Funzioni esponenziale e logaritmica

[Bad90]

Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....

$ 2^sqrt(5) $

E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!

Va bene detta così

[Bad90]

Mi sono espresso male per mancanza di esperienza, comunque adesso ho capito!
Ti ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 46
Ho risolto il seguente esercizio, sono arrivato alla conclusione ma non la stessa del risultato del testo , in piu' sono riuscito ad avere solo una soluzione, mentre non capisco la seconda soluzione!

$ 5logx(logx-1)=2(logx+6) $

Non scrivo tutti i passaggi, arrivo direttamente alla fine:

$ logx^3=12 $

Ho fatto cosi':

$ x^3=10^12 $

$ x=root(3)(10^12) $

Il testo mi dice invece due soluzioni $ S_1 = 1/10^^S_2 =100root(5)(100) $

[Gi81]

A me vengono due soluzioni: $x = 10^ (12/5) $ e $x= 10^-1$

[Bad90]

"Gi8":A me vengono due soluzioni: $x = 10^ 12 $ e $x= 10^-5$

Ma anche a te i risultati vengono diversi da quelli del testo!

Accipicchia!

[Gi81]

Ho sbagliato. Mi vengono gli stessi risutati del libro. Ho corretto


Qui c'è la mia risoluzione:

Pongo $y=log(x)$ ottenendo $5y(y-1)= 2y+12=> 5y^2-7y-12=0$

$Delta= 49+240=289=17^2$
$y_{1,2}=(7+-17)/10 => y=12/5 vv y = -1$...

[giammaria2]

Suggerisco a Gi8 di correggere anche il testo nascosto; la sua soluzione coincide allora con quella del libro. Infatti

$1/10=10^(-1)$

$100 root(5) 100=10^2*10^(2/5)=10^(12/5)$

[Bad90]

Esercizio 47
Questo mi sembra banale, ma vorrei essere piu' convinto......

$ x^(logx)=10 $

Se pongo $ y=logx $ allora :

$ x^y=10 $

Cosa devo fare? Posso fare cosi'?

$ log x ^x=10 $

[Gi81]

"giammaria":Suggerisco a Gi8 di correggere anche il testo nascosto;

Pardon Fatto

[Gi81]

"Bad90": $ x^(logx)=10 $

Hai fatto bene ad operare la sostituzione $y=log(x)$, ma ti sei fermato troppo presto.

Dato che $y=log(x)$, si ha $x=10^y$

Quindi abbiamo $(10^y)^y=10$
Sei in grado di continuare?

[Bad90]

"Gi8":$ x^(logx)=10 $
Hai fatto bene ad operare la sostituzione $y=log(x)$, ma ti sei fermato troppo presto.

Dato che $y=log(x)$, si ha $x=10^y$

Quindi abbiamo $(10^y)^y=10$
Sei in grado di continuare?

Non ci sto riuscendo
Per le proprietà delle potenze, deve essere così:

$(10)^(y*y)=10$

$(10)^(y^2)=10$

$y^2 = 1$

$(log x)^2 = 1$

$2(log x)= 1=>(log x) = 1/2$

Ma in questo modo ottengo $ x=sqrt(10) $, mentre il testo mi da i seguenti risultati:

$ S_1=10^^S_2=1/10 $

Sarà banale ma io non lo sto capendo!

[Gi81]

Non è vero che $(logx )^2 = 2 log x $. Stai confondendo $(log x)^2$ con $log(x^2)$.

Una volta arrivato a $y^2 =1$, concludi che $y=1 vv y = -1$
Dunque $log(x)= 1 vv log(x)= -1$

[Martessa1]

$x^(\log_{10} x) = 10$

applichiamo ambo i membri dell'equazione la funzione inversa
dell'esponenziale, ovvero il logaritmo, nella medesima base :

$log_{10} ( x^(\log_{10} x) ) = \log_{10} 10$

per le proprietà dei logaritmi possiamo scrivere :

$\log_{10} x * \log_{10} = 1$

ovvero :

$\log_{10}^{2} x = 1$

ciò è verificato per :

$\log_{10} x = -1 \vee \log_{10} x = 1$

dunque, applichiamo ambo i membri delle equazioni la funzione
inversa del logaritmo, ovvero l'esponenziale, nella medesima base :

$10^(\log_{10} x) = 10^(-1) \vee 10^(\log_{10} x) = 10^(1)$

quindi, dato che le funzioni "in gioco" sono una l'inversa dell'altra :

$x=1/10 \vee x=10$ .

E' tutto

[Bad90]

"Gi8":Non è vero che $(logx )^2 = 2 log x $. Stai confondendo $(log x)^2$ con $log(x^2)$.

Una volta arrivato a $y^2 =1$, concludi che $y=1 vv y = -1$
Dunque $log(x)= 1 vv log(x)= -1$

Ok, infatti:

$log(x)= 1 => x=10^1=> x=10 $

$ log(x)= -1 => x=10^-1=> x=1/10$

Giusto

E se invece ho $ x^(logx)=1 $ quanto varrà

Se ho $ logx=y $ allora $ x^(logx)=1 $ sarà $ x^y=1 $ e sapendo che $ x=10^y $ ...... , devo fare così

$ (10^y)^y=1 $ e poi $ (10)^(y^2)=1 $ cioè $ (10)^(y^2)=10^0=> y^2=0 $

Ma non può essere perchè un quadrato è sempre positivo

[@melia]

Ti dico solo che $1=x^0$

[Bad90]

"@melia":Ti dico solo che $1=x^0$

Allora questa può essere scritta così

$ x^(logx)=1 $ cioè $ x^(logx)=x^0 $ allora $ logx = 0 => x=10^0 => x=1$

[Bad90]

Esercizio 48
E se ho:

$ x^(logx+2)=1000 $

Se faccio $ logx=y $ l'equazione potrà essere scritta in questo modo

$ x^(y+2)=1000 $

Sempre perchè $ logx=y $ allora ricavo la $ x $ in questo modo $ logx=y => x=10^y$, quindi l'equazione potrà essere scritta in questo modo

$ 10^(y(y+2))=10^3 $

Avendo base uguale, riduco in questo modo:

$ y(y+2)=3 $

Ottenendo così una equazione di secondo grado:

$ y^2+2y-3=0 $

Da questa ottengo le due soluzioni $ y_1=1^^y_2=-3 $

E adesso come faccio a concludere che $ S_1 = 10^^S_2 = 10^-3 $

Posso pensare in questo modo

$ x^(1+2)=10^3=>x^3=10^3=>x=10 $
$ x^(-3+2)=10^3=>x^(-1)=10^3=>1/x=10^3=> 1=x*10^3=>x=1/(10^3) $

Dite che ho fatto bene

[giammaria2]

"Bad90":E adesso come faccio a concludere che $ S_1 = 10^^S_2 = 10^-3 $

Qualche riga prima hai scritto $x=10^y$: ti basta usarla, senza contorcimenti.

[Bad90]

Non sto capendo.....
Vuoi dire che ho sbagliato?

[Bad90]

Esercizio 49

Ho risolto la seguente equazione:

$ 5/(3+logx)+3/(logx+5)=10/7 $

Ho fatto cosi':

$ 5/(3+y)+3/(y+5)=10/7 $

Arrivo alla seguente equazione di secondo grado:

$ 5y^2+12y-44=0 $

$ y_1=2^^y_2=-22/5 $

Riesco a comprendere la prima soluzione del testo $ 10^2 $ , ecco perche':

$ logx=2=>x=10^2 $

Ma non sto riuscendo ad ottenere il secondo risultato del testo $ root(5)(10^3)/10^5 $

Ecco cosa ho fatto:

$ logx =-22/5=>x=10^(-22/5)=>x=1/(root(5)(10^22)) $

$ x=1/(root(5)(10^22))=>x=(root(5)(10^22))/((root(5)(10^22))*(root(5)(10^22))) $

$ x=(root(5)(10^22))/(10^22) $

Ma cosi' non arrivo al risultato del testo!

Dove ho sbagliato?

[giammaria2]

$x=1/(root(5)(10^22))=1/(root(5)(10^20*10^2))=1/(10^4*root(5)(10^2))*(root(5)(10^3))/(root(5)(10^3))=root(5)(10^3)/(10^4*10)=root(5)1000/10^5$
che però non è il risultato del libro.
La regola è:1) portare fuori dalla radice tutto il possibile; 2) fare in modo di ottenere la radice n-esima di un'elevazione ad n.

Per quanto riguarda l'esercizio 48, quello che hai fatto non è sbagliato ma è poco chiaro; il metodo abituale è tornare ad $x$ usando la sostituzione o la sua inversa. Tu avevi fatto la sostituzione $y=logx$ la cui inversa è $x=10^y$, quindi da $y=1$ deduci $x=10^1=10$; analogo per l'altra soluzione.