Funzioni esponenziale e logaritmica
Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
Risposte
Hai ragione, 
ho detto una cavolata! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Come devo fare
Ti ringrazio!
ho detto una cavolata! Come devo fare
Ti ringrazio!
"Bad90":
Esercizio 20
Risoluzione punto c)
Questo ultimo punto mi sembra facilissimo, viene istintivamente dire che il logaritmo base $ 5 $ è uguale a $ 2 $ .
$ log_5 11-1=>log_5 10=>log_5 5*2=2 $
Guarda che il testo è $log_5 11-1$, non $log_5 (11-1)$ ....
"chiaraotta":
Esercizio 20
Risoluzione punto c)
Guarda che il testo è $log_5 11-1$, non $log_5 (11-1)$ ....[/quote]
Altra mia cavolata....
Provo a correggermi...
$ log_5 (11-1)=>log_5 11-log_5 1=> log_5 11/1=> log_5 11 $
Va bene adesso
"Bad90":
...
$(1/17)^2=(1/4)^2 $...
Eh no!!!
$(1/17)^2=1/(17^2)=1/289$
e invece
$(1/4)^2=1/(4^2)=1/16$.
Ovviamente
$1/289!=1/4$ ....
"Bad90":
[quote="chiaraotta"]Esercizio 20
Risoluzione punto c)
Guarda che il testo è $log_5 11-1$, non $log_5 (11-1)$ ....[/quote]
Altra mia cavolata....
Provo a correggermi...
$ log_5 (11-1)=>log_5 11-log_5 1=> log_5 11/1=> log_5 11 $
Va bene adesso
[/quote]$log_5 11/1=> log_5 11 $
penso ci sia un errore $log_511=0$
"Bad90":
$ log_5 (11-1)=>log_5 11-log_5 1=> log_5 11/1=> log_5 11 $
Va bene adesso
No.
Se il testo giusto è $ log_5 11-1$, allora
$ log_5 11-1=log_5 11 - log_5 5$
"chiaraotta":
No.
Se il testo giusto è $ log_5 11-1$, allora
$ log_5 11-1=log_5 11 - log_5 5$
Ma se ci fossero delle incognite dici penso andrebbe bene fare così
$ log_5 x - log_5 y=>log_5 (x/y) $
Giusto? Perchè se ci sono dei valori noti, non va bene?
Poi vuol dire che $ log_5 1=x=>1=5^x $ , non sto ricordando il perchè si arriva a $ log_5 5 $ , quale proprietà è che determina questo? Provo a dirne una...
Il logaritmo di base a di $ 1 $ è uguale ad a
cioè $ log_a 1=a $ e quindi si arriva a $ log_5 5 $ 
Riprendo il punto d) dunque, se la traccia è $ 2-log_4 17 $, io faccio così:
$ -log_4 17^2=>-log_(2^2) 17^2=>-log_(2) 17=>log_(2) 17^-1 $
Quindi $ log_(2) 17^-1=x=>17^-1=2^x=>1/17=2^x $
Non sono sicuro se $ 1/17=2^x $ è la soluzione finale, ma se così fosse non so se devo e come devo continuare 
$ -log_4 17^2=>-log_(2^2) 17^2=>-log_(2) 17=>log_(2) 17^-1 $
Quindi $ log_(2) 17^-1=x=>17^-1=2^x=>1/17=2^x $
Non sono sicuro se $ 1/17=2^x $ è la soluzione finale, ma se così fosse non so se devo e come devo continuare
Per definizione il logaritmo in base $a$ di $b$ (con $a>0,\ a!=1, \ b>0$) è l'esponente a cui elevare $a$ per ottenere $b$: $log_a b =x=>a^x=b$.
Quindi il logaritmo in base $5$ di $5$ è l'esponente a cui elevare $5$ per ottenere $5$. Ovviamente quell'esponente è $1$. Perciò $log_5 5=1$ e in generale $log_a a=1$.
Invece $log_a 1 =0$, perché l'esponente da dare ad $a$ per ottenere $1$ è $0$.
Quindi il logaritmo in base $5$ di $5$ è l'esponente a cui elevare $5$ per ottenere $5$. Ovviamente quell'esponente è $1$. Perciò $log_5 5=1$ e in generale $log_a a=1$.
Invece $log_a 1 =0$, perché l'esponente da dare ad $a$ per ottenere $1$ è $0$.
"Bad90":
Riprendo il punto d) dunque, se la traccia è $ 2-log_4 17 $, io faccio così:
$ -log_4 17^2$
.....
No!!
$ 2-log_4 17 =log_4 (4^2)-log_4 17=log_4 16/17$.
Adesso ho capito!
Non avevo fatto caso che avendo $ 1 $ si era in presenza di $log_5 5=1$ e lo stesso per quanto riguarda $ 2 $ che avendo un $log_4$ ed avendo un $ 2 $ che è la soluzione di $log_4 4^2$
Ti ringrazio!
Non avevo fatto caso che avendo $ 1 $ si era in presenza di $log_5 5=1$ e lo stesso per quanto riguarda $ 2 $ che avendo un $log_4$ ed avendo un $ 2 $ che è la soluzione di $log_4 4^2$
Ti ringrazio!
Esercizio 21
Inserire il simbolo $ > $ , oppure $ < $ , oppure $ = $ , tra i seguenti numeri:
a) $ log_3 5....log_3 6 $ ; b) $ log_5 4....log_4 5 $
Risoluzione punto a)
Sapendo che $ log_3 5=x $ è $ 5=3^x $ , mentre $ log_3 6=x=>log_3 3*2=x = 2$ , quindi la soluzione è:
$ log_3 5
Penso che la soluzione sia corretta, perchè se provo a dare il valore alla $ x=2 $, allora $ 5=3^2=>3=sqrt(5)$ , solo che poi questa uguaglianza non ha senso $ 3=sqrt(5)$
Risoluzione punto b)
Per questo sto avendo problemi... , vorrei quantificare il valore della $ x $ e non mi viene proprio in mente come fare
Se $ log_5 4=x=>4=5^x $ come faccio a dire il valore di $ x $
Se $ log_4 5=x=>5=4^x $ come faccio a dire il valore di $ x $
Alla fine se riesco a sapere il valore di $ x $ posso dire chi è maggiore e chi è minore
Inserire il simbolo $ > $ , oppure $ < $ , oppure $ = $ , tra i seguenti numeri:
a) $ log_3 5....log_3 6 $ ; b) $ log_5 4....log_4 5 $
Risoluzione punto a)
Sapendo che $ log_3 5=x $ è $ 5=3^x $ , mentre $ log_3 6=x=>log_3 3*2=x = 2$ , quindi la soluzione è:
$ log_3 5
Penso che la soluzione sia corretta, perchè se provo a dare il valore alla $ x=2 $, allora $ 5=3^2=>3=sqrt(5)$ , solo che poi questa uguaglianza non ha senso $ 3=sqrt(5)$
Risoluzione punto b)
Per questo sto avendo problemi...
, vorrei quantificare il valore della $ x $ e non mi viene proprio in mente come fare Se $ log_5 4=x=>4=5^x $ come faccio a dire il valore di $ x $
Se $ log_4 5=x=>5=4^x $ come faccio a dire il valore di $ x $
Alla fine se riesco a sapere il valore di $ x $ posso dire chi è maggiore e chi è minore
Ma come si fa a dire che un logaritmo è maggiore o minore o uguale ad un'altro logaritmo
Ho fatto varie prove e riagganciandomi all'esercizio precedente, mi viene in mente di dire che, in base alla seguente:
$ log_a b=x $ so che $ a^x=b $ e quindi $ b=a^(log_a b) $ il che mi porta a dire che $ b=b $ , ovviamente corregetemi se sbaglio...
Dunque se ho $ log_3 5=x $ seguendo lo stesso filo logico di quanto ho enunciato sopra, potrò dire che
$ 5=3^x=>5=3^(log_3 5)=> 5=5 $
Senza ripetere tutti i passaggi per il secondo valore, $ log_3 6 $, so che $ 6=6 $ potrò dunque confermare che:
$ log_3 5
Ho fatto varie prove e riagganciandomi all'esercizio precedente, mi viene in mente di dire che, in base alla seguente:
$ log_a b=x $ so che $ a^x=b $ e quindi $ b=a^(log_a b) $ il che mi porta a dire che $ b=b $ , ovviamente corregetemi se sbaglio...
Dunque se ho $ log_3 5=x $ seguendo lo stesso filo logico di quanto ho enunciato sopra, potrò dire che
$ 5=3^x=>5=3^(log_3 5)=> 5=5 $
Senza ripetere tutti i passaggi per il secondo valore, $ log_3 6 $, so che $ 6=6 $ potrò dunque confermare che:
$ log_3 5
"Bad90":
Ma come si fa a dire che un logaritmo è maggiore o minore o uguale ad un'altro logaritmo
Lo hai studiato quando hai iniziato i logaritmi; considerando $log_a x$, le regole erano:
- se $a>1$: il logaritmo aumenta all'aumentare di x; vale 1 se x=a e quindi meno di 1 se xa;
- se $a<1$: il logaritmo diminuisce all'aumentare di x; vale 1 se x=a e quindi più di 1 se xa.
Consiglio di fissarsi bene alla mente il primo caso che è il più comune; se ci si trova nel secondo e si è in dubbio basta ricorrere alla formula del cambiamento di base, con la quale ad esempio dimostri che $log_(1/2) 9=-log_2 9$
Questo dovrebbe bastarti per l'ultimo esercizio proposto; in altri casi, può esserti utile valutare approssimativamente il logaritmo, confrontandolo con le potenze della base. Te lo spiego con $log_4 37$: le successive potenze di 4 sono 1, 4, 16, 64, ... e 37 è compreso fra $16=4^2$ e $64=4^3$ quindi il mio logaritmo sta fra 2 e 3 e lo valuto in 2,...
Un'ultima cosa: nei tuoi ultimi esercizi ho visto molti errori gravi. Forse, in seguito alle risposte che hai avuto, li hai già capiti e corretti mentalmente tutti ma aggiungo un consiglio: prima di fare qualsiasi calcolo accertati di applicare correttamente la regola, tenendo ben presente che è importante la posizione in cui si trovano le operazioni.
"giammaria":
- se $a>1$: il logaritmo aumenta all'aumentare di x; vale 1 se x=a e quindi meno di 1 se xa;
- se $a<1$: il logaritmo diminuisce all'aumentare di x; vale 1 se x=a e quindi più di 1 se xa.
In base a quanto mi hai detto, provvedo a risolvere questi esercizi, gli errori fatti sono stati causati dai tentativi fatti, perchè non ho compreso subito le regole e i teoremi, ma grazie al vostro aiuto, ne sto venendo fuori! Adesso faccio un po di ordine nella mia testolina!
Esercizio 22
Inserire il simbolo $ > $ , oppure $ < $ , oppure $ = $ , tra i seguenti numeri:
a) $ log_3 51 ^^x>a$ mentre $log_3 6$ ha $ a>1 ^^x>a$ ma $ 5<6 $
b) $ log_3 5>1/(log_5 3) $ perchè $ a>0 $, sapendo che $ 1/(log_5 3)=>(log_5 3)^-1=>-log_5 3=>log_5 3^-1=>log_5 1/3 $ con $ x<1 $
c) $ log_5 41 ^^x1 ^^x>a$
d) $ log_4 5>log_3 4 $ perchè $ log_4 5 $ ha $ a>1 ^^x>a$ mentre $log_3 4$ ha $ a>1 ^^x>a$ ma $ 5>4 $
e) $ log_(1/3) 10a$ mentre $log_(1/4) 10$ ha $ a<1 ^^x>a$ ma $ 1/3>1/4 $, quindi il primo logaritmo, tende a diminuire molto più facilmente!
Inserire il simbolo $ > $ , oppure $ < $ , oppure $ = $ , tra i seguenti numeri:
a) $ log_3 5
b) $ log_3 5>1/(log_5 3) $ perchè $ a>0 $, sapendo che $ 1/(log_5 3)=>(log_5 3)^-1=>-log_5 3=>log_5 3^-1=>log_5 1/3 $ con $ x<1 $
c) $ log_5 4
d) $ log_4 5>log_3 4 $ perchè $ log_4 5 $ ha $ a>1 ^^x>a$ mentre $log_3 4$ ha $ a>1 ^^x>a$ ma $ 5>4 $
e) $ log_(1/3) 10
a) Giusto; io avrei scritto più semplicemente "perché la base è maggiore di 1 e 5<6".
b) Attento all'errore: $(log_3 5)^(-1)!=-log_3 5$; ti stai confondendo con $log_3 5^(-1)=-log_3 5$. Invece la risposta si ha con il cambiamento di base:
$log_5 3=(log_3 3)/(log_3 5)=1/(log_3 5)$
quindi i due membri sono uguali.
c) Giusto; io avrei scritto "perché il primo membro è minore di 1 e il secondo maggiore di 1"
d) Entrambi i membri sono maggiori di 1 ma non vedo un modo facile per confrontarli. Qualcuno sa come fare?
b) Attento all'errore: $(log_3 5)^(-1)!=-log_3 5$; ti stai confondendo con $log_3 5^(-1)=-log_3 5$. Invece la risposta si ha con il cambiamento di base:
$log_5 3=(log_3 3)/(log_3 5)=1/(log_3 5)$
quindi i due membri sono uguali.
c) Giusto; io avrei scritto "perché il primo membro è minore di 1 e il secondo maggiore di 1"
d) Entrambi i membri sono maggiori di 1 ma non vedo un modo facile per confrontarli. Qualcuno sa come fare?
Per il punto d):
d) $ log_4 5>log_3 4 $ perchè $ log_4 5 $ ha $ a>1 ^^x>a$ mentre $log_3 4$ ha $ a>1 ^^x>a$ ma $ 5>4 $
E' chiaro che vi sono due circostanze identiche tra primo e secondo membro, ma a parità di condizioni uguali, vince il maggiore! Insomma Ubi maior minor cessat.
P.S. Ho detto la cavolata delle ore 18:40
d) $ log_4 5>log_3 4 $ perchè $ log_4 5 $ ha $ a>1 ^^x>a$ mentre $log_3 4$ ha $ a>1 ^^x>a$ ma $ 5>4 $
E' chiaro che vi sono due circostanze identiche tra primo e secondo membro, ma a parità di condizioni uguali, vince il maggiore! Insomma Ubi maior minor cessat.
P.S. Ho detto la cavolata delle ore 18:40
"giammaria":
b) Attento all'errore: $(log_3 5)^(-1)! =-log_3 5$; ti stai confondendo con $log_3 5^(-1) = -log_3 5$. Invece la risposta si ha con il cambiamento di base:
$log_5 3 = (log_3 3)/(log_3 5) = 1/(log_3 5)$
quindi i due membri sono uguali.
Ho capito che $ log_3 3=1 $ ma il fenomeno del cambiamento di base, non lo sto capendo! Cosa si intende
Mi è chiaro il fatto che noto un cambiamento di base tra $ log_5 3^^log_3 5 $ ma non capisco come è che si verifica ...... Come si può giustificare il risultato, detto alternativamente
P.S. Sto cercando di far chiarezza sul paragrafo che tratta questo argomento
Intendi questo?
$ log_3 5=1/(log_5 3) $ per formula inversa avrò $ log_5 3=1/(log_3 5) $
Sul testo ho compreso quando sussiste questa esigenza del cambiamento di base, infatti l'esempio di cui parla il mio testo dice che potrebbe essere necessario passare da un sistema di logaritmi ad un altro sistema, tipo:
Noti i logaritmi dei numeri positivi rispetto alla base $ 3 $ , vogliamo trovare il logaritmo di un numero, ad esempio $ 10 $ rispetto alla base $ 2 $ .
A tale scopo faccio quanto segue:
$ x=log_2 10=> 2^x=10 $
Calcolo il logaritmo in base $ 3 $ di entrambi i membri dell'ultima uguaglianza ed ho:
$ log_3 2^x=log_3 10=>xlog_3 2=log_3 10=>x=(log_3 10)/(log_3 2) $
Ma il problema è che non sto capendo il collegamento con questo esercizio!
Il collegamento con l'esercizio nasce dal fatto che spesso è difficile confrontare logaritmi con basi diverse; ricorriamo allora al trucco di cambiare almeno una della basi con la formula apposita.
Per quanto riguarda questa formula, notiamo che la tua formula finale può essere scritta come $log_2 10=(log_3 10)/(log_3 2)$: generalizzando a tre numeri positivi e diversi da uno hai
$log_a b=(log_c b)/(log_c a)$
che è la formula del cambiamento di base. Può avere molti usi ma quello principale si ha quando vuoi veramente sapere quanto vale un logaritmo: puoi usare la calcolatrice che però dà solo i logaritmi in base 10 (simbolo log) e quelli in base $e$ (simbolo ln; $e$ è un numero che studierai in futuro e vale circa 2,7). Se hai un'altra base devi aiutarti con la formula precedente; ad esempio
$log_3 5=(ln 5)/(ln 3)=(1,609)/(1,099)=1,464$
Ho usato la base $e$ ma avrei anche potuto usare base 10.
Il tuo ragionamento sul punto d) non mi convince per niente.
Per quanto riguarda questa formula, notiamo che la tua formula finale può essere scritta come $log_2 10=(log_3 10)/(log_3 2)$: generalizzando a tre numeri positivi e diversi da uno hai
$log_a b=(log_c b)/(log_c a)$
che è la formula del cambiamento di base. Può avere molti usi ma quello principale si ha quando vuoi veramente sapere quanto vale un logaritmo: puoi usare la calcolatrice che però dà solo i logaritmi in base 10 (simbolo log) e quelli in base $e$ (simbolo ln; $e$ è un numero che studierai in futuro e vale circa 2,7). Se hai un'altra base devi aiutarti con la formula precedente; ad esempio
$log_3 5=(ln 5)/(ln 3)=(1,609)/(1,099)=1,464$
Ho usato la base $e$ ma avrei anche potuto usare base 10.
Il tuo ragionamento sul punto d) non mi convince per niente.
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