Funzioni esponenziale e logaritmica

[Bad90]

Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....

$ 2^sqrt(5) $

E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!

Va bene detta così

[Bad90]

[Bad90]

Esercizio 59
Ultimo della serie....

$ { ( sqrt(3^x)*root(3)(3^y)=1/root(3)(3^2) ),( x^2+y^2=5):} => { ( 3^(x/2)*3^(y/3)=3^(-2/3) ),( x^2+y^2=5):} $

$ { ( x/2+y/3=-2/3 ),( x^2+y^2=5):} =>{ ( x=(-2y-4)/3 ),( ((-2y-4)/3)^2+y^2=5):} $

$ { ( x=(-2y-4)/3 ),( 13y^2+16y-29=0 ):} $

Dall'equazione di secondo grado, ottengo i due risultati $ y_1=1^^y_2=-29/13 $, alla fine arrivo a $ S_1=(-2,1)^^S_2=(2/13,-29/13) $

[Bad90]

Esercizio 60
Risolvere il seguente sistema logaritmico:

$ { ( logx+logy=1 ),( x-y=3 ):} $

Dopo tutti i passaggi, sono arrivato alla seguente disequazione di sendo grado:

$ { ( y^2+3y-10=0 ),( x=3+y):} $

Arrivo ai due risultati $ y_1=2^^y_2=-5 $ ,ovviamente escludendo le soluzioni negative, ho $ S=(5,2) $

[Bad90]

Esercizio 61
Sto avendo problemi con questo:

$ { ( x+y=110 ),( logx+logy=3):} $

Sono arrivato alla seguente:

$ { ( x=110-y),( y^2-110y+3=0):} $

[giammaria2]

La seconda equazione può essere scritta come
$log xy=log10^3=>xy=1000$

[Bad90]

"giammaria":La seconda equazione può essere scritta come
$log xy=log10^3=>xy=1000$

La si puo' vedere anche cosi'?

$ log_10 (xy)=3=>xy=10^3=>xy=1000 $

Vero?

[giammaria2]

Sì, è lo stesso.

[Bad90]

Esercizio 62

$ 5^2*(3/5)^x+3^2*(3/5)^-x=34 $

Se $ (3/5)^x=u $ come posso chiamare $ (3/5)^-x $ Ho pensato di fare così:

$ 5^2*(3/5)^x+3^2/((3/5)^x)=34 $

E quindi

$ 5^2*u+3^2/(u)=34 $

E' giusto
Mi viene il dubbio perchè il testo mi da il seguente risultato $ (0,2) $ .

Io ho ottenuto $ x=2 $ , dalla seguente $ 25u^2-34u+9=0 $ ricavo $ u_1=1^^u_2=9/25 $, e poi:

$ (3/5)^x=1 $ con i logaritmi $ x=log10/log(3/5)=>x=1/log(3/5)=>x=-4,5075... $

Questa prima soluzione, usando i logaritmi non mi sembra corretta, ma se non uso i logaritmi, penso a fare in questo modo:

$ (3/5)^x=1=>(3/5)^x=(3/5)^0=>x=0 $

Mentre la seconda soluzione è:

$ (3/5)^x=(3/5)^2=>x=2 $

Non sto capendo il perchè con i logarimti ottengo $ x=-4,5075.... $ mentre con le regole delle potenze $ x=0 $

Perchè

[giammaria2]

Per una svista: il calcolo con i logaritmi era

$(3/5)^x=1=>x=(log 1)/(log(3/5))=>x=0/(log(3/5))=>x=0$

[Bad90]

"giammaria":Per una svista: il calcolo con i logaritmi era

$(3/5)^x=1=>x=(log 1)/(log(3/5))=>x=0/(log(3/5))=>x=0$

E' vero.....
Ti ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 63

$ 3^(-x)+3^(5+x)=36 $

Non so se è il caso di iniziare in questo modo:

$ 1/(3^x)+3^5*3^x=36 $

Di questa non ho il risultato, comunque ho fatto così:

$ 1+3^5*3^(2x)=3^x*3^2*2^2 $

Se $ 3^x=y $ allora $ 1+3^5*y^2=y*3^2*2^2 $ e quindi una equazione di secondo grado!

$ 243y^2-36y+1=0 $

$ y_1=1/3^2^^y_2=1/3^3 $ quindi

$ 3^x=1/3^2=>x=-2 $

$3^x=1/3^3=>x=-3 $

[Bad90]

Esercizio 64

$ 3/(5-logx)+4/(3+logx)=7/4 $

E giusto iniziare così

$ 3*(5-logx)^-1+4*(3+logx)^-1=7/4 $

[giammaria2]

No perché poi non si sa come continuare. Devi invece dare denominatore comune; può facilitarti la sostituzione $y=logx$.

[Bad90]

"giammaria":No perché poi non si sa come continuare. Devi invece dare denominatore comune; può facilitarti la sostituzione $y=logx$.

Adesso provo subito!

Dunque, se $ logx=y $ allora:

$ 3/(5-y)+4/(3+y)=7/4 $

Arrivo alla seguente equazione di secondo grado:

$ 7y^2-18y+11=0 $

$ y_1=11/7^^y_2=1 $ quindi $ logx=11/7=>x=10root(7)(10^4) $ e $ logx=1=>x=10 $

[Bad90]

Esercizio 65

$ 1/3log(x^2+2x-7)-log(x-1)=0 $

Correggetemi se sbaglio.....

$ log(x^2+2x-7)=3log(x-1) => log(x^2+2x-7)=log(x-1)^3 => (x^2+2x-7)=(x-1)^3 $

$ x^2+2x-7=x^3-2x^2+2x-1 => x^3-3x^2+6=0 => x^2(x-3)+6=0 => (x^2+6)(x-3)=0 $

$ x^2+6=>0=>x^2=-6 $ Impossibile.

$ x-3=0=>x=3 $

Adesso che ho la soluzione $ x=3 $ come faccio a verificare Va bene così

$ log(3^2+2*3-7)=log(3-1)^3 $

Effettivamente ho:

$ 0,9030..=0,9030.. $

Quindi posso dire che la soluzione corretta è $ x=3 $ , ma perchè il testo mi dice anche la soluzione $ x=2 $

[giammaria2]

Ci sono ben tre errori. Uno è la mancanza del CE:

${(x^2+2x-7>0),(x-1>0):}=>{(x<-1-sqrt8 vvx> -1+sqrt8),(x>1):}=>x> -1+sqrt8=1,8...$
Gli altri due sono di algebra: uno è che il polinomio $x^3-3x^2+6$ non si scompone come hai fatto: prova a fare il prodotto $(x^2+6)(x-3)$ e vedrai che il risultato non è quello. L'unico modo di scomporlo è tentare con Ruffini, che però non dà risultati.
La cosa non ha importanza a causa dell'altro errore, che lo precedeva: da $x^2+2x+7=(x-1)^3$ segue

$x^2+2x-7=x^3-3x^2+3x-1=>x^3-4x^2+x+6=0$

Scomponendo con Ruffini ottieni $(x+1)(x^2-5x+6)=0$
e quindi le soluzioni sono $x=-1$, non accettabile, e $x=2 vv x=3$, accettabili.

[Bad90]

Grazie per le correzioni, sono esercizi di riepilogo e in questi casi devo essere attento a tutto!
Scusa ma vorrei fare chiarezza sulle condizioni di esistenza:

${(x^2+2x-7>0),(x-1>0):}=>{(x<-1-sqrt8 vvx> -1+sqrt8),(x>1):}=>x> -1+sqrt8=1,8...$

Per questa $ x<-1-sqrt8 vvx> -1+sqrt8 $ si ha unione e non intersezione, giusto?
Nei logaritmi dobbiamo considerare i valori di $ x>=0 $, quindi dell'unione considero solo $ x> -1+sqrt8 $ , e se poi aggiungo $ x>1 $, facendo il grafico dei segni, cosa devo cercare come settore Io noto che la positività effettivamente è data dopo $ x> -1+sqrt8 $ , quindi penso di aver detto bene,

[Bad90]

Esercizio 66

Ho risolto il seguente esercizio, ma non sono del tutto sicuro di aver fatto bene

$ x^(logsqrt(x))=sqrt(10) $

Ecco cosa ho fatto....
$ CE: x>0$ perchè ho la potenza di $ x^(logsqrt(x)) $, che ha sotto radice quadra la stessa incognita della base, e quindi la radice quadra della $ x $ nella potenza, deve essere per forza maggiore di zero, perchè altrimenti il logaritmo non ha senso.

$ logx^(logsqrt(x))=log10^(1/2) $

$ logsqrt(x)*logx=log10^(1/2) $

$ logx^(1/2)*logx=log10^(1/2) $

$ (1/2)*logx*logx=(1/2) $

$ logx*logx=(1/2)*2 $

$ logx*logx=1 $

$ (logx)^2=1 $

Adesso mi viene il dubbio se questo $ logx*logx=1 $ diventa così $ (logx)^2=1 $ oppure $ logx^2=1 $

[giammaria2]

$logx*logx=(logx)^2$; invece $logx^2=2logx$. Adesso concludi: $logx=+-1->...$

[Bad90]

"giammaria":$logx*logx=(logx)^2$; invece $logx^2=2logx$. Adesso concludi: $logx=+-1->...$

Ok, adesso posso dire che il risultato è:

$ 10^^10^-1 $

Grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee mille