Funzioni esponenziale e logaritmica

[Bad90]

Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....

$ 2^sqrt(5) $

E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!

Va bene detta così

[giammaria2]

Per ottenere il risultato del libro devi fare i calcoli con la calcolatrice.
$a=(1+log3)/(log3)=(1+0,47712)/(0,47712)=3,0959$
$x=-1+-sqrt(1+3,0959)=-1+-2,0238=...$
La soluzione positiva coincide con quella che riporti ma quella negativa no: sicuro di averle copiate giuste?

[Bad90]

"giammaria":Per ottenere il risultato del libro devi fare i calcoli con la calcolatrice.
$a=(1+log3)/(log3)=(1+0,47712)/(0,47712)=3,0959$
$x=-1+-sqrt(1+3,0959)=-1+-2,0238=...$
La soluzione positiva coincide con quella che riporti ma quella negativa no: sicuro di averle copiate giuste?

Si, sono precisamente quelle, cioè $ 1,0238^^-1,0238 $
Come può essere Dici che ci sarà un errore di battitura del testo

[Bad90]

Esercizio 53

$ 2^(4x)-2^(2x+2)=192 $

Ho pensato di impostare l'equazione in questo modo:

$ 2^(4x)-2^(2x+2)=3*2^6 $

$ log2^(4x)-log2^(2x+2)=log(3*2^6) $

$ log2^(4x)-log2^(2x+2)=log3+log2^6 $

Se non ci fosse quel $ log3 $ potrei risolvere così

$ log2^(4x)-log2^(2x+2)=log2^6 => log2^(4x)=log2^6+log2^(2x+2)=> 4x=6+2x+2$

Restando nel contesto della traccia, dite che si può continuare così

$ log(2^(4x)/(2^(2x+2)))=log(3*2^6) $

Mi sto impallando

[chiaraotta1]

Guarda che non è vero che
$ log(2^(4x)-2^(2x+2))=log2^(4x)-log2^(2x+2) $

[Bad90]

"chiaraotta":Guarda che non è vero che
$ log(2^(4x)-2^(2x+2))=log2^(4x)-log2^(2x+2) $

Sto facendo un sacco di confusione.....
Così va bene

$ log(2^(4x)/(2^(2x+2))) $

Oppure faccio così?

$ 16^x-4^(x+1)=192 $ divido tutto per $ 4 $ ed ottengo $ 4^x-1^(x+1)=48 $, e poi utilizzo i logaritmi Oppure questo non si può fare

[chiaraotta1]

Non è vero che, se dividi l'equazione $ 16^x-4^(x+1)=192 $ per $ 4 $ ottieni $ 4^x-1^(x+1)=48 $.


Conviene notare che
$2^(4x)=(2^2)^(2x)=4^(2x)$
e
$2^(2x+2)=2^2*2^(2x)=2^2*(2^2)^x=4*4^x$.
Per cui l'equazione
$2^(4x)-2^(2x+2)=192$
si può scrivere come
$4^(2x)-4*4^x-192=0$.
Questa è un'equazione di 2° grado nell'incognita $4^x$, per cui
$(4^x)_(1,2)=2+-sqrt(4+192)=2+-sqrt(196)=2+-14$
e
$(4^x)_1=-12->text( impossibile)$
$(4^x)_2=16->x=2$.

[Bad90]

"chiaraotta":$4^(2x)-4*4^x-192=0$

Quindi non vi era il bisogno di utilizzare i logaritmi, bensì le funzioni esponenziali

Giusto

[Bad90]

Esercizio 54
Questo è l'ultimo della serie.....

$ 5^(3x-4)*3^(2x)=7^(x-1)*(11^2/(11^x)) $

Prima di risolverlo, vorrei capire come muovermi con le potenze.......

Quanto segue è vero

$ 5^(3x-4)=5^(3x)*5^(-4) $

$ 3^(2x)=3*3^x $

$ 7^(x-1)=7^x*7^(-1) $

$ 11^2/(11^x)=11^2*11^(-x) $

[chiaraotta1]

$5^(3x-4)=5^(3x)*5^(-4) =5^(3x)/5^4$
$3^(2x)=3^x*3^x=(3^x)^2=(3^2)^x $
$7^(x-1)=7^x*7^(-1) =7^x/7$
$11^2/(11^x)=11^2*11^(-x) =11^(2-x)$

[Bad90]

Sono arrivato alla seguente conclusione, ma non sono sicuro se ho fatto bene......

$ (5^(3x))/5^4*9^x=7^x/7*11^2/11^x $

$ (5^(3x)*9^x*11^x)/7^x=(5^4*11^2)/7 $

$ (125^x*9^x*11^x)/7^x=(625*121)/7 $

$ ((125*9*11)/7)^x=((625*121)/7) $

$ log((125*9*11)/7)^x=log((625*121)/7) $

$ xlog((125*9*11)/7)=log((625*121)/7) $

$ x=log((625*121)/7)/(log((125*9*11)/7))=>x=1,2420... $

Il risultato è corretto, però mi chiedevo se basta fermarsi li dove sono arrivato oppure si può continuare a fare qualche altro passaggio ottenendo sempre lo stesso risultato

Ma scusa, se ho $ x=log(a/b) $ questo è uguale a $ x=loga-logb $

Perchè non è lo stesso di $ x=loga/(logb) $

Grazie mille!

[giammaria2]

Avrei fatto i calcoli nel tuo stesso modo; una variante, utile quando si otterrebbero numeri troppo grandi, è il non calcolare le potenze ma solo i loro logaritmi. Ad esempio, il secondo membro avrebbe potuto essere scritto come

$log((5^4*11^2)/7)= 4log5+2log11-log7$

Per l'altra domanda, confermo che $log(a/b)=loga-logb$ e non è lo stesso della seconda scritta perché non c'è nessuna proprietà che lo dica. Se non sei convinto, prova a fare con la calcolatrice questi due calcoli: $log (3/2)$ e $(log3)/(log2)$.
Inoltre per la formula del cambiamento di base si ha $(loga)/(logb)=log_b a$

[Bad90]

Si, bo fatto la prova con la calcoatrice e non e' la stessa cosa! Bene!
Quindi la formula del cambiamento di base serve in queste circostanze?

[giammaria2]

Può anche essere usata in queste circostanze ma il suo vero uso è quello inverso, e cioè calcolare i logaritmi in basi che la calcolatrice non prevede.

[Bad90]

Esercizio 55
Risolvere il seguente sistema esponenziale:

$ { ( x-y=2 ),(3^(xy)=1):} $

[giammaria2]

$3^(xy)=3^0=>xy=0$
e poi sai continuare da solo.

[Bad90]

"giammaria":$3^(xy)=3^0=>xy=0$
e poi sai continuare da solo.

Si adesso si!
Stavo facendo un caos...., tipo $ xylog3=log10.......... $
Adesso continuo

Sono arrivato alle soluzioni corrette che sono $ S_1=(2,0) $ ma non sto capendo da dove viene la seconda soluzione $ S_2=(0,-2) $

[chiaraotta1]

Andava bene anche prendere i logaritmi dei due membri dell'equazione
$3^(xy)=1$,
ma bisognava farlo correttamente:
$3^(xy)=1->log(3^(xy))=log1->xy*log3=0->xy=0$ ...

[Bad90]

Bene a sapersi, almeno ho pensato bene!
Ma da dove viene fuori la seconda solizione $ S_2=(0,-2) $

Grazie mille!

[chiaraotta1]

Se il sistema è equivalente a
${(x-y=2), (x*y=0):}$,
allora la seconda equazione ha soluzioni
$x=0$
e anche
$y=0$.
Se sostituisci nella prima $x=0$, trovi $0-y=2->y=-2$ e quindi una soluzione è $x=0, y= -2$.
Se invece sostituisci sempre nella prima $y=0$, trovi $x-0=2->x=2$ e quindi un'altra soluzione è $x=2, y=0$.

[Bad90]

Adesso ho capito!