Formule goniometriche, Addizione-Sottrazione
Devo completare la seguente espressione:
$ sen ( 60^o + 45^o)=........ $
Utilizzo la formula di addizione:
$ sen ( 60^o + 45^o)= sen alpha cos beta + cos alpha sen beta $
E quella famosa tavola che mi sembra sia corretta......., dove ci sono tutti i valori dei seni, coseni, tangenti....
$ sen ( 60^o + 45^o)=........ $
Utilizzo la formula di addizione:
$ sen ( 60^o + 45^o)= sen alpha cos beta + cos alpha sen beta $
E quella famosa tavola che mi sembra sia corretta......., dove ci sono tutti i valori dei seni, coseni, tangenti....
Risposte
Esercizio 19
Anche in questo conviene utilizzar gli angoli associati?
$ sen 5alpha + sen 3alpha + sen 2alpha $
Ho cominciato a fare cosi':
$ 2 sen 4alpha cos alpha + sen 2alpha $
cosa conviene fare?
E' il caso di utilizzare l'associato di $ cos alpha $
Il testo mi dice che il risultato deve essere il seguente:
$ 4* sen 5/2alpha * cos(3/2) alpha *cos alpha $
Ma sto facendo varie prove associando e girando e rigirando, ma niente!
Anche in questo conviene utilizzar gli angoli associati?
$ sen 5alpha + sen 3alpha + sen 2alpha $
Ho cominciato a fare cosi':
$ 2 sen 4alpha cos alpha + sen 2alpha $
cosa conviene fare?
E' il caso di utilizzare l'associato di $ cos alpha $
Il testo mi dice che il risultato deve essere il seguente:
$ 4* sen 5/2alpha * cos(3/2) alpha *cos alpha $
Ma sto facendo varie prove associando e girando e rigirando, ma niente!
Quando ci sono più di due seni (o coseni) li si unisce due a due; quasi sempre conviene mettere assieme quelli con argomenti della stessa parità. Nel tuo caso quindi cominci con i primi due. come hai fatto; per proseguire ti servirà poi spezzare l'ultimo addendo con la formula di duplicazione e mettere in evidenza quello che si può; poi continui.
A proposito: noto che tu usi sempre la formula di somma e quindi scrivi $sin2 alpha=sen alpha cosalpha +sen alpha cosalpha$. Non è sbagliato ma si preferisce imparare a memoria che $sin 2 alpha=2sen alpha cosalpha$.
A proposito: noto che tu usi sempre la formula di somma e quindi scrivi $sin2 alpha=sen alpha cosalpha +sen alpha cosalpha$. Non è sbagliato ma si preferisce imparare a memoria che $sin 2 alpha=2sen alpha cosalpha$.
Ok, allora utilizzando le formule di duplicazione, si arrivera' a questo punto:
$ 2sen 4alpha cos alpha + 2sen alpha cos alpha $
Da questa posso mettere in evidenza in questo modo:
$ 2cos alpha(sen 4alpha + sen alpha) $
$ 2sen 4alpha cos alpha + 2sen alpha cos alpha $
Da questa posso mettere in evidenza in questo modo:
$ 2cos alpha(sen 4alpha + sen alpha) $
Bene. Adesso segui il precedente suggerimento: metti in evidenza, eccetera.
Ok, poi arrivo a questo:
$ 2cos alpha(2sen(5/2)alpha cos(3/2)alpha) $
Ma forse c'e' qualche errore in cio' che ho fatto!
Oppure non mi sto rndendo conto che si puo' continuare in questo modo?!?
$ 4cos alpha(sen (5/2)alpha cos(3/2)alpha) $
E quindi e' lo stesso di dire questo:
$ 4cos alpha *sen (5/2)alpha * cos(3/2)alpha $
$ 2cos alpha(2sen(5/2)alpha cos(3/2)alpha) $
Ma forse c'e' qualche errore in cio' che ho fatto!
Oppure non mi sto rndendo conto che si puo' continuare in questo modo?!?
$ 4cos alpha(sen (5/2)alpha cos(3/2)alpha) $
E quindi e' lo stesso di dire questo:
$ 4cos alpha *sen (5/2)alpha * cos(3/2)alpha $
Giusta l'ultima ipotesi.
Trovo molto brutta la scritta $sin(5/2)alpha$ e suggerirei di scrivere piuttosto $sin((5alpha)/2)$. Oppure puoi usare Tex e la scritta diventa \$sin frac (5 alpha) 2\$, il cui effetto è $sin frac (5 alpha) 2$ . In alternativa puoi impedire al computer di riconoscere la funzione, indicando il seno con sen (al posto di sin) ed il coseno con c os (al posto di cos): la scritta \$sen (5alpha)/2\$ dà come risultato $sen (5alpha)/2$
Trovo molto brutta la scritta $sin(5/2)alpha$ e suggerirei di scrivere piuttosto $sin((5alpha)/2)$. Oppure puoi usare Tex e la scritta diventa \$sin frac (5 alpha) 2\$, il cui effetto è $sin frac (5 alpha) 2$ . In alternativa puoi impedire al computer di riconoscere la funzione, indicando il seno con sen (al posto di sin) ed il coseno con c os (al posto di cos): la scritta \$sen (5alpha)/2\$ dà come risultato $sen (5alpha)/2$
Ok, infatti nell'ultima modifica ho fatto come hai detto tu, 
Esercizio 20
Semplifica le seguenti espressioni, che si suppongono definite per il valore di $ alpha $ considerato.
$ sen 40^o + cos 70^o + sen 10^o $
Cosa conviene fare???
Insomma altri eserci tipo questo storiiscendo a risolverli, ma proprio questo no! Non mi sto rendendo conto di qualche passaggio che deco fare!?!?!?!
Semplifica le seguenti espressioni, che si suppongono definite per il valore di $ alpha $ considerato.
$ sen 40^o + cos 70^o + sen 10^o $
Cosa conviene fare???
Insomma altri eserci tipo questo storiiscendo a risolverli, ma proprio questo no! Non mi sto rendendo conto di qualche passaggio che deco fare!?!?!?!
Esercizio 21
Sto avendo problemi anche con questo:
$ (sen^2 2alpha - sen^2 alpha)/(sen 3alpha) $
Ho provato ad utilizzare le formule di prostaferesi ma niente, sono arrivato a questo punto e poi mi sono impallato:
$ (2cos^2((3alpha)/2)sen^2(alpha/2))/(sen3alpha) $
Sto avendo problemi anche con questo:
$ (sen^2 2alpha - sen^2 alpha)/(sen 3alpha) $
Ho provato ad utilizzare le formule di prostaferesi ma niente, sono arrivato a questo punto e poi mi sono impallato:
$ (2cos^2((3alpha)/2)sen^2(alpha/2))/(sen3alpha) $
20) Usa la prostaferesi, ma applicandola agli ultimi due addendi. Quando un raggruppamento non va bene, se ne cerca un altro.
21) Non si può usare la prostaferesi in presenza di quadrati. Il metodo migliore è usare la bisezione per entrambi gli addendi a numeratore e solo dopo la prostaferesi. Ti ricordo che la formula di bisezione può essere scritta come $sin^2beta=(1-cos2beta)/2$.
Un altro metodo, più lungo, è usare a numeratore la formula $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, poi la prostaferesi in entrambi i fattori, e concludere con la duplicazione (usata al contrario a numeratore oppure usata direttamente a denominatore).
21) Non si può usare la prostaferesi in presenza di quadrati. Il metodo migliore è usare la bisezione per entrambi gli addendi a numeratore e solo dopo la prostaferesi. Ti ricordo che la formula di bisezione può essere scritta come $sin^2beta=(1-cos2beta)/2$.
Un altro metodo, più lungo, è usare a numeratore la formula $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, poi la prostaferesi in entrambi i fattori, e concludere con la duplicazione (usata al contrario a numeratore oppure usata direttamente a denominatore).
Per l'esercizio 21, sono arrivato a questo punto:
$ (2sen ((3alpha)/2)sen ((alpha)/2))/(sen 3 alpha) $
Poi sto abendo problemi con i passaggi successivi...
$ (2sen ((3alpha)/2)sen ((alpha)/2))/(sen 3 alpha) $
Poi sto abendo problemi con i passaggi successivi...
Scusa ma per l'esercizio 20, come faccio ad applicare le formule di prostaferesi se ho un $ cos 70^o + sen 10^o$ , il mio testo non mi fa vedere quali formule ci sono in questi casi!
21) Evidentemente hai fatto qualche errore. Faccio i calcoli per il solo numeratore.
$N=(1-cos4 alpha)/2-(1-cos 2alpha )/2=(1-cos 4alpha -1+cos 2alpha )/2=-1/2(cos 4alpha -cos 2alpha )=$
$=-1/2(-2sen(4alpha +2alpha )/2 sen(4alpha -2alpha )/2)=sin 3alpha sin alpha$
20) Hai ragione, non l'avevo notato. Ritiro quanto ha detto e do un altro suggerimento: si ha $ cos70°=cos(90°-20°)=sin20°$; applica la prostaferesi con i primi due addendi ed arrivi a $cos10°+sin10°$. Per trasformarlo in un prodotto usa lo stesso giochetto degli associati, notando in un solo addendo che $10°=90°-80°$
$N=(1-cos4 alpha)/2-(1-cos 2alpha )/2=(1-cos 4alpha -1+cos 2alpha )/2=-1/2(cos 4alpha -cos 2alpha )=$
$=-1/2(-2sen(4alpha +2alpha )/2 sen(4alpha -2alpha )/2)=sin 3alpha sin alpha$
20) Hai ragione, non l'avevo notato. Ritiro quanto ha detto e do un altro suggerimento: si ha $ cos70°=cos(90°-20°)=sin20°$; applica la prostaferesi con i primi due addendi ed arrivi a $cos10°+sin10°$. Per trasformarlo in un prodotto usa lo stesso giochetto degli associati, notando in un solo addendo che $10°=90°-80°$
Ok, sono riuscito a risolverli e a capire dove stavo sbagliando!
Esercizio 22
$ 2cos 15^o + 2cos 255^o $
Con le prostaferesi sara'
$ 2cos 135^o cos 120^o $
Va bene cosi'? Non sto riuscendo a risolverlo perche' ci sara' qualche regola che sto trascurando! Adesso provo ad iniziare con gli angoli associati!
Ancora niente...
Allora, se ho:
$ 2cos 15^o + 2cos 255^o $
Per le proprietà commutative, potrò fare così:
$ 2cos 255^o + 2cos 15^o $
In primis, posso dividere per $ 2 $ gli argomenti:
$ cos 255^o + cos 15^o $
La prima cosa che mi è venuta in mente è la prostaferesi in questo modo:
$ 2cos((255^o + 15^o)/2) cos((255^o - 15^o)/2) $
$ 2cos 135^o cos 120^o $
Ma adesso non riesco a capire come continuare a scomporlo!
Non so se posso fare in questo modo:
$ 2cos (90^o + 45^o) cos (90^o + 30^o) $
E allora sapendo che $ cos (90^o + 45^o) = -sen 45^o $ e che $ cos (90^o + 30^o) = -sen 30^o $ , sarà:
Però poi non riesco a capire il perchè non mi viene fuori il risultato, ecco quì:
$ 2 * -sen 45^o * -sen 30^o = 2 *sqrt(2)/2 *1/2 = sqrt(2)/2 $ invece deve essere $ sqrt(2) $
L'unica risposto che riesco a darmi è che non avrei dovuto dividere per due all'inizio, allora si che mi trovo con il risultato!
$ 2cos 15^o + 2cos 255^o $
Con le prostaferesi sara'
$ 2cos 135^o cos 120^o $
Va bene cosi'? Non sto riuscendo a risolverlo perche' ci sara' qualche regola che sto trascurando! Adesso provo ad iniziare con gli angoli associati!
Ancora niente...
Allora, se ho:
$ 2cos 15^o + 2cos 255^o $
Per le proprietà commutative, potrò fare così:
$ 2cos 255^o + 2cos 15^o $
In primis, posso dividere per $ 2 $ gli argomenti:
$ cos 255^o + cos 15^o $
La prima cosa che mi è venuta in mente è la prostaferesi in questo modo:
$ 2cos((255^o + 15^o)/2) cos((255^o - 15^o)/2) $
$ 2cos 135^o cos 120^o $
Ma adesso non riesco a capire come continuare a scomporlo!
Non so se posso fare in questo modo:
$ 2cos (90^o + 45^o) cos (90^o + 30^o) $
E allora sapendo che $ cos (90^o + 45^o) = -sen 45^o $ e che $ cos (90^o + 30^o) = -sen 30^o $ , sarà:
Però poi non riesco a capire il perchè non mi viene fuori il risultato, ecco quì:
$ 2 * -sen 45^o * -sen 30^o = 2 *sqrt(2)/2 *1/2 = sqrt(2)/2 $ invece deve essere $ sqrt(2) $
L'unica risposto che riesco a darmi è che non avrei dovuto dividere per due all'inizio, allora si che mi trovo con il risultato!
Non sto riuscendo a capire il perche' nacquero le formule di Werner!
Il mio testo dedica a queste formule, appena 12 riga, mi accenna che partono dalle formule di prostaferesi e poi non mi dice come si dimostrano i passaggi per ricavarle! In merito mi fa fare appena tre esercizi e poi finisce il capitolo! Non so il perche' non gli da troppo valore, ma potreste aiutarmi a fare chiarezza su queste formule di Werner????? Come bisogna utilizzarle??
Vi ringrazio anticipatamente!
Il mio testo dedica a queste formule, appena 12 riga, mi accenna che partono dalle formule di prostaferesi e poi non mi dice come si dimostrano i passaggi per ricavarle! In merito mi fa fare appena tre esercizi e poi finisce il capitolo! Non so il perche' non gli da troppo valore, ma potreste aiutarmi a fare chiarezza su queste formule di Werner????? Come bisogna utilizzarle??
Vi ringrazio anticipatamente!
22) Non puoi dividere per 2: ad esempio, è sbagliato scrivere $2*3+2*5=3+5$. Puoi invece mettere in evidenza il 2, e nel tuo esercizio ottieni $2*(cos15°+cos255°)$; prosegui poi come hai fatto.
Formule di Werner) Possono essere ricavate dalle formule di prostaferesi, ma è più comodo ricavarle dalla dimostrazione che ne avevi dato; mi limito alla prima formula. Se ben ricordi, il calcolo era stato
$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=2sin alpha cos beta$
e, introducendo $p,q$, ne avevi dedotto la prima formula di prostaferesi. Se invece dividi per 2 e leggi al contrario ottieni
$sin alpha cos beta=1/2[sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)]$
che è la prima formula di Werner. In modo analogo dimostri le altre.
Capita raramente di usare queste formule e per questo il tuo libro non vi insiste; tre esercizi sono però veramente pochi.
Formule di Werner) Possono essere ricavate dalle formule di prostaferesi, ma è più comodo ricavarle dalla dimostrazione che ne avevi dato; mi limito alla prima formula. Se ben ricordi, il calcolo era stato
$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=2sin alpha cos beta$
e, introducendo $p,q$, ne avevi dedotto la prima formula di prostaferesi. Se invece dividi per 2 e leggi al contrario ottieni
$sin alpha cos beta=1/2[sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)]$
che è la prima formula di Werner. In modo analogo dimostri le altre.
Capita raramente di usare queste formule e per questo il tuo libro non vi insiste; tre esercizi sono però veramente pochi.
Infatti mi sembrano pochi! Comunque la tua spiegazione mi ha facilitato a comprendere come ricavarle, il mio testo accenna solo che esistono e quali sono, non mi dice l'artificio che mi hai detto per ricavarle!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
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