Funzioni esponenziale e logaritmica
Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
Risposte
Ecco la traccia risolta:
Penso sia concorde con quello che hai detto, giusto?
Solo che non sto capendo i passaggi che ha fatto!!!
E come fa ad arrivare a quel valore numerico finale dato dalla traccia nell'immagine??
Penso sia concorde con quello che hai detto, giusto?
Solo che non sto capendo i passaggi che ha fatto!!!
"giammaria":
Facciamo i calcoli sul primo membro:
$5+1/7*3(log_a b^2-log_a c)=5+1/7*3log_a b^2/c$
In assenza di altri dati non si può continuare; il risultato che fornisci è giusto solo se $b^2/c=a^(1/2)$
E come fa ad arrivare a quel valore numerico finale dato dalla traccia nell'immagine??
Con quella traccia, lo svolgimento cambia. Arrivato alla fine della penultima riga, ha sostituito ai due logaritmi i valori dati inizialmente, ottenendo
$=5+1/7(6*1/3-3*1/6)=5+1/7(2-1/2)=5+1/7*(4-1)/2=...$
$=5+1/7(6*1/3-3*1/6)=5+1/7(2-1/2)=5+1/7*(4-1)/2=...$
"giammaria":
Con quella traccia, lo svolgimento cambia. Arrivato alla fine della penultima riga, ha sostituito ai due logaritmi i valori dati inizialmente, ottenendo
$=5+1/7(6*1/3-3*1/6)=5+1/7(2-1/2)=5+1/7*(4-1)/2=...$
Perfetto, ti ringrazio
Ma perchè $ (1/3)^x <0 $ da come soluzione insieme vuoto
Perché una potenza con base positiva dà sempre un risultato positivo: impossibile che sia minore di zero.
"giammaria":
Perché una potenza con base positiva dà sempre un risultato positivo: impossibile che sia minore di zero.
Ok, adesso ho compreso perfettamente
Scusatemi, ma la seguente disequazione esponenziale:
$ [(2/3)^x - 1](5-x^2)>=0 $
Posso risolverla in questo modo???
$ (5-x^2)>=0/([(2/3)^x - 1]) $
E poi continuare
$ [(2/3)^x - 1](5-x^2)>=0 $
Posso risolverla in questo modo???
$ (5-x^2)>=0/([(2/3)^x - 1]) $
E poi continuare
Puoi dividere tranquillamente per fattori che contengono la $x$ solo se sono sempre positivi. In questo caso, anche con il banale $x=1$ ottieni $2/3 - 1 = -1/3$ che non è una quantità positiva.
Ergo non puoi farlo.
Ergo non puoi farlo.
"Pianoth":
Puoi dividere tranquillamente per fattori che contengono la $x$ solo se sono sempre positivi. In questo caso, anche con il banale $x=1$ ottieni $2/3 - 1 = -1/3$ che non è una quantità positiva.
Ergo non puoi farlo.
E quindi come si risolve
Un normalissimo studio dei segni dei due fattori. Il primo fattore è positivo quando $x leq 0$, il secondo quando $-sqrt(5) \leq x \leq sqrt(5)$, se ho fatto bene i calcoli a mente. Comunque non te li dovrei dire io i risultati, prova ad arrivarci da solo.
Allora, io ho fatto così:
$ [(2/3)^x - 1](5-x^2)>=0 $
Ponendo $ 2/3 = a $ diventa:
$ (a^x - 1)(5-x^2)>=0 $
Allora arriverò alle seguenti :
$ (a^x - 1)>=0 $
$ (5-x^2)>=0 $
Ovviamente sarà:
$ (a^x - 1)>=0 => a^x >=1 => a^x >=a^0=>x >=0 $
$ (5-x^2)>=0 => -x^2>= -5=> x^2<= 5 => x<= sqrt5, x<= -sqrt5$
Che porteranno alla soluzione seguente:
$ -sqrt5 <=x <=0 $ e $ x>=sqrt5 $
Pianoth, le tue soluzioni sono giuste, ma se non intersechi non otterrai il risultato
$ [(2/3)^x - 1](5-x^2)>=0 $
Ponendo $ 2/3 = a $ diventa:
$ (a^x - 1)(5-x^2)>=0 $
Allora arriverò alle seguenti :
$ (a^x - 1)>=0 $
$ (5-x^2)>=0 $
Ovviamente sarà:
$ (a^x - 1)>=0 => a^x >=1 => a^x >=a^0=>x >=0 $
$ (5-x^2)>=0 => -x^2>= -5=> x^2<= 5 => x<= sqrt5, x<= -sqrt5$
Che porteranno alla soluzione seguente:
$ -sqrt5 <=x <=0 $ e $ x>=sqrt5 $
"Pianoth":
Un normalissimo studio dei segni dei due fattori. Il primo fattore è positivo quando $x geq 0$, il secondo quando $-sqrt(5) \leq x \leq sqrt(5)$, se ho fatto bene i calcoli a mente. Comunque non te li dovrei dire io i risultati, prova ad arrivarci da solo.
Pianoth, le tue soluzioni sono giuste, ma se non intersechi non otterrai il risultato
Infatti non volevo scrivere il risultato, avevo scritto quando i fattori sono positivi solo per fare in modo che la mia risposta non fosse "Un normalissimo studio dei segni dei due fattori. Fine." 
Comunque la sostituzione $a = 2/3$, almeno secondo me, è completamente inutile, potevi fare le medesime considerazioni anche senza sostituire.
Comunque la sostituzione $a = 2/3$, almeno secondo me, è completamente inutile, potevi fare le medesime considerazioni anche senza sostituire.
"Pianoth":
Infatti non volevo scrivere il risultato, avevo scritto quando i fattori sono positivi solo per fare in modo che la mia risposta non fosse "Un normalissimo studio dei segni dei due fattori. Fine."
Si ma quando vedo quel caos di numeri, sostituisco e risolvo il tutto!
Mi sono sempre trovato bene,
E adesso come devo risolvere la seguente?
$ (3^(x+1) + 3^(2-x) - 4)/(3^x) < 8/3 $
$ (3^(x+1) + 3^(2-x) - 4)/(3^x) < 8/3 $
Nello stesso modo in cui risolveresti
$(x^2-1)(x-3)>=0$
cioè chiedendosi quando i singoli fattori sono positivi e facendo il diagramma dei segni.
$(x^2-1)(x-3)>=0$
cioè chiedendosi quando i singoli fattori sono positivi e facendo il diagramma dei segni.
E come fai ad arrivare a quella che hai scritto tu?
Non credo che quella derivi dalla tua, ti faceva solo un esempio per farti capire come procedere.
Ma il procedimento che mi ha dato giammaria, lo so benissimo, solo che i passaggi algebrici per risolvere la traccia che ho postato io, non so come siano!?!?!?
"Pianoth":
...Il primo fattore è positivo quando $x geq 0$....
Non sono d'accordo: $(2/3)^x-1>0->x<0$ (la base $2/3$ è $<1$).
Fai una sostituzione ponendo $3^x=t$ che forse ti semplifica le cose.
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