Formule goniometriche, Addizione-Sottrazione

[Bad90]

Devo completare la seguente espressione:

$ sen ( 60^o + 45^o)=........ $

Utilizzo la formula di addizione:

$ sen ( 60^o + 45^o)= sen alpha cos beta + cos alpha sen beta $

E quella famosa tavola che mi sembra sia corretta......., dove ci sono tutti i valori dei seni, coseni, tangenti....

[Bad90]

"giammaria":Nel 13 hai ragione tu; nel 14 invece ha ragione il libro.

E come? Adesso rivedo il tutto! Ti ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 15
Provare che:

$ (cos2alpha + cos4alpha)/(cos2alpha - cos4alpha) = (cotg3alpha)/(tgalpha) $

supponendo che le due frazioni siano definite per il valore di $ alpha $ considerato.

Il testo mi consiglia di utilizzare le formule di prostaferesi


Mettendo un'attimo da parte le formule di prostaferesi, vorrei chiarire un dubbio... Io so che al numeratore ho $ cos2alpha=cos(alpha+alpha)=cos^2alpha + sen^2alpha $, e allora a quanto equivale $ cos4alpha $ E' giusto dire che $ cos4alpha = cos2alpha + cos2alpha = cos(alpha+alpha) + cos(alpha + alpha)= 2cos^2 alpha + 2sen^2alpha$

Come si risolve Ho cominciato a fare questo:

$ (cos2alpha +cos4alpha)/(cos2alpha - cos4alpha) = (2cos((2alpha+4alpha)/2)*cos((2alpha-4alpha)/2))/(-2sen((2alpha+4alpha)/2)*sen((2alpha-4alpha)/2)) $

$ (cos((2alpha+4alpha)/2)*cos((2alpha-4alpha)/2))/(-sen((2alpha+4alpha)/2)*sen((2alpha-4alpha)/2)) $

$ (cos((6alpha)/2)*cos((-2alpha)/2))/(-sen((6alpha)/2)*sen((-2alpha)/2)) $

$ -(cos(3alpha)*cos(-alpha))/(sen(3alpha)*sen(-alpha)) $

Poi comincio a confondermi
Allora....

$ -(cotg(3alpha)*cos(-alpha))/(sen(-alpha)) $

Come devo continuare per arrivare alla giusta conclusione

[giammaria2]

Usando gli angoli associati: $cos(-alpha)=cos alpha$ e $sin(-alpha)=-sin alpha$.
In generale però quando si usa la prostaferesi si preferisce avere prima l'addendo con argomento maggiore, in modo che la differenza non sia negativa; i calcoli del primo membro sarebbero quindi

$(cos 2alpha+cos 4alpha)/(cos 2alpha-cos 4alpha)=-(cos 4alpha+cos2alpha)/(cos 4alpha-cos 2alpha)=-(2cos 3alpha cos alpha)/(-2sin 3alpha sinalpha)=(3co tg 3alpha )/(tg alpha )$

Per l'altro dubbio, sarebbe giusto se tu non avessi sbagliato un segno fin dalla prima formula:
$cos 4alpha =cos (2*2alpha )=cos^2 2alpha -sin^2 2alpha $

[Bad90]

Ed io ho pensato che si potesse risolvere in questo modo:

$ -(cotg(3alpha)*cos(-alpha))/(sen(-alpha)) $

$ -(cotg(3alpha)*cos(alpha))/(-sen(alpha)) $

$ (cotg(3alpha)*cos(alpha))/(sen(alpha)) $

$ cotg(3alpha)*cotgalpha $

Arrivando alla conclusione che il testo mi dice:

$ cotg(3alpha)*1/(tgalpha) $

$ (cotg(3alpha))/(tgalpha) $

Cosa ne dici

P.S. Non sto capendo ciò che i hai detto riguardo all' avere prima l'addendo con argomento maggiore ........

[Bad90]

"giammaria":

Per l'altro dubbio, sarebbe giusto se tu non avessi sbagliato un segno fin dalla prima formula:
$cos 4alpha =cos (2*2alpha )=cos^2 2alpha -sin^2 2alpha $

Scusami, penso che se ho sbagliato è perchè ho utilizzato la formula di addizione e il segno doveva essere così
$ cos(alpha + alpha) = cos^2 alpha - sen^2 alpha$
Giusto

Quindi:

$ cos4alpha= cos 2alpha + cos 2alpha => cos(alpha + alpha) + cos (alpha + alpha) =>cos^2 alpha - sen^2 alpha + cos^2 alpha - sen^2 alpha$

Solo che con il mio ragionamento ottengo questo:

$ cos^2 alpha - sen^2 alpha + cos^2 alpha - sen^2 alpha = 2cos^2 alpha - 2sen^2 alpha $

Tu che ragionamento hai seguito

[Bad90]

Esercizio 16
Trasformare in moltiplicazione la seguente addizione:

$ tg95^o + tg5^o $

Come si deve risolvere
Per tutti gli altri esercizio in compare seno e coseno, non sto avendo problemi, ma se ho un caso tipo questo esercizio, come conviene muoversi
Ho pensato di iniziare in questo modo:

$ (sen 95^o)/(cos 95^o) + (sen 5^o)/(cos 5^o) $

Ma poi come si continua
Il testo, per questi esercizi, mi fa utilizzare le formule di prostaferesi, ma in questo caso non sto capendo come muovermi

[giammaria2]

"Bad90": $ cos4alpha= cos 2alpha + cos 2alpha => cos(alpha + alpha) + cos (alpha + alpha) =>cos^2 alpha - sen^2 alpha + cos^2 alpha - sen^2 alpha$

Brrr...

$cos2beta=cos(beta+beta)=cos^2 beta-sin^2 beta$ e, ponendo $beta=2alpha$ ottieni

$cos 4 alpha=cos(2alpha +2alpha )=cos^2 2alpha -sin^2 2alpha $

Se poi vuoi arrivare all'angolo $alpha$ continui con
$=(cos^2alpha -sin^2 alpha)^2-(2sinalpha cosalpha )^2=...$

Per quanto riguarda la prostaferesi, tu sai che in una somma si può scambiare a piacere l'ordine degli addendi; ad esempio
$sin2x+sin6x=sin6x+sin2x$
Se applichi la prostaferesi guardando la prima scritta, ad un certo punto devi calcolare $(2x-6x)/2=-3x$: ottieni un angolo negativo e devi ricorrere agli associati. Meglio guardare la seconda, che non dà quel problema.
Se fra gli addendi c'è il meno, per scambiare l'ordine devi metterlo in evidenza: ad esempio
$sin2x-sin6x=-(sin6x-sin2x)$
e quando applicherai la prostaferesi, guardando la seconda scritta non troverai angoli negativi.

[Bad90]

"giammaria":

$cos2beta=cos(beta+beta)=cos^2 beta-sin^2 beta$ e, ponendo $beta=2alpha$ ottieni

$cos 4 alpha=cos(2alpha +2alpha )=cos^2 2alpha -sin^2 2alpha $

E' vero, sono proprio uno stupido a non ricordare questo procedimento
Ok!

[Bad90]

"giammaria":

Per quanto riguarda la prostaferesi, tu sai che in una somma si può scambiare a piacere l'ordine degli addendi; ad esempio
$sin2x+sin6x=sin6x+sin2x$
Se applichi la prostaferesi guardando la prima scritta, ad un certo punto devi calcolare $(2x-6x)/2=-3x$: ottieni un angolo negativo e devi ricorrere agli associati. Meglio guardare la seconda, che non dà quel problema.
Se fra gli addendi c'è il meno, per scambiare l'ordine devi metterlo in evidenza: ad esempio
$sin2x-sin6x=-(sin6x-sin2x)$
e quando applicherai la prostaferesi, guardando la seconda scritta non troverai angoli negativi.

Ok, adesso è chiaro!

[Bad90]

Mentre per l' Esercizio 16, come bisogna procedere con le formule di prostaferesi

[giammaria2]

Per l'esercizio 16 mi limiterei a notare che gli angoli in questione sono associati ($95°=90°+5°$) e farei i calcoli in conseguenza. Volendo, è anche possibile un ragionamento di questo tipo:
$tg alpha+tg beta=(sin alpha)/(cos alpha)+(sin beta)/(cos beta)=(sin alpha cos beta+cos alpha sin beta)/(cos alpha cos beta)=sin(alpha+beta)/(cos alpha cos beta)$

Volendo, si può continuare applicando Werner a denominatore:
$cos alpha cos beta=1/2[cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)]$

[Bad90]

"giammaria":Per l'esercizio 16 mi limiterei a notare che gli angoli in questione sono associati ($95°=90°+5°$) e farei i calcoli in conseguenza. Volendo, è anche possibile un ragionamento di questo tipo:
$tg alpha+tg beta=(sin alpha)/(cos alpha)+(sin beta)/(cos beta)=(sin alpha cos beta+cos alpha sin beta)/(cos alpha cos beta)=sin(alpha+beta)/(cos alpha cos beta)$

Infatti è proprio quello che stavo facendo , ecco quì:

$ sin(5^o + 95^o)/(cos 95^o cos 5^o) $

Però non avevo pensato agli associati, ma dici che devo associarli dopo il passaggio che ho fatto io oppure prima

Comunque mi sono aiutato con il risultato e infatti il testo a risolto in questo modo:

$ sin 100^o * sec 95^o * sec 5^o $

[giammaria2]

Continua!
$=(sin100°)/(cos(90°+5°)cos5°)=(sin(90°+10°))/(-sin5° cos5°)=(cos 10°)/(-1/2 sin 10°)=-2 co tg 10°$

Io avrei preferito fare così:
$tg95°+tg5°=tg(90°+5°)+tg5°=-co tg 5°+tg 5°=-(cos 5°)/(sin5°)+(sin5°)/(cos5°)=(-cos^2 5°+sin^2 5°)/(sin5° cos5°)=$
$=(-(cos^2 5°-sin^2 5°))/(1/2sin10°)=(-2cos10°)/(sin10°)=-2 c otg 10°$

[Bad90]

Ok, ho capito che il mio testo si ferma a quegli step, mentre si può continuare...
Comunque ho trovato più comodo continuare con gli angoli associati e quindi con il tuo primo esempio!

[Bad90]

Esercizio 17

$ sen 2 alpha + cos 2 alpha $

Come si risolve questo?????

Ho pensato di iniziare in questo modo:

$ sen alpha cos alpha+cos alpha sen alpha + cos^2 alpha - sen^2 alpha $

$ 2sen alpha cos alpha + cos^2 alpha - sen^2 alpha $

Ma poi cosa conviene fare?
Non sto proprio riuscendo a capire come si deve continuare, insomma con le formule di prostaferesi, qual'e' il prosequio????

Accipicchiaaaaaa

[giammaria2]

Volendo usare la prostaferesi, occorrono due seni o due coseni: come prima cosa devi quindi usare gli associati per ottenerlo. Scelgo i seni.

$=sin2 alpha+sin(pi/2-2alpha)=2*sin \frac(2alpha+pi/2-2alpha) 2 *cos \frac (2alpha-pi/2+2alpha) 2=$

$=2*sin \frac pi 4*cos (2alpha-pi/4)=2*(sqrt2)/2*cos (2alpha-pi/4)=sqrt2*cos (2alpha-pi/4)$

[Bad90]

Esercizio 18
Altro problema anche con questo:

$ sen 50^o + sen 10^o - 1/2 $

Ho provado ad applicare le formule di prostaferesi solo a $ sen 50^o + sen 10^o $ lasciando stare $ -1/2 $ ma non penso si possa fare in quanto mi allontano dal risultato!

[Bad90]

"giammaria":Volendo usare la prostaferesi, occorrono due seni o due coseni: come prima cosa devi quindi usare gli associati per ottenerlo. Scelgo i seni.

$=sin2 alpha+sin(pi/2-2alpha)=$

Non sto capendo come hai associato in questo punto....
Insomma, se non erro:

$ cos (90^o - alpha) = sen alpha $

[giammaria2]

Per il 17: ho usato a rovescio la formula $sin(pi/2-beta)=cos beta$, con $beta=2alpha$.

Per il 18 il tuo inizio va bene e dopo qualche passaggio ti porta a $cos20°-1/2$. Potrebbe essere lasciato così ma volendo ottenere un prodotto devi avere due coseni e quindi lo scrivi come $cos20°-cos60°$ e prosegui.

[Bad90]

Ok per il 17 e per il 18!