Funzioni esponenziale e logaritmica
Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
Risposte
"Kashaman":
ti propongo altri esercizi.
1)Dire se $f : RR-> RR $ definita ponendo $AA x in RR : f(X)=x^2-1$ è iniettiva.
2) Sia $g : RR->RR : g(X) = 2^x$ . Mostrare che $g^(-1)(0)$ è l'insieme vuoto.
3) esiste un $x$ tale che $log_3x^2=3$?
4) trova $x$ tale che $log_(2x+1)x^2= 2$ se possibile
Ancora non sono in grado di risolverli, ma mi farebbe piacere se mi aiutassi a capire come risolverle!
Mi puoi dare una mano a ragionare come fare per risolverli? Hai qualche link dove posso studiare questi argomenti? Sul mio testo ancora non sono arrivato a fare esercizi tipo questi! Oppure se hai qualche appunto, così lo studio e li risolvo!
Mi fa veramente piacere se riesco a risolverli! Ti ringrazio!
Esercizio 9
In base all'identità $ a^(log_a b)=b $ , calcolare:
a) $ 3^(log_3 5) $
b) $ 5^(-log_5 5) $
Come devo risolverle Più che altro mi interessa sapere quale proprietà devo utilizzare per eseguirli in modo corretto! Comunque ho trovato un appunto che parla di questi esercizi, qui' nel forum, e' veramente completo, soltanto che non sto capendo come svolgerli. Insomma si tratta di una forma inversa di scrivere il logaritmo, ma non sto capendo gli step inversi che portano alla soluzione!
Ecco cosa non mi è chiaro!
Dalla definizione si deduce che le equazioni:
$ a^x=b^^x=log_a b $
sono equivalenti e possono essere scritte anche:
$ a^(log_a b)=b^^ log_a a^x=x $
Pertanto, nella stessa base, le due operazioni di innalzamento a potenza e di estrazione di logaritmo applicate successivamente a uno stesso numero non lo cambiano e sono quindi operazioni l’una inversa dell’altra.
Più chiaramente, se si parte da una base assegnata $a$, la si eleva alla potenza $x$ e poi, di questo numero così ottenuto, si prende il logaritmo in base $a$, si ottiene ancora il numero $x$.
In base all'identità $ a^(log_a b)=b $ , calcolare:
a) $ 3^(log_3 5) $
b) $ 5^(-log_5 5) $
Come devo risolverle
Più che altro mi interessa sapere quale proprietà devo utilizzare per eseguirli in modo corretto! Comunque ho trovato un appunto che parla di questi esercizi, qui' nel forum, e' veramente completo, soltanto che non sto capendo come svolgerli. Insomma si tratta di una forma inversa di scrivere il logaritmo, ma non sto capendo gli step inversi che portano alla soluzione!Ecco cosa non mi è chiaro!
Dalla definizione si deduce che le equazioni:
$ a^x=b^^x=log_a b $
sono equivalenti e possono essere scritte anche:
$ a^(log_a b)=b^^ log_a a^x=x $
Pertanto, nella stessa base, le due operazioni di innalzamento a potenza e di estrazione di logaritmo applicate successivamente a uno stesso numero non lo cambiano e sono quindi operazioni l’una inversa dell’altra.
Più chiaramente, se si parte da una base assegnata $a$, la si eleva alla potenza $x$ e poi, di questo numero così ottenuto, si prende il logaritmo in base $a$, si ottiene ancora il numero $x$.
gli ultimi due sei in grado eccome.
"Kashaman":
gli ultimi due sei in grado eccome.
Non sto riuscendo! Come devo fare?
devi usare sempre la definizione del logaritmo.
Ti faccio vedere il penultimo.
Tu hai $log_3x^2=3$ ok? per definizione di logaritmo hai che $x^2=3^3=27$ , ora il valore di $x$ te lo trovi semplicemente risolvendo quell'equazione. che ha soluzioni $x=+-sqrt27$. Ora la traccia vuole $x>0$ pertanto prendo $x=sqrt27$ che è la soluzione del problema.
L'ultimo è perfettamente analogo. Provaci.
EDIT ti faccio notare che in questo caso potevi prendere anche la soluzione negativa. Perché COME argomento a quel logaritmo hai un quadrato, e quindi a meno che $x$ non sia zero, ogni valore di $x$ è plausibile
Ti faccio vedere il penultimo.
Tu hai $log_3x^2=3$ ok? per definizione di logaritmo hai che $x^2=3^3=27$ , ora il valore di $x$ te lo trovi semplicemente risolvendo quell'equazione. che ha soluzioni $x=+-sqrt27$. Ora la traccia vuole $x>0$ pertanto prendo $x=sqrt27$ che è la soluzione del problema.
L'ultimo è perfettamente analogo. Provaci.
EDIT ti faccio notare che in questo caso potevi prendere anche la soluzione negativa. Perché COME argomento a quel logaritmo hai un quadrato, e quindi a meno che $x$ non sia zero, ogni valore di $x$ è plausibile
Esercizio 10
Calcolare il valore della seguente espressione.
$ log_2 sqrt(8sqrt(2) )+log_3 27root(3)(3sqrt(3) ) $
Ho fatto cosi':
$ log_2 root(4)(2^4) + log_3 27root(6)(9) =>log_2 2 + log_3 27root(2*3)(3^2) $
$ log_2 2 + log_3 27root(3)(3) => log_2 2 + log_3 27(3)^(1/3) $
$ log_2 2 + log_3 3^3(3)^(1/3) => log_2 2 + 3(3)^(1/3) $
Ho l'impressione che sto sbagliando qualcosa!
Sto cercando di capire l'errore, allora questo è semplice $ log_2 2=x=>2=2^x=>1$
Calcolare il valore della seguente espressione.
$ log_2 sqrt(8sqrt(2) )+log_3 27root(3)(3sqrt(3) ) $
Ho fatto cosi':
$ log_2 root(4)(2^4) + log_3 27root(6)(9) =>log_2 2 + log_3 27root(2*3)(3^2) $
$ log_2 2 + log_3 27root(3)(3) => log_2 2 + log_3 27(3)^(1/3) $
$ log_2 2 + log_3 3^3(3)^(1/3) => log_2 2 + 3(3)^(1/3) $
Ho l'impressione che sto sbagliando qualcosa!
Sto cercando di capire l'errore, allora questo è semplice $ log_2 2=x=>2=2^x=>1$
"Bad90":
Esercizio 10
Calcolare il valore della seguente espressione.
$ log_2 sqrt(8sqrt(2) )+log_3 27root(3)(3sqrt(3) ) $
Ho fatto cosi':
$ log_2 root(4)(2^4) + log_3 27root(6)(9) =>log_2 2 + log_3 27root(2*3)(3^2) $
$ log_2 2 + log_3 27root(3)(3) => log_2 2 + log_3 27(3)^(1/3) $
$ log_2 2 + log_3 3^3(3)^(1/3) => log_2 2 + 3(3)^(1/3) $
Ho l'impressione che sto sbagliando qualcosa!
Sto cercando di capire l'errore, allora questo è semplice $ log_2 2=x=>2=2^x=>1$
penso che c'è un errore
$ log_2 sqrt(8sqrt(2) )+log_3 27root(3)(3sqrt(3) ) => log_2 (8sqrt(2) )^(1/2)+log_3 27(3sqrt(3) )^(1/3) => 1/2log_28+1/2log_2sqrt2+1/3log_3(27)+1/3log_3sqrt3 $ continua tu
"Kashaman":
$ 1/2log_2 8+1/2log_2sqrt2+1/3log_3(27)+1/3log_3sqrt3 $ continua tu
Ok!
$ 1/2log_2 8+1/2log_2sqrt2+1/3log_3(27)+1/3log_3 3sqrt3 $
$ 1/2log_2 8+1/2log_2(2)^(1/2)+1/3log_3(27)+1/3log_3 3(3)^(1/2) $
$ 1/2log_2 8+1/2log_2(2)^(1/2)+1/3log_3(3)^3+1/3log_3 3(3)^(1/2) $
$ 1/2log_2 8+1/2log_2(2)^(1/2)+log_3(3)+1/3log_3 3(3)^(1/2) $
$ 1/2log_2 8+1/2log_2(2)^(1/2)+1+1/3log_3 3(3)^(1/2) $
Non so se ho fatto bene, ma se così è come posso continuare?
"Bad90":
[quote="Kashaman"]$ 1/2log_28+1/2log_2sqrt2+1/3log_3(27)+1/3log_3sqrt3 $ continua tu
Ok!
$ 1/2log_2 8+1/2log_2sqrt2+1/3log_3(27)+1/3log_3 3sqrt3 $
$ 1/2log_2 8+1/2log_2(2)^(1/2)+1/3log_3(27)+1/3log_3 3(3)^(1/2) $
$ 1/2log_2 8+1/2log_2(2)^(1/2)+1/3log_3(3)^3+1/3log_3 3(3)^(1/2) $
$ 1/2log_2 8+1/2log_2(2)^(1/2)+log_3(3)+1/3log_3 3(3)^(1/2) $[/quote]
è ancora incompleto.
$log_2 8=?$
$log_2(2)^(1/2)=?$
$log_3(3)=?$
$1/3log_3 3(3)^(1/2) =?$
"Kashaman":
è ancora incompleto.
$log_2 8=?$
$log_2(2)^(1/2)=?$
$log_3(3)=?$
$1/3log_3 3(3)^(1/2) =?$
Perchè hai scritto $log_2 8=?$ invece di scrivere $1/2 log_2 8=?$
Vuol dire che nel passaggio successivo, non va più considerato?Ho provato a fare come segue:
$ 1/2log_2 2^3 +1/4log_2 2+log_3 3+1/3log_3 3(3)^(1/2) $
Ma adesso dovrebbe essere così?
$ 3/2+1/4+1+1/6+1/6 $
Non sto riuscendo!
Scusate, provo a risolvere i singoli punti, magari viene fuori l'errore....
Dunque, è giusto questo?
Primo logaritmo, cominciando da sinistra verso destra.
$ 1/2log_2 8 =>1/2log_2 2^3 =>1/2*3=>3/2 $
Secondo logaritmo, cominciando da sinistra verso destra.
$ 1/4log_2 2=>1/4*1=>1/4 $
Terzo logaritmo, cominciando da sinistra verso destra.
$ log_3 3=>3=3^x=>1 $
Quarto logaritmo, cominciando da sinistra verso destra.
$ 1/3log_3 3(3)^(1/2) =>1/6log_3 3+1/6log_3 3 =>1/6+1/6$
Non sto riuscendo, perchè il testo mi da il seguente risultato $ 21/4 $ e con quei valori non arrivo a quel risultato, cioè ponendo la seguente uguale a zero:
$ 3/2+1/4+1+1/6+1/6 =0 $
Forse un mio intervento sblocca le difficoltà di Bad90; svolgo però, con commenti, solo la seconda metà dell'esercizio e gli lascio la prima, in modo che possa controllare di aver capito. Parto quindi da $log_3 27 root(3)(3sqrt3)$:
è un prodotto, quindi $=log_3 27+log_3 root(3)(3sqrt3)$ ;
porto fuori logaritmo l'elevazione ad $1/3$: $=log_3 3^3+1/3log_3 (3sqrt 3)$ ;
calcolo il primo logaritmo e spezzo il secondo: $=3+1/3(log_3 3+log_3 3^(1/2))$
facendo notare che ho dovuto mettere la parentesi perché $1/3$ moltiplica tutto. Ora calcolo tutti i logaritmi
$= 3+1/3(1+1/2)=...=7/2$
In alternativa, avrei potuto lavorare con le radici; per semplicità di scrittura penso al logaritmo solo alla fine.
$27 root(3)(3sqrt3)=3^3 root(3)(sqrt(3^2*3))=3^3 root(6)(3^3)=3^3sqrt3=sqrt(3^6*3)=sqrt(3^7)=3^(7/2)$
e quindi il suo logaritmo in base 3 è $7/2$-
è un prodotto, quindi $=log_3 27+log_3 root(3)(3sqrt3)$ ;
porto fuori logaritmo l'elevazione ad $1/3$: $=log_3 3^3+1/3log_3 (3sqrt 3)$ ;
calcolo il primo logaritmo e spezzo il secondo: $=3+1/3(log_3 3+log_3 3^(1/2))$
facendo notare che ho dovuto mettere la parentesi perché $1/3$ moltiplica tutto. Ora calcolo tutti i logaritmi
$= 3+1/3(1+1/2)=...=7/2$
In alternativa, avrei potuto lavorare con le radici; per semplicità di scrittura penso al logaritmo solo alla fine.
$27 root(3)(3sqrt3)=3^3 root(3)(sqrt(3^2*3))=3^3 root(6)(3^3)=3^3sqrt3=sqrt(3^6*3)=sqrt(3^7)=3^(7/2)$
e quindi il suo logaritmo in base 3 è $7/2$-
Ecco tutti i passaggi:
$ log_2 (8sqrt(2))^(1/2)+ log_3 3^3+log_3root(3)(3sqrt(3) ) $
$ 1/2 log_2 (8sqrt(2))+ log_3 3^3+log_3 (3sqrt(3) )^(1/3) $
$ 1/2 log_2 8+1/2 log_2 sqrt(2)+ log_3 3^3+1/3 log_3 (3sqrt(3) ) $
$ 1/2 (log_2 2^3+log_2 2^(1/2))+ 3+1/3 (log_3 3 +log_3 3^(1/2)) $
$ 1/2 (3+1/2)+ 3+1/3 (1+1/2) $
$ S=21/4 $
I logaritmi non sono tanto facili da comprendere, colgo l'occasione per dire pubblicamente che la capacità di far comprendere questi concetti, è una dote di natura! Giammaria, non finirò mai di ringraziarti!
$ log_2 (8sqrt(2))^(1/2)+ log_3 3^3+log_3root(3)(3sqrt(3) ) $
$ 1/2 log_2 (8sqrt(2))+ log_3 3^3+log_3 (3sqrt(3) )^(1/3) $
$ 1/2 log_2 8+1/2 log_2 sqrt(2)+ log_3 3^3+1/3 log_3 (3sqrt(3) ) $
$ 1/2 (log_2 2^3+log_2 2^(1/2))+ 3+1/3 (log_3 3 +log_3 3^(1/2)) $
$ 1/2 (3+1/2)+ 3+1/3 (1+1/2) $
$ S=21/4 $
I logaritmi non sono tanto facili da comprendere, colgo l'occasione per dire pubblicamente che la capacità di far comprendere questi concetti, è una dote di natura! Giammaria, non finirò mai di ringraziarti!
Esercizio 11
Ci sto prendendo gusto e quindi ne posto ancora uno
$ log_3 root(3)(81)+log_(1/2) 1/4root(3)(2^4) $
$ 1/3*log_3 3^4 +log_(1/2) 1/4*2root(3)(2) $
$ 1/3*log_3 3^4 +log_(1/2) 1/2 root(3)(2) $
$ 1/3*4 + 1/3*2=> 4/3+2/3=>6/3=2 $
Ci sto prendendo gusto e quindi ne posto ancora uno
$ log_3 root(3)(81)+log_(1/2) 1/4root(3)(2^4) $
$ 1/3*log_3 3^4 +log_(1/2) 1/4*2root(3)(2) $
$ 1/3*log_3 3^4 +log_(1/2) 1/2 root(3)(2) $
$ 1/3*4 + 1/3*2=> 4/3+2/3=>6/3=2 $
Esercizio 12
$ log_5 root(5)(5 root(3)(5) ) + log_3 81root(5)(27) $
E' semplice, ma non sto riuscendo.....
$ log_5 (5root(3)(5))^(1/5)+log_3 81(27)^(1/5) $
$ 1/5*log_5 5+1/5 log_5 root(3)(5) +1/5*log_3 81+1/5*log_3 27 $
$ 1/5*log_5 5+1/5 log_5 5^(1/3) +1/5*log_3 3^4+1/5*log_3 3^3 $
$ 1/5*(log_5 5+log_5 5^(1/3) + log_3 3^4+ log_3 3^3) $
$ 1/5*(1 + 1/3 + 4+ 3) $
$ 1/5*((3+1+12+9)/3) $
$ 1/5*(25/3) $
$ 25/15=>5/3 $
Ma il testo mi dice che $ 73/15 $
Mi sembra banale, ma non riesco ad ottenere $ 73/15 $
$ log_5 root(5)(5 root(3)(5) ) + log_3 81root(5)(27) $
E' semplice, ma non sto riuscendo.....
$ log_5 (5root(3)(5))^(1/5)+log_3 81(27)^(1/5) $
$ 1/5*log_5 5+1/5 log_5 root(3)(5) +1/5*log_3 81+1/5*log_3 27 $
$ 1/5*log_5 5+1/5 log_5 5^(1/3) +1/5*log_3 3^4+1/5*log_3 3^3 $
$ 1/5*(log_5 5+log_5 5^(1/3) + log_3 3^4+ log_3 3^3) $
$ 1/5*(1 + 1/3 + 4+ 3) $
$ 1/5*((3+1+12+9)/3) $
$ 1/5*(25/3) $
$ 25/15=>5/3 $
Ma il testo mi dice che $ 73/15 $
Mi sembra banale, ma non riesco ad ottenere $ 73/15 $
81 è fuori dalla radice quinta quindi nel secondo passaggio devi scrivere $+log_3 81$, senza $1/5$.
"giammaria":
81 è fuori dalla radice quinta quindi nel secondo passaggio devi scrivere $+log_3 81$, senza $1/5$.
Pensavo che $ 1/5 $ moltiplicava entrambi.
Adesso sono riuscito a risolverlo!
Grazie!
Esercizio 12
$ log_5 25sqrt(1/5root(3)(25sqrt(5) ) ) $
Ecco la soluzione:
$ log_5 25+1/2log_5 1/5(25sqrt(5))^(1/3) $
$ log_5 5^2+1/2log_5 1/5+1/6log_5 25sqrt(5) $
$ log_5 5^2+1/2log_5 1/5+1/6log_5 25(5)^(1/2) $
$ log_5 5^2+1/2log_5 1/5+1/6log_5 5^2+1/12log_5 5 $
$ 2+1/2*(-1)+1/6*(2)+1/12*(1) $
$ 2-1/2+1/3+1/12 $
$ (24-6+4+1)/12 $
$ 23/12 $
$ log_5 25sqrt(1/5root(3)(25sqrt(5) ) ) $
Ecco la soluzione:
$ log_5 25+1/2log_5 1/5(25sqrt(5))^(1/3) $
$ log_5 5^2+1/2log_5 1/5+1/6log_5 25sqrt(5) $
$ log_5 5^2+1/2log_5 1/5+1/6log_5 25(5)^(1/2) $
$ log_5 5^2+1/2log_5 1/5+1/6log_5 5^2+1/12log_5 5 $
$ 2+1/2*(-1)+1/6*(2)+1/12*(1) $
$ 2-1/2+1/3+1/12 $
$ (24-6+4+1)/12 $
$ 23/12 $
Mi sorge la curiosità sui logaritmi 
Quando penso ai numeri, giustifico il perchè l'essere umano ha avuto le sue esigenze nel loro utilizzo, fin dalla preistoria, l'uomo contava il suo gregge......., ma l'utilizzo dei logaritmi, per quale motivo l'uomo ha sentito questa esigenza logaritmica, (se così si può chiamare)
Quando penso ai numeri, giustifico il perchè l'essere umano ha avuto le sue esigenze nel loro utilizzo, fin dalla preistoria, l'uomo contava il suo gregge......., ma l'utilizzo dei logaritmi, per quale motivo l'uomo ha sentito questa esigenza logaritmica, (se così si può chiamare)
Esercizio 13
Ho un dubbio su un passaggio algebrico di un logaritmo.....
Se io ho:
$ log ((a^3*sqrt(b) )/root(3)(c)) $
So che si può fare questo passaggio algebrico che porta alla soluzione corretta:
$ log (1/root(3)(c)) +log a^3+log sqrt(b) $
Ma non s potrebbe fare così
$ log (a^3/root(3)(c))+log (sqrt(b)/(root(3)(c))) $
$ log a^3+log (1/root(3)(c))+log sqrt(b)+(1/(root(3)(c))) $
e poi ..................
Ho un dubbio su un passaggio algebrico di un logaritmo.....
Se io ho:
$ log ((a^3*sqrt(b) )/root(3)(c)) $
So che si può fare questo passaggio algebrico che porta alla soluzione corretta:
$ log (1/root(3)(c)) +log a^3+log sqrt(b) $
Ma non s potrebbe fare così
$ log (a^3/root(3)(c))+log (sqrt(b)/(root(3)(c))) $
$ log a^3+log (1/root(3)(c))+log sqrt(b)+(1/(root(3)(c))) $
e poi ..................
Esercizio 14
Completare la seguente uguaglianza:
$ 3logx - 4logy=....... $
Come bisogna risolvere questi esercizi?
Non ho i risultati sul testo, chiedo a voi conferma se quanto segue è corretto:
$ 3logx - 4logy=logx^3 - logy^4=logx^3/(logy^4)=0 $
Spero di non aver fatto cavolate!
Grazie mille!
Completare la seguente uguaglianza:
$ 3logx - 4logy=....... $
Come bisogna risolvere questi esercizi?
Non ho i risultati sul testo, chiedo a voi conferma se quanto segue è corretto:
$ 3logx - 4logy=logx^3 - logy^4=logx^3/(logy^4)=0 $
Spero di non aver fatto cavolate!
Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo