Funzioni esponenziale e logaritmica
Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
Risposte
Storicamente non so da quale esigenza siano nati i logaritmi; posso solo indicarti alcuni dei campi in cui trovano applicazioni.
Comincio con uno non matematico, l'acustica. Preso un suono come riferimento, con l'udito valutiamo che l'intensità (cioè l'analogo del volume in una radio) ne sia doppia, tripla, eccetera quando lo è il logaritmo dell'ampiezza dell'onda.
Passando alla matematica li troverai come risultato di alcuni calcoli (come limiti o integrali) che sembravano non aver alcun riferimento coi logaritmi.
Penso però che il primo uso sia stato l'aiuto che fornivano nei calcoli, prima dell'avvento della calcolatrice: somme e sottrazioni si fanno facilmente ma pensa di dover calcolare \(\displaystyle x=12,453^3:32,973 \) con un risultato di cinque cifre. C'erano dei piccoli libri che permettevano di sapere il logaritmo in base 10 (simbolo log) di ogni numero e usandoli al contrario potevi sapere il numero conoscendone il logaritmo, quindi facevi
$logx=3* log 12,453-log32,973=3*1,09527-1,51816=1,76765=>x=58,567$
E' chiaro che oggi l'uso della calcolatrice permette di fare rapidamente questi calcoli e renderebbe inutili i logaritmi; all'interno della calcolatrice però molti di essi (come l'elevazione a potenza o l'estrazione di radici) vengono fatti proprio con i logaritmi.
Comincio con uno non matematico, l'acustica. Preso un suono come riferimento, con l'udito valutiamo che l'intensità (cioè l'analogo del volume in una radio) ne sia doppia, tripla, eccetera quando lo è il logaritmo dell'ampiezza dell'onda.
Passando alla matematica li troverai come risultato di alcuni calcoli (come limiti o integrali) che sembravano non aver alcun riferimento coi logaritmi.
Penso però che il primo uso sia stato l'aiuto che fornivano nei calcoli, prima dell'avvento della calcolatrice: somme e sottrazioni si fanno facilmente ma pensa di dover calcolare \(\displaystyle x=12,453^3:32,973 \) con un risultato di cinque cifre. C'erano dei piccoli libri che permettevano di sapere il logaritmo in base 10 (simbolo log) di ogni numero e usandoli al contrario potevi sapere il numero conoscendone il logaritmo, quindi facevi
$logx=3* log 12,453-log32,973=3*1,09527-1,51816=1,76765=>x=58,567$
E' chiaro che oggi l'uso della calcolatrice permette di fare rapidamente questi calcoli e renderebbe inutili i logaritmi; all'interno della calcolatrice però molti di essi (come l'elevazione a potenza o l'estrazione di radici) vengono fatti proprio con i logaritmi.
concordo con giammaria. Aggiungerei una piccola cosa. Ogni cosa che si studia in matematica, ha delle applicazioni favolose in ogni campo.
Ad esempio, l'aritmetica modulare (che avanti nei suoi studi spero che bad possa volerla conoscere
)è il bastione portante della crittografia.
Ad esempio, l'aritmetica modulare (che avanti nei suoi studi spero che bad possa volerla conoscere
)è il bastione portante della crittografia.
Ok, dubbio chiarito! 
Ho visto che hai fatto un esempio tipo gli esercizi che ho cominciato a fare adesso, cosa ne dici dell'esercizio 14
Se lo svolto bene, vorrei capire come hai fatto con:
$logx=3* log 12,453-log32,973=3*1,09527-1,51816=1,76765=>x=58,567$
Ho visto che hai fatto un esempio tipo gli esercizi che ho cominciato a fare adesso, cosa ne dici dell'esercizio 14
Se lo svolto bene, vorrei capire come hai fatto con:
$logx=3* log 12,453-log32,973=3*1,09527-1,51816=1,76765=>x=58,567$
Esercizio 13
No, non si può fare così; infatti
$log ((a^3)/(root(3)c))+log ((sqrt b)/ (root(3)c))=log((a^3)/(root(3)c)*(sqrt b)/ (root(3)c))$
che non è il tuo testo. Inoltre in questi esercizi si vuole separare fra loro le varie lettere e non lasciarne due insieme.
Esercizio 14
Bene il primo passaggio, ma poi si continua con
$log x^3-log y^4=log((x^3)/(y^4))$
Non ha senso il finale $=0$.
No, non si può fare così; infatti
$log ((a^3)/(root(3)c))+log ((sqrt b)/ (root(3)c))=log((a^3)/(root(3)c)*(sqrt b)/ (root(3)c))$
che non è il tuo testo. Inoltre in questi esercizi si vuole separare fra loro le varie lettere e non lasciarne due insieme.
Esercizio 14
Bene il primo passaggio, ma poi si continua con
$log x^3-log y^4=log((x^3)/(y^4))$
Non ha senso il finale $=0$.
"giammaria":
Non ha senso il finale $=0$.
Perfetto!
Esercizio 15
Completare la seguente uguaglianza:
$ log(a^2-b^2)-log(a-b) $
$ loga^2-logb^2-loga+logb $
$ log(a^2/b^2)+logb-loga $
$ log(a^2/b^2)+log(b/a) $
Ho fatto bene?
Completare la seguente uguaglianza:
$ log(a^2-b^2)-log(a-b) $
$ loga^2-logb^2-loga+logb $
$ log(a^2/b^2)+logb-loga $
$ log(a^2/b^2)+log(b/a) $
Ho fatto bene?
"Kashaman":
concordo con giammaria. Aggiungerei una piccola cosa. Ogni cosa che si studia in matematica, ha delle applicazioni favolose in ogni campo.
Ad esempio, l'aritmetica modulare (che avanti nei suoi studi spero che bad possa volerla conoscere
Ho una grande passione per la matematica, non trascurerò nessun concetto
, spero di essere veloce nel comprendere tutti gli argomenti!
Esercizio 16
Completare la seguente uguaglianza:
$ 1/2 log2(a-1)-log4-log(a+1) $
Ecco cosa ho fatto:
$ log2(a-1)^(1/2)-log4-log(a+1) $
$ log2sqrt((a-1)) -log4-log(a+1) $
$ log((2sqrt((a-1)))/4)-log(a+1) $
$ log((sqrt((a-1)))/2)-log(a+1) $
$ log((sqrt((a-1)))/(2(a+1))) $
Non so se ho fatto bene e non so nemmeno se ho completato l'esercizio o se devo continuare!
Completare la seguente uguaglianza:
$ 1/2 log2(a-1)-log4-log(a+1) $
Ecco cosa ho fatto:
$ log2(a-1)^(1/2)-log4-log(a+1) $
$ log2sqrt((a-1)) -log4-log(a+1) $
$ log((2sqrt((a-1)))/4)-log(a+1) $
$ log((sqrt((a-1)))/2)-log(a+1) $
$ log((sqrt((a-1)))/(2(a+1))) $
Non so se ho fatto bene e non so nemmeno se ho completato l'esercizio o se devo continuare!
Esercizio 15
Decisamente sbagliato. Faccio un ragionamento simile al tuo::
$log 5=log(12-7)=log 12-log 7=log(12/7)$
e quindi $5=12/7$.
Il logaritmo di una somma algebrica non è la somma algebrica dei logaritmi; non c'è nessuna proprietà applicabile al caso in cui una somma è nell'argomento del logaritmo.
Esercizio 16
Attento:
$1/2log 2(a-1)=log[2(a-1)]^(1/2)=log sqrt(2(a-1))$
Il resto va bene, a parte le modifiche che ne conseguono; è completo.
Decisamente sbagliato. Faccio un ragionamento simile al tuo::
$log 5=log(12-7)=log 12-log 7=log(12/7)$
e quindi $5=12/7$.
Il logaritmo di una somma algebrica non è la somma algebrica dei logaritmi; non c'è nessuna proprietà applicabile al caso in cui una somma è nell'argomento del logaritmo.
Esercizio 16
Attento:
$1/2log 2(a-1)=log[2(a-1)]^(1/2)=log sqrt(2(a-1))$
Il resto va bene, a parte le modifiche che ne conseguono; è completo.
"giammaria":
Esercizio 15, decisamente sbagliato.
Quale proprietà devo utilizzare?
Riprovo...
$ log(a^2-b^2)-log(a-b) $
$ log((a^2-b^2)/(a-b)) $
$ log(((a-b)(a+b))/(a-b)) $
$ log(a+b) $
Va bene così
Rifaccio l'esercizio 16
$ 1/2 log2(a-1)-log4-log(a+1) $
Ecco cosa ho fatto:
$ log2(a-1)^(1/2)-log4-log(a+1) $
$ logsqrt(2(a-1)) -log4-log(a+1) $
$ log((sqrt(2(a-1)))/4)-log(a+1) $
$ log((sqrt(2(a-1)))/(4(a+1))) $
Va bene adesso?
$ 1/2 log2(a-1)-log4-log(a+1) $
Ecco cosa ho fatto:
$ log2(a-1)^(1/2)-log4-log(a+1) $
$ logsqrt(2(a-1)) -log4-log(a+1) $
$ log((sqrt(2(a-1)))/4)-log(a+1) $
$ log((sqrt(2(a-1)))/(4(a+1))) $
Va bene adesso?
Sì, adesso vanno bene sia il 15 che il 16.
Esercizio 17
Completa la seguente uguaglianza:
$ loga+1/xloga-1/y(loga+logb) $
$ loga+loga^(1/x)-1/y(loga+logb) $
$ loga+loga^(1/x)-1/ylog(ab) $
$ loga+loga^(1/x)-log(ab)^(1/y) $
$ loga+logroot(x)(a)-logroot(y)(ab) $
$ log(aroot(x)(a))-logroot(y)(ab) $
$ log((aroot(x)(a))/root(y)(ab)) $
Va bene questo?
Completa la seguente uguaglianza:
$ loga+1/xloga-1/y(loga+logb) $
$ loga+loga^(1/x)-1/y(loga+logb) $
$ loga+loga^(1/x)-1/ylog(ab) $
$ loga+loga^(1/x)-log(ab)^(1/y) $
$ loga+logroot(x)(a)-logroot(y)(ab) $
$ log(aroot(x)(a))-logroot(y)(ab) $
$ log((aroot(x)(a))/root(y)(ab)) $
Va bene questo?
Sì.
Esercizio 18
Calcolare il valore delle seguenti espressioni.
$ 16^(log_4 3) $
Come devo fare Il testo mi dice che il risultato è $ 9 $ 
Calcolare il valore delle seguenti espressioni.
$ 16^(log_4 3) $
Come devo fare
Il testo mi dice che il risultato è $ 9 $
Il logaritmo è in base 4, quindi devi ottenere 4 anche come base della potenza, in modo da poter usare la formula $a^(log_a b)=b$. Quindi inizi con
$16^(log_4 3)=(4^2)^(log_4 3)=4^(2log_4 3)=...$
$16^(log_4 3)=(4^2)^(log_4 3)=4^(2log_4 3)=...$
Provo a contiuare....
$16^(log_4 3)=(4^2)^(log_4 3)=4^(2log_4 3)=4^(log_4 3^2)=4^(log_4 9)=log_4 4*9$
Quindi
$ log_4 4*9=9 $
Va bene così
$16^(log_4 3)=(4^2)^(log_4 3)=4^(2log_4 3)=4^(log_4 3^2)=4^(log_4 9)=log_4 4*9$
Quindi
$ log_4 4*9=9 $
Va bene così
Esercizio 19
Calcolare il valore delle seguenti espressioni.
$ 9^(-log_3 10) $
Quindi
$ (1/3)^(2log_3 10) =>(1/3)^(log_3 10^2)=>(1/3)^(log_3 100) => log_3 100(1/3)=>log_3(1/3)100 $
$ log_3 3^-1 100=> 100^-1=> 1/100 $
Va bene così
Calcolare il valore delle seguenti espressioni.
$ 9^(-log_3 10) $
Quindi
$ (1/3)^(2log_3 10) =>(1/3)^(log_3 10^2)=>(1/3)^(log_3 100) => log_3 100(1/3)=>log_3(1/3)100 $
$ log_3 3^-1 100=> 100^-1=> 1/100 $
Va bene così
Esercizio 20
Dire quali dei seguenti numeri sono positivi e quali negativi, e perchè:
a) $ log_(1/2) 3 $ ; b) $ -log_3 17/5 $ ; c) $ log_5 11-1 $ ; d) $ 2-log_4 17 $
Risoluzione punto a)
Secondo me il punto a) è positivo, ho eseguito gli step che portano alla soluzione nel modo seguente:
$ log_(2^-1) 3=x => 3=2^-x => 3=(1/2)^x $
Vedendo l'ultimo step, cioè $ 3=(1/2)^x $ ho pensato che il possibile valore di $ x $ sia $ 1 $ , senza pensare a nessun passaggio, con un colpo d'occhio, ho fatto questo:
$ 3=(1/2)^x=>3=(6/2)^1=>3=3 $
Ma se mi fosse capitato una circostanza un po più difficile, come avrei dovuto ricavare il valore della $ x $ , intendo quali sono i passaggi algebrici che determinano il valore della $ x $
Risoluzione punto b)
Penso sia positivo ma non ne sono sicuro
$ -log_3 17/5=>log_3 (17/5)^-1=>log_3 (5/17)=x $
$ 5/17=3^x $
Dopo questo ultimo passaggio, non sò continuare
!
Come posso ricavare il valore della $ x $
Risoluzione punto c)
Questo ultimo punto mi sembra facilissimo, viene istintivamente dire che il logaritmo base $ 5 $ è uguale a $ 2 $ .
$ log_5 11-1=>log_5 10=>log_5 5*2=2 $
Risoluzione punto d)
$ log_4 17^-2=>17^-2=4^x $
Mi viene di dire che il valore della $ x $ sia $ -2 $ ma non saprei dire quale è la base della potenza, ecco quì:
$ (1/17)^2=4^-x=>(1/17)^2=(1/4)^2 $
Dire quali dei seguenti numeri sono positivi e quali negativi, e perchè:
a) $ log_(1/2) 3 $ ; b) $ -log_3 17/5 $ ; c) $ log_5 11-1 $ ; d) $ 2-log_4 17 $
Risoluzione punto a)
Secondo me il punto a) è positivo, ho eseguito gli step che portano alla soluzione nel modo seguente:
$ log_(2^-1) 3=x => 3=2^-x => 3=(1/2)^x $
Vedendo l'ultimo step, cioè $ 3=(1/2)^x $ ho pensato che il possibile valore di $ x $ sia $ 1 $ , senza pensare a nessun passaggio, con un colpo d'occhio, ho fatto questo:
$ 3=(1/2)^x=>3=(6/2)^1=>3=3 $
Ma se mi fosse capitato una circostanza un po più difficile, come avrei dovuto ricavare il valore della $ x $ , intendo quali sono i passaggi algebrici che determinano il valore della $ x $
Risoluzione punto b)
Penso sia positivo ma non ne sono sicuro
$ -log_3 17/5=>log_3 (17/5)^-1=>log_3 (5/17)=x $
$ 5/17=3^x $
Dopo questo ultimo passaggio, non sò continuare
! Come posso ricavare il valore della $ x $
Risoluzione punto c)
Questo ultimo punto mi sembra facilissimo, viene istintivamente dire che il logaritmo base $ 5 $ è uguale a $ 2 $ .
$ log_5 11-1=>log_5 10=>log_5 5*2=2 $
Risoluzione punto d)
$ log_4 17^-2=>17^-2=4^x $
Mi viene di dire che il valore della $ x $ sia $ -2 $ ma non saprei dire quale è la base della potenza, ecco quì:
$ (1/17)^2=4^-x=>(1/17)^2=(1/4)^2 $
"Bad90":
Esercizio 20
....
$ 3=(1/2)^x=>3=(6/2)^1=>3=3 $
....
Se $x=1$, allora $(1/2)^x=(1/2)^1=1/2$ ....
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