Funzioni esponenziale e logaritmica

[Bad90]

Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....

$ 2^sqrt(5) $

E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!

Va bene detta così

[Bad90]

Per il punto d) ho lanciato un po' di cavolate ironizzando un po'!

[Bad90]

Scusami, ma ancora non hi compreso come hai fatto i passaggi per il punto b)
Mi sembra di aver compreso che ha qualcosa a che fare con:

$ log_3 5=(log 5)/(log 3) $

Ma tu a cosa hai pensato per risolverlo?
Non capisco perche' se la traccia inizia cosi':

$ log_3 5....(1)/(log_5 3) $

Perche' tu hai iniziato a risolverlo al contrario? Cioe' cosi'?

$ log_5 3....(1)/(log_3 5) $

[Bad90]

Esercizio 23
Analogo all'esercizio 22, se ho la seguente:

$ log_a 5.....log_a 6 $ Se $ a..... $

Mi sembra che sia un po generica, quindi posso dare valori arbritari alla $ a $

Quindi si puo fare cosi'

$ log_a 5

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[Bad90]

Esercizio 24
Costruire il grafico della funzione logaritmica.

$ y=-logx $

Cosa bisogna fare per creare il grafico? Bisogna utilizzare valori arbritari?

[garnak.olegovitc1]

Salve Bad90,

"Bad90":Esercizio 24
Costruire il grafico della funzione logaritmica.

$ y=-logx $

Cosa bisogna fare per creare il grafico? Bisogna utilizzare valori arbritari?

non sò se lo sai fare così

Cordiali saluti

[Bad90]

"garnak.olegovitc":
Costruire il grafico della funzione logaritmica.

$ y=-logx $

Cosa bisogna fare per creare il grafico? Bisogna utilizzare valori arbritari?

non sò se lo sai fare così

Cordiali saluti

Sono ancora all'inizio, magari qualcosa di più semplice da comprendere!

[garnak.olegovitc1]

Salve Bad90,
i tuoi docenti in merito a quali argomenti ti hanno lasciato questo esercizio?
Cordiali saluti

P.S.=Quello di assegnare dei valori alla variabile indipendente $x$ e poi ricavarti i valori di $y$ è un ottimo inizio

[Bad90]

Dunque, sto cercando di fare chiarezza sull'Esercizio 22.
Inserire il simbolo $ > $ , oppure $ < $ , oppure $ = $ , tra i seguenti numeri:

b) $ log_3 5...1/(log_5 3) $

Utilizzando la tesi $ log_a b=(log_c b)/(log_c a) $ svolgo i seguenti step:

Prendo il primo membro della traccia $ log_3 5 $ e lo pongo uguale ad $ x $ :

$ x=log_3 5=>3^x=5 $

Adesso noto al secondo membro il denominatore $ log_5 3 $ e io prendo solo $ log_5 $ e calcolo i logaritmi di $ 3^x=5 $ con la base $ log_5 $:

$ log_5 3^x=log_5 5 => x log_5 3=1=> x =1/(log_5 3)$

Sapendo che la $ x=log_3 5 $ allora si arriva a dire che $ log_3 5 =1/(log_5 3) $ .

E' per questo che si può utilizzare $ = $ e non $ < $ oppure $ > $

[Kashaman]

"Bad90":

Utilizzando la tesi $ log_a b=(log_c b)/(log_c a) $ svolgo i seguenti step:


ma questa non è la formula del cambiamento di base?. non capisco dove la usi.

[Bad90]

Ciao Kashaman, non sto capendo cosa vuoi dire, ed aggiungo che sto cercando di capire anche l'esercizio, di piu' non so dirti!

[giammaria2]

Esercizio 22
Dimentica $x$: serve per dimostrare la formula $log_a b=(log_c b)/(log_c a)$ ma poi si usa sempre e solo quest'ultima. Una sua conseguenza, ottenuta quando $c=b$ e che è quella a cui ho pensato, è che base ed argomento di un logaritmo possono scambiarsi fra loro purché contemporaneamente il logaritmo passi a denominatore e per questo non ho badato alla posizione di 3 e 5; $log_3 5$ è l'inverso di $log_5 3$ e viceversa.
E' chiaro che, se due cose sono uguali, fra loro non c'è né il $>$ né il $<$.

Esercizio 23
Quello che chiede è mettere il > o il < fra i due logaritmo e ti accorgi che non si può dare una risposta valida per ogni valore di $a$; occorre distinguere. Sappiamo che al crescere dell'argomento il logaritmo aumenta se $a>1$ quindi cominciamo a scrivere
- se $a>1$ si ha $log_a 5 Se invece $a<1$, pur restando positivo, vale il contrario quindi scriviamo
- se $0log_a 6$
e concludiamo con gli altri casi
- se $a<=0 vv a=1$ il logaritmo non ha senso.

Caso d)
Noto che due validi solutori non hanno dato risposta, anche se i loro interventi rendono molto probabile che abbiano letto la mia domanda, e ne concludo che la risposta voluta dal libro fosse "Senza calcolatrice non si può rispondere". Forse una risposta è possibile, ma a livello di Olimpiadi della Matematica o a livello universitario.

[Bad90]

"giammaria":Esercizio 22
Dimentica $x$: serve per dimostrare la formula $log_a b=(log_c b)/(log_c a)$ ma poi si usa sempre e solo quest'ultima. Una sua conseguenza, ottenuta quando $c=b$ e che è quella a cui ho pensato, è che base ed argomento di un logaritmo possono scambiarsi fra loro purché contemporaneamente il logaritmo passi a denominatore e per questo non ho badato alla posizione di 3 e 5; $log_3 5$ è l'inverso di $log_5 3$ e viceversa.
E' chiaro che, se due cose sono uguali, fra loro non c'è né il $>$ né il $<$.

Ma allora vuol dire che $ log_3 5=1/(log_5 3) $ per formula inversa darà $ log_5 3=1/(log_3 5) $
Centra nulla questo

[Bad90]

"giammaria":Esercizio 23
Quello che chiede è mettere il > o il < fra i due logaritmo e ti accorgi che non si può dare una risposta valida per ogni valore di $a$; occorre distinguere. Sappiamo che al crescere dell'argomento il logaritmo aumenta se $a>1$ quindi cominciamo a scrivere
- se $a>1$ si ha $log_a 5 Se invece $a<1$, pur restando positivo, vale il contrario quindi scriviamo
- se $0log_a 6$
e concludiamo con gli altri casi
- se $a<=0 vv a=1$ il logaritmo non ha senso.

Avevo pensato che bisognava fare più di qualche considerazione, solo che poi non ero sicuro!
Ti ringrazio!

[giammaria2]

"Bad90": Ma allora vuol dire che $ log_3 5=1/(log_5 3) $ per formula inversa darà $ log_5 3=1/(log_3 5) $
Centra nulla questo

Sì, vuol dire questo.
Pss: si scrive "c'entra" (= ci entra); la tua parola va bene in frasi come "la freccia centra il bersaglio"

[Bad90]

"giammaria":[quote="Bad90"] Ma allora vuol dire che $ log_3 5=1/(log_5 3) $ per formula inversa darà $ log_5 3=1/(log_3 5) $
Centra nulla questo

Sì, vuol dire questo.
Pss: si scrive "c'entra" (= ci entra); la tua parola va bene in frasi come "la freccia centra il bersaglio"[/quote]
Ok, finalmente posso tranquillizzarmi con questo esercizio !
Ok anche per "c'entra" (= ci entra)

[Bad90]

Ritornando sull'esercizio 24, sto cercando di fare il grafico della funzione $ y=-logx $
Ho pensato di dare alla $ y $ valori arbritari, ma non sono sicuro sul come fare, provo a dire qualcosa...
Cercherò di disegnare vari punti sul grafico, ok, ma se io do il valore alla $ y=0 $ , quanto varrà la $ x $

Se $ y=0 $ allora $ -logx=0 $ è giusto se per ricavare la $ x $ faccio così

$ -logx=0=>logx^-1=0=>log(1/x)=0=>log=x*0=0 $

Quindi il primo punto è $ P(0,0) $ Penso di aver sbagliato a fare questi calcoli, perchè non penso che per i logaritmi esista una curva che passi per il punto $ P(0,0) $

[Bad90]

"Bad90":[quote="giammaria"]- se $a>1$: il logaritmo aumenta all'aumentare di x; vale 1 se x=a e quindi meno di 1 se xa;
- se $a<1$: il logaritmo diminuisce all'aumentare di x; vale 1 se x=a e quindi più di 1 se xa.

[/quote]
E se $ a $ tende a crescere e la $ x $ resta costante? Come si può dire?

$ log_2 x...log_3 x....log_4 x.... $

[Bad90]

Risoluzione Esercizio 24
Sono arrivato alle seguenti conclusioni, ma correggetemi se sbaglio....
Il logaritmo dato dalla traccia è il seguente:

$ y=-logx $

In questi casi, per poter disegnare il grafico, bisogna imporre che la base del logaritmo sia $ a>0 $ che sia $ a != 1 $ e allora io dico che $ a=2 $, ma bisogna imporre che $ x>0 $ Spero di dire bene...
Fatto questo, eseguo alcuni step sul logaritmo dato dalla traccia:

$ y=-logx=>y=log_2 x^-1=>y=log_(1/2) x$

Avendo fatto questi step, mi rendo conto che il grafico della funzione, avendo $ a<1 $, sarà:
a) Il grafico giace nel semipaino positivo delle ordinate.
b) Il grafico non interseca l’asse delle ordinate.
c) Il grafico interseca l’asse delle ascisse nel punto (1,0).
d) Ha come asintoto verticale: l'asse delle y
e) È una funzione monotona decrescente.

Se adesso comincio a dare valori arbritari positivi e negativi alla $ y $ , potrò avere i seguenti punti:

Se $ y=0 $ allora $ 0=-logx=>0=log_2 x^-1=>0=log_(1/2) x=>x=(1/2)^0=>x=1$

Senza ripetere gli stessi step di calcolo, alternando a valori positivi quelli negativi, potrò avere i seguenti punti:

$ A(1,0); B(1/2,1); C(1/4,2); D(2,-1); E(4,-2)......... $

P.S. Dite che ho intuito la retta via

Ecco l'immagine:

[Bad90]

Esercizio 25
Costruire il grafico della seguente funzione logaritmica:

$ y=log(1+x) $

Stesso ragionamento dell'esercizio precedente, cioè essendo logaritmi in base $ 10 $ impongo che il minimo per le condizioni sia $ a=2 $, e che $ (1+x)>0 $ e quindi risolvo la disequazione:

$ (1+x)>0=> x > -1 $

Avendo garantito l'esistenza in $ RR $, posso cominciare a dare valori positivi e negativi per costruire il grafico.

Per $ y=0 $ allora $ 0=log_2(1+x)=>(1+x)=2^0=>1+x=1=>x=0 $. Il primo punto $ A(0,0) $.
Su questo mi soffermo per smentire ciò che ho detto in un messaggio precedente, cioè che non esistono funzioni logaritmiche che generano curve passanti per il punto $ (0,0) $

Stessa storia dei valori arbritari positivi e negativi, ed arrivo al seguente grafico:

[Bad90]

Esercizio 26
Costruire il grafico della funzione logaritmica seguente.

$ y=Inx^2 $

Come devo fare a costruire il grafico Sul testo non ho un esempio tipo, non sto riuscendo a trovare qualcosa che faccia vedere come costruire il grafico! Sapreste cortesemente indirizzarmi su qualche link