Funzioni esponenziale e logaritmica
Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
$ 2^sqrt(5) $
E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!
Va bene detta così
Risposte
"giammaria":
$x=1/(root(5)(10^22))=1/(root(5)(10^20*10^2))=1/(10^4*root(5)(10^2))*(root(5)(10^3))/(root(5)(10^3))=root(5)(10^3)/(10^4*10)=root(5)1000/10^5$
che però non è il risultato del libro.
La regola è:1) portare fuori dalla radice tutto il possibile; 2) fare in modo di ottenere la radice n-esima di un'elevazione ad n.
Scusami, avevo sbagliato a scrivere il risultato, ecco quello corretto $ root(5)(10^3)/10^5 $
Fino a quì, ho capito ciò che hai fatto:
$ x=1/(root(5)(10^22))=1/(root(5)(10^20*10^2)) $
Poi quì mi sono perso:
$ 1/(10^4*root(5)(10^2))*(root(5)(10^3))/(root(5)(10^3)) $
Da dove hai ricavato $ root(5)(10^3) $
Non si sarebbe dovuto fare così
$ 1/(10^4*root(5)(10^2))*(10^4*root(5)(10^2))/(10^4*root(5)(10^2))=> (10^4*root(5)(10^2))/((10^4*root(5)(10^2))*(10^4*root(5)(10^2))) $
E poi mi sono perso......
La regola a cui pensi va bene solo per razionalizzare le radici quadrate.
Nel nostro caso a denominatore voglio ottenere $root(5) 10^5$ mentre ho $root(5)10^2$ e per questo moltiplico per $root(5)10^3$ : così avrò $ root(5)10^2*root(5)10^3=root(5)10^5=10$.
Il $10^4$ fuori dalla radice lo lascio stare perché il mio scopo è togliere la radice e non danno fastidio i fattori che ne sono fuori.
Con i tuoi calcoli, trascurando il $10^4$, a denominatore ottieni $root(5)10^2*root(5)10^2=root(5)10^4$ e la radice resta.
Nel nostro caso a denominatore voglio ottenere $root(5) 10^5$ mentre ho $root(5)10^2$ e per questo moltiplico per $root(5)10^3$ : così avrò $ root(5)10^2*root(5)10^3=root(5)10^5=10$.
Il $10^4$ fuori dalla radice lo lascio stare perché il mio scopo è togliere la radice e non danno fastidio i fattori che ne sono fuori.
Con i tuoi calcoli, trascurando il $10^4$, a denominatore ottieni $root(5)10^2*root(5)10^2=root(5)10^4$ e la radice resta.
"giammaria":
La regola a cui pensi va bene solo per razionalizzare le radici quadrate.
Nel nostro caso a denominatore voglio ottenere $root(5) 10^5$ mentre ho $root(5)10^2$ e per questo moltiplico per $root(5)10^3$ : così avrò $ root(5)10^2*root(5)10^3=root(5)10^5=10$.
Il $10^4$ fuori dalla radice lo lascio stare perché il mio scopo è togliere la radice e non danno fastidio i fattori che ne sono fuori.
Con i tuoi calcoli, trascurando il $10^4$, a denominatore ottieni $root(5)10^2*root(5)10^2=root(5)10^4$ e la radice resta.
Adesso ho compreso
Questo artifizio, torna molto utile
Posso chiamarlo artifizio
Oppure è una regola che si chiama .......
Puoi chiamarla artificio; moltissime regole in realtà lo sono. E' semplicemente il metodo (o regola, o artificio, o trucchetto o altri sinonimi) per razionalizzare i denominatori. Il mio computer segnala come errore la parola artifizio ed effettivamente mi sembra desueta.
Mi chiedo perche' tempo fa, nacquuero i logaritmi?!?
Per quale motivo e cosa spinse i matematici a scoprire i logaritmi?
Per quale motivo e cosa spinse i matematici a scoprire i logaritmi?
Esercizio 50
Come conviene risolvere questa equazione esponenziale?
$ 3^(2x-1)=0,07 $
Il testo mi dice di utlizzare i logaritmi e poi verificare con la calcolatrice!?!?
Come posso fare?
Grazie mille!
Come conviene risolvere questa equazione esponenziale?
$ 3^(2x-1)=0,07 $
Il testo mi dice di utlizzare i logaritmi e poi verificare con la calcolatrice!?!?
Come posso fare?
Grazie mille!
Se la richiesta è di risolvere l'equazione in modo approssimato utilizzando la calcolatrice, devi usare o i logaritmi naturali o quelli decimali, che ci sono in una normale calcolatrice.
Per esempio, usando i logaritmi decimali ....
$ 3^(2x-1)=0,07 ->log(3^(2x-1))=log(0,07)->$
$(2x-1)*log3=log(7/100)->2x-1=(log7-log100)/log3->$
$2x=1+(log7-2)/log3->x=1/2(log3+log7-2)/log3$.
Per esempio, usando i logaritmi decimali ....
$ 3^(2x-1)=0,07 ->log(3^(2x-1))=log(0,07)->$
$(2x-1)*log3=log(7/100)->2x-1=(log7-log100)/log3->$
$2x=1+(log7-2)/log3->x=1/2(log3+log7-2)/log3$.
... e, se vuoi premere pochi tasti,
$x= (log3+log0,07)/(2log3)=(log 0,21)/(log9)$
$x= (log3+log0,07)/(2log3)=(log 0,21)/(log9)$
"chiaraotta":
Se la richiesta è di risolvere l'equazione in modo approssimato utilizzando la calcolatrice, devi usare o i logaritmi naturali o quelli decimali, che ci sono in una normale calcolatrice.
Per esempio, usando i logaritmi decimali ....
$ 3^(2x-1)=0,07 ->log(3^(2x-1))=log(0,07)->$
$(2x-1)*log3=log(7/100)->2x-1=(log7-log100)/log3->$
$2x=1+(log7-2)/log3->x=1/2(log3+log7-2)/log3$.
Ma perche' si fa in questo modo?
$ (2x-1)*log3=log(7/100)=>2x-1=log(7/100)*(1/(log3)) $
Non si poteva fare cosi'?
$ (2x-1)*log3=log(7/100)=>log3=log(7/100)*(1/(2x-1)) $
"Bad90":
...
Non si poteva fare cosi'?
$ (2x-1)*log3=log(7/100)=>log3=log(7/100)*(1/(2x-1)) $
E poi? Se il problema è risolvere l'equazione nell'incognita $x$, devi arrivare a un'espressione del tipo $x=....$.
Perfetto, adesso hi capito lo scopo......
Grazie mille!
Grazie mille!
Non sto capendo perche' se io ho:
$ log12^x=log15 $
perche' non e' lo stesso di:
$ log4^x=log5 $
Insomma, perche' non si puo' dividere per $ 3 $
$ log12^x=log15 $
perche' non e' lo stesso di:
$ log4^x=log5 $
Insomma, perche' non si puo' dividere per $ 3 $
Vogliamo risolvere l'equazione, cioè arrivare ad $x=...$ e col tuo modo complichi solo le cose. Puoi anche vedere le cose così: i due logaritmi sono dei numeri e sostituiamoli provvisoriamente con lettere: hai $(2x-1)*a=b$ e la soluzione di chiaraotta è stata
$2x-1=b/a=>2x=1+b/a=> x=1/2*(a+b)/a$
Un'altra soluzione possibile era
$2ax-a=b=>2ax=a+b=>x=(a+b)/(2a)$
cioè, nel tuo caso
$2xlog3-log3=log0,07=>2xlog3=log3+log0,07=>x=(log3+log0,07)/(2log3)=(log0,21)/(log9)$
$2x-1=b/a=>2x=1+b/a=> x=1/2*(a+b)/a$
Un'altra soluzione possibile era
$2ax-a=b=>2ax=a+b=>x=(a+b)/(2a)$
cioè, nel tuo caso
$2xlog3-log3=log0,07=>2xlog3=log3+log0,07=>x=(log3+log0,07)/(2log3)=(log0,21)/(log9)$
Sì che si può divedere tutta l'equazione per $3$. Il fatto è che non si ottiene niente di utile a farlo, perché non è vero che $(log12^x)/3=log4^x$ e neanche che $(log15)/3=log5$.
Infatti
$(log12^x)/3=log(root(3)(12^x))$
e
$(log15)/3=log(root(3)(15))$.
Invece
$ log12^x=log15->x*log(12)=log(15)->x=(log(15))/(log(12)) $
Infatti
$(log12^x)/3=log(root(3)(12^x))$
e
$(log15)/3=log(root(3)(15))$.
Invece
$ log12^x=log15->x*log(12)=log(15)->x=(log(15))/(log(12)) $
Esercizio 51
$ 5^x*3^(2x)=461 $
Ho pensato di fare così:
$ 5^x*9^x=461 $
$ log5^x+log9^x=log461 $
$ xlog5+xlog9=log461 $
$ x(log5+log9)=log461 $
$ x=log461/((log5+log9)) $
E poi Non sono sicuro se ho fatto bene!
$ 5^x*3^(2x)=461 $
Ho pensato di fare così:
$ 5^x*9^x=461 $
$ log5^x+log9^x=log461 $
$ xlog5+xlog9=log461 $
$ x(log5+log9)=log461 $
$ x=log461/((log5+log9)) $
E poi
Non sono sicuro se ho fatto bene!
Esercizio 52
$ 3^(x^2+2x)=30 $
$ log3^(x^2+2x)=log30 $
$ log3^(x^2+2x)=log10*3 $
$ (x^2+2x)=(log10*3)/(log3) $
$ (x^2+2x)=3/(log3) $
E poi cosa devo fare Se attribuisco una lettera al logaritmo, es. $ a=log3 $, dite che funziona
$ x^2+2x=3/(a) $
Arrivo alla seguente equazione di secondo grado, ma poi non riesco a risolverla.....
$ ax^2+a2x-3=0 $
$ 3^(x^2+2x)=30 $
$ log3^(x^2+2x)=log30 $
$ log3^(x^2+2x)=log10*3 $
$ (x^2+2x)=(log10*3)/(log3) $
$ (x^2+2x)=3/(log3) $
E poi cosa devo fare
Se attribuisco una lettera al logaritmo, es. $ a=log3 $, dite che funziona $ x^2+2x=3/(a) $
Arrivo alla seguente equazione di secondo grado, ma poi non riesco a risolverla.....
$ ax^2+a2x-3=0 $
"Bad90":
Esercizio 52
$ 3^(x^2+2x)=30 $
$ log3^(x^2+2x)=log30 $
....
$log3^(x^2+2x)=log(10*3)$
$x^2+2x=(log10+log3)/log3$
$x^2+2x-(1+log3)/log3=0 $
"chiaraotta":
$x^2+2x-(1+log3)/log3=0 $
Adesso provo a continuare da quì:
$x^2+2x-(1+log3)/log3=0 $
Ovviamente do al logaritmo il seguente valore $ log3=a $ e arrivo alla seguente equazione di secondo grado:
$ ax^2+a2x-1-a=0 $
Sto cercando di risolverla con il metodo risolutivo delle equazioni di secondo grado, ma non penso sia la via giusta in quanto mi sembra troppo laboriosa.......
, non so se è il caso di lasciar stare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado e provare a utilizzare $ log3 $ al posto di $ a $
Io avrei scritto: \( a:= \frac{1+\log(3)}{\log(3)}\), ottenendo $x^2+2x-a=0$.
N.B. $a>0$
N.B. $a>0$
Ok, da questa $x^2+2x-a=0$ ottengo le due soluzioni:
$ x_1=-1+sqrt(1+a) $
$ x_2=-1-sqrt(1+a) $
Il testo mi da il risultato che è giusto a tali soluzioni: $ -1,0238^^+1,0238 $ , non mi dice niente altro, pensavo che si potesse scrivere diversamente il risultato che ho ottenuto oppure basta scriverlo così
$ x_1=-1+sqrt(1+(frac{1+log(3)}{log(3)})) $
$ x_2=-1-sqrt(1+(frac{1+log(3)}{log(3)})) $
$ x_1=-1+sqrt(1+a) $
$ x_2=-1-sqrt(1+a) $
Il testo mi da il risultato che è giusto a tali soluzioni: $ -1,0238^^+1,0238 $ , non mi dice niente altro, pensavo che si potesse scrivere diversamente il risultato che ho ottenuto oppure basta scriverlo così
$ x_1=-1+sqrt(1+(frac{1+log(3)}{log(3)})) $
$ x_2=-1-sqrt(1+(frac{1+log(3)}{log(3)})) $
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