alpha $ con $ k in Z $
Oppure espressa in gradi:
$ sen alpha= sen(alpha +k360^o) $
$ cos alpha= cos(alpha +k360^o) = cos alpha $ con $ k in Z $
Non sto capendo queste equazioni
Cerco di dirla a parole mie....
Funzione periodica, significa che si ripete in un intervallo di tempo, giusto?
Togli il "di tempo" che vale solo in fisica; qui è un intervallo di angolo (ma non usa dire così). Se tu ruoti di un angolo $alpha$ e poi di $k$ giri, in tutto hai ruotato (in radianti) di $alpha+k*2 pi$ ma, sul cerchio goniometrico, sei nello stesso punto in cui saresti stato se non ci fossero stati i $k$ giri e quindi hai lo stesso seno e lo stesso coseno: in formula, $sin(alpha+k*2 pi)=sin alpha$ e analoga.
"giammaria":
Togli il "di tempo" che vale solo in fisica; qui è un intervallo di angolo (ma non usa dire così). Se tu ruoti di un angolo $alpha$ e poi di $k$ giri, in tutto hai ruotato (in radianti) di $alpha+k*2 pi$ ma, sul cerchio goniometrico, sei nello stesso punto in cui saresti stato se non ci fossero stati i $k$ giri e quindi hai lo stesso seno e lo stesso coseno: in formula, $sin(alpha+k*2 pi)=sin alpha$ e analoga.
Quattro delle tue riga, contro una pagina del mio testo, conclusione rapida precisa e semplice la tua, contro una pagina di passaggi che per me e dico "per me", sono confusionali!
Sei un fenomeno
Grazie mille!
Esercizio 7
Esprimi in radianti gli angoli $ alpha; beta; gamma $ di un trianagolo, sapendo che:
a) $ alpha=72^o $ e $ beta=18^o $
b) Il triangolo è isoscele e $ alpha=45^o $
Cosa devo fare?
Esprimi in radianti gli angoli $ alpha; beta; gamma $ di un trianagolo, sapendo che:
a) $ alpha=72^o $ e $ beta=18^o $
b) Il triangolo è isoscele e $ alpha=45^o $
Cosa devo fare?
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo