Funzioni esponenziale e logaritmica

[Bad90]

Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....

$ 2^sqrt(5) $

E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!

Va bene detta così

[Bad90]

Tanto per farvi capire come mi viene in mente di risolvere questo esercizio...

$ ln x <-2 $

$ log_e x <-2 $

$ x < e^(-2) $

$ x < 1/e^(2) $

Poi so che $ e = 2.718281828459$, e fin quì tutto ok, ma poi cosa devo andare a cercare nella disequazione

[burm87]

È corretto. Con i logaritmi naturali e con tutti quelli che hanno base $>1$ funziona così. Se invece ti trovi ad utilizzare logaritmi con base $0

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[Bad90]

[Pianoth]

"Bad90":
$ log_e x <-2 $

$ x < e^(-2) $

Questo passaggio va bene in questo caso, però fai attenzione devi porre prima l'argomento maggiore di $0$:
$x>0$

Quindi la soluzione sarà data dal sistema: ${(x>0), (x<1/e^2):} => 0
Ti ricordo che poiché $e$ è un numero, anche $1/e^2$ lo è, non va semplificato ulteriormente ($1/e^2$ è circa uguale a $0.1353352832366$).
Il numero $e$ è un numero dello stesso tipo di $pi$: sono entrambi numeri trascendentali.

[Bad90]

Se mi trovo con un caso tipo questo?

$ ln >= sqrt2 $

Posso fare in questo modo?

$ log_e e >= sqrt2 $

$ 1 >= sqrt2 $

e poi

[Pianoth]

Cosa diamine stai dicendo? Guarda che il logaritmo è una funzione, non puoi scrivere solo $ln$, non significa nulla. È come se scrivessi $sin > 4$. Inoltre, un'espressione come $ln 5$, anche se non sembra, è un numero, ed è circa uguale a $1.6094379124341$ (infatti $e^1.60944~~5.00001~~5$).

[Bad90]

Ma vedi che non e' colpa mia, ecco cosa mi dice il testo:

Il secondo dell'immagine è l'esercizio incriminato

[burm87]

Il testo è errato, non ha alcun senso.

[Bad90]

"burm87":Il testo è errato, non ha alcun senso.

Come al solito un errore di stampa

[Bad90]

E i logaritmi con i valori assoluti come si risolvono??

$ log_3 |x| >= - 1 $

[Pianoth]

Quasi sicuramente intendeva $ln x >= sqrt(2)$. In tal caso procedi come hai fatto prima ma questa volta è praticamente superfluo considerare le condizioni d'esistenza: $x >= e^sqrt(2)$. Fine.

[burm87]

"Bad90":E i logaritmi con i valori assoluti come si risolvono??

$ log_3 |x| >= 1 $

Con le stesse regole che utilizzavi per le disequazioni con valori assoluti.

[Pianoth]

Il valore assoluto è sempre positivo, vai tranquillo con il metodo più corto:
$|x| >= e => x<-e vee x>e$

[Bad90]

"Pianoth":Quasi sicuramente intendeva $ln x >= sqrt(2)$. In tal caso procedi come hai fatto prima ma questa volta è praticamente superfluo considerare le condizioni d'esistenza: $x >= e^sqrt(2)$. Fine.

E si, infatti si ha gia sin dall'inizio della disequazione l'informazione che $ x>0 $

[Bad90]

"Pianoth":Il valore assoluto è sempre positivo, vai tranquillo con il metodo più corto:
$|x| >= e => x<-e vee x>e$

Cioè si può risolverlo in questo modo?

$ log _3 |x| >=-1 $

$ |x| >= 3^(-1) $

$ |x| >= 1/3 $

$ |x| >= 1/3=> x<=-1/3^^x>=1/3 $

Mi sembra che si tratta come se fosse un quadrato

[Pianoth]

Whoooooops, ho sbagliato alla grande, avevo letto $log_e |x| >=1$
Comunque la soluzione corretta è quella che hai scritto tu.
In effetti sì si tratta come un quadrato.
Se partiamo per esempio da $x^2-9>0$, spostiamo e otteniamo $x^2>9$. Se vogliamo fare la radice quadrata dobbiamo usare il valore assoluto e otteniamo $|x|>3$ ossia $x<-3 vee x>3$ che sono le soluzioni della disequazione iniziale. È già, questo è un altro modo per risolverle, anche se quello con la scomposizione resta il più veloce.

[Bad90]

Guarda questo che casino

$ (log_2|x|)^2 + 2log_2|x| -3<0 $

E adesso come faccio a risolverlo

[Pianoth]

Per quest'ultimo c'è il classico trucco $y = log_2 |x|$ e la disequazione diventa $y^2+2y-3<0$ che ha soluzioni $-3

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[Bad90]

"Pianoth":Per quest'ultimo c'è il classico trucco $y = log_2 |x|$ e la disequazione diventa $y^2+2y-3<0$ che ha soluzioni $-3
Adesso provo subito!

Ma adesso si imposta il seguente sistema?

$ { ( log_2 |x| <1 ),( log_2 |x| > -3 ):} $

E penso proprio di si, perchè ho trovato lo stesso risultato del testo che è $ -2 < x <-1/8 $ e $ 1/8 < x <2 $

[Pianoth]

Sì.