Funzioni esponenziale e logaritmica
Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
Risposte
Esercizio 56
Mi sono impallato con questo:
$ { ( 3^(2x)/(9)+3^(2y)/(27)=732 ),( x-y=2):} $
Ho pensato di fare quanto segue:
$ { ( 3^(2(2+y))/3^2+3^(2y)/3^3 =732),( x=2+y ):} $
Dite che sto iniziando bene?
Mi sono impallato con questo:
$ { ( 3^(2x)/(9)+3^(2y)/(27)=732 ),( x-y=2):} $
Ho pensato di fare quanto segue:
$ { ( 3^(2(2+y))/3^2+3^(2y)/3^3 =732),( x=2+y ):} $
Dite che sto iniziando bene?
Sì, è un buon inizio.
"giammaria":
Sì, è un buon inizio.
Adesso continuo!
$ { (3^(4+2y)/3^2+3^(2y)/3^3 =732),( x=2+y ):} $
$ { (((3^4+3^y*3^y))/3^2+(3^y*3^y)/3^3 =732),( x=2+y ):} $
Penso che mi sto impallando
Non so più continuare
"Bad90":
$ { (((3^4+3^y*3^y))/3^2+(3^y*3^y)/3^3 =732),( x=2+y ):} $
correggi:
$ { (((3^4*3^y*3^y))/3^2+(3^y*3^y)/3^3 =732),( x=2+y ):} $
"piero_":
correggi:
Cosa devo correggere
Dove ho sbagliato Aiutami a capire
il prodotto di due potenze che hanno la stessa base ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Tu devi fare l'inverso, se la somma sta all'esponente allora le basi vanno moltiplicate.
dimmi se è chiaro
dimmi se è chiaro
"piero_":
il prodotto di due potenze che hanno la stessa base ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Tu devi fare l'inverso, se la somma sta all'esponente allora le basi vanno moltiplicate.
dimmi se è chiaro
Ok, ho fatto quell'errore, ma anche correggendo, non sto riuscendo a risolverlo
\(3^a \cdot 3^b = 3^{a+b} \)
da destra a sinistra, è il tuo caso
\(3^{4+2y}=3^4 \cdot 3^{2y} \)
-----------fine correzione------------
Facendo un po' di calcoli e liberando dal denominatore, la prima equazione dovrebbe diventare
così:
\(3^5 \cdot 3^{2y} + 3^{2y}=27 \cdot 732 \)
e poi
\( 3^{2y}=81 \)
da destra a sinistra, è il tuo caso
\(3^{4+2y}=3^4 \cdot 3^{2y} \)
-----------fine correzione------------
Facendo un po' di calcoli e liberando dal denominatore, la prima equazione dovrebbe diventare
così:
\(3^5 \cdot 3^{2y} + 3^{2y}=27 \cdot 732 \)
e poi
\( 3^{2y}=81 \)
"piero_":
\(3^5 \cdot 3^{2y} + 3^{2y}=27 \cdot 732 \)
e poi
\( 3^{2y}=81 \)
Come hai fatto a passare da
\(3^5 \cdot 3^{2y} + 3^{2y}=27 \cdot 732 \) a
\( 3^{2y}=81 \)
Insomma riesco a comprendere fin quì \(3^5 \cdot 3^{2y} + 3^{2y}=3^3 \cdot 732 \) ma non riesco ad arrivare quì \( 3^{2y}=81 \)
Ti ringrazio per l'aiuto che mi stai dando!
\( (3^5 +1) \cdot 3^{2y} = 27 \cdot 732 \)
\( 244 \cdot 3^{2y}=19764 \)
\( 244 \cdot 3^{2y}=19764 \)
"piero_":
\( (3^5 +1) \cdot 3^{2y} = 27 \cdot 732 \)
\( 244 \cdot 3^{2y}=19764 \)
Era quello che mi stava bloccando!
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Adesso rivedo il tutto!
Grazie mille!
prego, ciao
Esercizio 57
$ { ( 10^x=71860/(5^y) ),( x-y=-4 ):} => { ( 5^y*10^x=71860 ),( x-y=-4 ):} $
$ { ( 5^y*10^x=71860 ),( x=y-4 ):} => { ( 5^y*10^(y-4)=71860 ),( x=y-4 ):} $
$ { ( 5^y*(10^y)/10^4=71860 ),( x=y-4 ):} => { ( 5^y*10^y=71860*10^4 ),( x=y-4 ):} $
$ { ( 5^y*5^y*2=71860*10^4 ),( x=y-4 ):} => { ( 5^y*5^y=(71860*10^4)/2 ),( x=y-4 ):} $
$ { ( 5^(2y)=(71860*10^4)/2 ),( x=y-4 ):} =>{ ( 5^(2y)=359300000),( x=y-4 ):}$
Oltre non riesco ad andare
Dove ho sbagliato a semplificare
$ { ( 10^x=71860/(5^y) ),( x-y=-4 ):} => { ( 5^y*10^x=71860 ),( x-y=-4 ):} $
$ { ( 5^y*10^x=71860 ),( x=y-4 ):} => { ( 5^y*10^(y-4)=71860 ),( x=y-4 ):} $
$ { ( 5^y*(10^y)/10^4=71860 ),( x=y-4 ):} => { ( 5^y*10^y=71860*10^4 ),( x=y-4 ):} $
$ { ( 5^y*5^y*2=71860*10^4 ),( x=y-4 ):} => { ( 5^y*5^y=(71860*10^4)/2 ),( x=y-4 ):} $
$ { ( 5^(2y)=(71860*10^4)/2 ),( x=y-4 ):} =>{ ( 5^(2y)=359300000),( x=y-4 ):}$
Oltre non riesco ad andare
Dove ho sbagliato a semplificare
Giusto fino a
$ { ( 5^y*10^y=71860*10^4 ),( x=y-4 ):} $
ma poi $10^y!=5^y*2$ (dovrebbe essere $5^y*2^y$). Invece la prima equazione continua con
$50^y=71860*10^4$
Il secondo membro non è una potenza di 50 quindi bisogna passare ai logaritmi:
$log 50^y=log(71860*10^4)=>y*log50=log71860+4=>y*1,6990=8,8565=>y=5,2127$
e poi ricavi $x$.
$ { ( 5^y*10^y=71860*10^4 ),( x=y-4 ):} $
ma poi $10^y!=5^y*2$ (dovrebbe essere $5^y*2^y$). Invece la prima equazione continua con
$50^y=71860*10^4$
Il secondo membro non è una potenza di 50 quindi bisogna passare ai logaritmi:
$log 50^y=log(71860*10^4)=>y*log50=log71860+4=>y*1,6990=8,8565=>y=5,2127$
e poi ricavi $x$.
Quell'errore banale $ 5^y*2..... $ mi ha allontanato dalla soluzione.....
Ho fatto un esercizio simile e anche li ho utilizzato i logaritmi per risolverlo!
Mi sembra di aver capito che i logaritmi, sono utilissimi per risolvere i calcoli dove le incognite sono le potenze di numeri! E vera la mia deduzione?
Ho fatto un esercizio simile e anche li ho utilizzato i logaritmi per risolverlo!
Mi sembra di aver capito che i logaritmi, sono utilissimi per risolvere i calcoli dove le incognite sono le potenze di numeri! E vera la mia deduzione?
I logaritmi sono utili per molte cose; una di esse è appunto il caso in cui l'incognita è ad esponente.
Esercizio 58
$ { ( x+y=2^x ),( x+y=279936/3^x ):} $
Se $ 2^x=u^^3^x=v $
$ { ( x+y=u ),( vx+vy=279936):} => { ( x=u-y ),( v(u-y)+vy=279936):} => { ( x=u-y ),( vu-vy+vy=279936):} => { ( x=u-y ),( vu=279936):} $
$ { ( x=u-y ),( 2^x*3^x=279936):} => { ( x=u-y ),( 6^x=279936):} => { ( x=u-y ),( x=log279936/(log6)):} => { ( x=u-y ),( x=7):} $
$ { ( 7+y=2^7 ),( x=7):} => { ( y=128-7=121 ),( x=7):} => { ( y=121 ),( x=7):} $
Verifico se è vero ed ho:
$ { ( 7+121=128 ),( x=7):} $
Il risultato è vero
$ { ( x+y=2^x ),( x+y=279936/3^x ):} $
Se $ 2^x=u^^3^x=v $
$ { ( x+y=u ),( vx+vy=279936):} => { ( x=u-y ),( v(u-y)+vy=279936):} => { ( x=u-y ),( vu-vy+vy=279936):} => { ( x=u-y ),( vu=279936):} $
$ { ( x=u-y ),( 2^x*3^x=279936):} => { ( x=u-y ),( 6^x=279936):} => { ( x=u-y ),( x=log279936/(log6)):} => { ( x=u-y ),( x=7):} $
$ { ( 7+y=2^7 ),( x=7):} => { ( y=128-7=121 ),( x=7):} => { ( y=121 ),( x=7):} $
Verifico se è vero ed ho:
$ { ( 7+121=128 ),( x=7):} $
Il risultato è vero
E' giusto, ma è più rapido fare così:
${(y=2^x-x),(2^x-x+x=279936/(3^x)):}$
Lavori poi sulla seconda equazione esattamente come hai fatto.
${(y=2^x-x),(2^x-x+x=279936/(3^x)):}$
Lavori poi sulla seconda equazione esattamente come hai fatto.
"giammaria":
E' giusto, ma è più rapido fare così:
${(y=2^x-x),(2^x-x+x=279936/(3^x)):}$
Lavori poi sulla seconda equazione esattamente come hai fatto.
Ok, ti ringrazio, bene a sapersi! Un pò come dire che tutte le strade portano a Roma
Oppure
$ { ( x+y=2^x ),( x+y=279936/3^x ):} ->{(2^x=279936/3^x), (y=2^x-x):}->{(2^x*3^x=279936), (y=2^x-x):}->$
${(6^x=6^7), (y=2^x-x):}->{(x=7), (y=2^7-7=128-7=121):}$.
$ { ( x+y=2^x ),( x+y=279936/3^x ):} ->{(2^x=279936/3^x), (y=2^x-x):}->{(2^x*3^x=279936), (y=2^x-x):}->$
${(6^x=6^7), (y=2^x-x):}->{(x=7), (y=2^7-7=128-7=121):}$.
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