Funzioni esponenziale e logaritmica

[Bad90]

Ho cominciato adesso a studiare questo argomento, vorrei capire se sto dicendo correttamente quanto segue....

$ 2^sqrt(5) $

E' l'elemento separatore di due gruppi contigui $ A^^B $ , dove $ A $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per difetto, mentre $ B $ contiene le potenze di $ 2^sqrt(5) $ approssimate per eccesso!

Va bene detta così

[giammaria2]

"Bad90":... non capisco come bisogna comportarsi con le proprieta' delle potenze quando si ha: $ (log_a x)^2 $

In nessun modo: nessuna delle proprietà delle potenze si riferisce al quadrato di un logaritmo e neppure al prodotto di due logaritmi.
La soluzione di Chiaraotta è sostanzialmente la stessa che suggerivo io; facevi
$y=y^2=>y(y-1)=0=>(y_1=0 ^^y_2=1)$
e poi ne ricavavi le $x$.

Esercizio 41
L'ultimo addendo è $(log x)/10$ come hai scritto o $log \frac x {10}$?
La tua soluzione è giusta solo nel secondo caso ma allora mi sembra più semplice fare così:

$2log x-(logx-log10)=3=>2logx-logx+1=3=>logx=2=>x=10^2=100$

Nel primo caso si fa il tuo primo passaggio e si continua con
$(2-1/10)logx=3=>19/10logx=3=>logx=30/19=>x=10^(30/19)$
Una soluzione così brutta mi sembra improbabile.

[Bad90]

Per l'esercizio 41, ho corretto la traccia, avevo sbagliato a digitare, ecco quella corretta:

$ 2logx=3+log(x/10) $

Quindi vuol dire che i miei step risolutivi sono corretti
Però effettivamente e più bello vedere la soluzione nel modo che hai fatto tu:

$2log x-(logx-log10)=3=>2logx-logx+1=3=>logx=2=>x=10^2=100$

Grazie mille!

[Bad90]

Esercizio 43

Ho risolto il seguente esercizio e ci sono riuscito con molta più facilità.... , mi stanno facendo penare "questi logaritmi"
Ecco qui':

$ logx-1/2log(3x-20)=1/2 => logx-logsqrt((3x-20))=1/2 $

$ log(x/sqrt((3x-20)))=1/2 => 2log(x/sqrt((3x-20)))=1 $

$ log(x/sqrt((3x-20)))^2=1 => log(x/sqrt((3x-20)))^2=log 10 $

$ (x/sqrt((3x-20)))^2= 10 $

Vorrei capire meglio in questo caso le $ CE $ perchè so che devo avere, $ x != 0 $ ma poi non capisco se devo per forza scrivere questa:

$ (3x-20) ^(1/2) $

In questo caso è sempre positiva perchè è $ sqrt((3x-20)) $ , dite che basta $ x != 0 $


Comunque arrivo all'equazione di secondo grado e alle due soluzioni:

$ x^2-30x+200=0 $ con $ S=> 20^^10 $

[Gi81]

Le condizioni di esistenza vanno poste all'inizio, non a metà esercizio. Attento, questo è un errore grave!

Abbiamo $log(x) -1/2 log(3x-20)=1/2$, dunque le condizioni sono ${(x>0),(3x-20>0):}$ , cioè $x>20/3$

[Bad90]

"Gi8":Le condizioni di esistenza vanno poste all'inizio, non a metà esercizio. Attento, questo è un errore grave!

Abbiamo $log(x) -1/2 log(3x-20)=1/2$, dunque le condizioni sono ${(x>0),(3x-20>0):}$ , cioè $x>20/3$

Ok, ma perchè alla fine dici che la $ CE $ è solo $x>20/3$
Non dovrebbe essere $x>0$ e $x>20/3$
Perchè si conclude solo con una condizione alla fine

[Gi81]

Forse così è più comprensibile: ${(x>0),(3x-20>0):} => {(x>0),(x>20/3):}=> x>20/3$

Semplificando, quali sono i numeri che verificano contemporaneamente le due disequazioni? Sono tutti i numeri maggiori di $20/3$. Altri non ce ne sono. Ecco perchè la soluzione finale è $x>20/3$

[Bad90]

Ok, adesso ho compreso!

[Bad90]

"chiaraotta":
${(x+sqrt(x^2-2)>0), (x^2-2>=0), (2x+sqrt(x^2-4)>0), (x^2-4>=0):}$.

Le soluzioni del sistema sono $x>=2$

Ma cosa significa Come hai risolto in questo caso il sistema?

Ti ringrazio!

[giammaria2]

Esercizio 43
Un trucchetto per fare calcoli semplici: dai denominatore comune (così eviterai le radici) e porta i logaritmi al membro in cui hanno il più (così eviterai le frazioni). Ecco i miei calcoli, dando per già trovato il CE:

$2log x=log(3x-20)+1=>log x^2=log(3x-20)+log10=>x^2=10(3x-20)$ eccetera

[Bad90]

"giammaria":Esercizio 43
Un trucchetto per fare calcoli semplici: dai denominatore comune (così eviterai le radici) e porta i logaritmi al membro in cui hanno il più (così eviterai le frazioni). Ecco i miei calcoli, dando per già trovato il CE:

$2log x=log(3x-20)+1=>log x^2=log(3x-20)+log10=>x^2=10(3x-20)$ eccetera

Ok, ti ringrazio per il trucchetto, almeno faccio meno fatica a risolverli

[Bad90]

Esercizio 44
Per questo non ho avuto problemi nel risolverlo, anzi, sto riuscendo a risolverli tutti....
Adesso voglio esercitarmi un po sulle $ CE $

$ logsqrt(x+1)+log(x-1)=[log(x^3-41)]:2 $

Allora, le $ CE $ sono:

$ x+1>0=>x> -1 $
$ x-1>0=>x>1 $
$ x^3-41>0=>x^3>41=>x>41^3 $

Come faccio a definire precisamente le $ CE $
Ho pensato di metterli a sistema e dall'unione delle tre disuguaglianze ho ottenuto:

$ { ( x+1>0=>x> -1 ),( x-1>0=>x>1 ),( x^3-41>0=>x^3>41=>x>41^3 ):} =>-141^3$



Ho fatto bene
Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 44
.... voglio esercitarmi un po sulle $ CE $
Ho pensato di metterli a sistema e dall'unione delle tre disuguaglianze ho ottenuto:

$ { ( x+1>0=>x> -1 ),( x-1>0=>x>1 ),( x^3-41>0=>x^3>41=>x>41^3 ):} =>-141^3$
...Ho fatto bene
...

No!!!
Intanto, se $x^3>41$, allora $x>root(3)x$.
Poi è sbagliata l'intersezione delle soluzioni delle 3 disequazioni.

[Bad90]

"chiaraotta":
No!!!
Intanto, se $x^3>41$, allora $x>root(3)x$.
Poi è sbagliata l'intersezione delle soluzioni delle 3 disequazioni.

Scusa ma non sto capendo perchè non così:

se $x^3>41$, allora $x>root(3)41$

Poi nel grafico dei segni ho cercato i settori in cui è positiva, quindi sono arrivato a questo $ -1root(3)(41) $

Non sto capendo, cosa avrei dovuto fare



Grazie mille!

[Bad90]

Esercizio 45
Le $ CE $ di questa sono corrette

$ log(3x^2+7x+4)+log2x=log(3x^2+3x+3)+log2(x+1) $

$ CE $ sono:

$ { ( 3x^2+7x+4>0 =>x> -1^^x> -4/3),( 2x>0 =>x>0),( 3x^2+3x+3>0 => AA x in R) ,( x+1>0 => x > -1):} $

Dall'intersezione delle solizioni, ho che le $ CE $ sono $ x> -1^^x< -4/3 $

Dite che ho fatto bene
Nell'esercizio precedente, ho sbagliato a dire unione, si tratta di intersezione e anche in questo caso si tratta di intersezione!
Grazie mille!

[Bad90]

Esercizio 46
Anche in questo vorrei avere le idee piu' chiare sulle $ CE $

$ logsqrt(x)+logroot(3)(x)+logroot(3)(sqrt(x))=logx $

Alla dine ho ottenuto il seguente risultato:

$ x^0=1 $

Ma per le $ CE $ basta imporre $ x != 0 $


Non sto capendo perche il risultato del testo e':

a) Per $ x>0 $ indeterminata
b) Per $ x<=0 $ impossibile

La b) l'ho compresa perfettamente, ma la a) no!

[chiaraotta1]

"Bad90":
.....
Poi nel grafico dei segni ho cercato i settori in cui è positiva, quindi sono arrivato a questo $ -1root(3)(41) $....

Ora hai corretto, ma sopra avevi scritto
$x^3-41>0=>x^3>41=>x>41^3$.
Invece è
$x>root(3)(41)$.

Per risolvere il sistema non c'entra niente fare un grafico dei segni. Devi invece intersecare le soluzioni delle tre disequazioni. Ma l'intersezione di $x> -1$ con $x>1$ e con $x>root(3)(41)$ è $x>root(3)(41)$.

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 45
......Dall'intersezione delle solizioni, ho che le $ CE $ sono $ x> -1^^x< -4/3 $
....

Le soluzioni del sistema
$ {(x< -4/3^^x> -1), (x>0), (AA x in R) ,(x > -1):}$
sono
$x>0$.

[Bad90]

Mi sembra di aver capito.....
L'unica solizione data dall'intersezione e' $ x>root(3)(41) $ mentre il settore positivo che si trova in $ -1 Giusto?

Perche' dici che non c'e' bisogno di fare il grafico dei segni?

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]Esercizio 45
......Dall'intersezione delle solizioni, ho che le $ CE $ sono $ x> -1^^x< -4/3 $
....

Le soluzioni del sistema
$ {(x< -4/3^^x> -1), (x>0), (AA x in R) ,(x > -1):}$
sono
$x>0$.[/quote]
Hai ragione, non stavo considerando il fatto che sto trattando i logaritmi!
Errore grave, ma almeno me ne sono reso conto!

Grazie mille!

[giammaria2]

Con due o più disequazioni il grafico serve per visualizzare contemporaneamente i loro risultati in modo da poter rispondere a svariate domande; poiché cambiando la domanda cambia anche la risposta, devi sempre tener presente cosa ti chiedevi. I casi più comuni sono tre:
- l'intersezione, in cui ci chiediamo quando sono verificate tutte le disequazioni. E' quello che vogliamo nei sistemi ed è quello che avresti dovuto fare qui;
- l'unione, in cui vogliamo che ne sia verificata almeno una. E' quello che si fa quando abbiamo suddiviso in più casi possibili e ce ne va bene almeno uno; è il grafico finale nella soluzione di $sqrt(f(x))>g(x)$;
- i segni, in cui ci chiediamo il segno del prodotto o del rapporto.
Sarebbero possibili anche altre domande, ad esempio "quando non ne è verificata nemmeno una?" ma di solito non capita di farsele.
Tu hai fatto il grafico e dovevi leggerlo come intersezione; lo hai letto come grafico dei segni ed hai parlato di unione.