Formule goniometriche, Addizione-Sottrazione
Devo completare la seguente espressione:
$ sen ( 60^o + 45^o)=........ $
Utilizzo la formula di addizione:
$ sen ( 60^o + 45^o)= sen alpha cos beta + cos alpha sen beta $
E quella famosa tavola che mi sembra sia corretta......., dove ci sono tutti i valori dei seni, coseni, tangenti....
$ sen ( 60^o + 45^o)=........ $
Utilizzo la formula di addizione:
$ sen ( 60^o + 45^o)= sen alpha cos beta + cos alpha sen beta $
E quella famosa tavola che mi sembra sia corretta......., dove ci sono tutti i valori dei seni, coseni, tangenti....
Risposte
Io porterei tutto a $tg alpha$, ricordando che $cos 2alpha=(1-tg^2 alpha)/(1+tg^2 alpha)$ (formule parametriche) e che $sin^2alpha=(tg^2alpha)/(1+tg^2 alpha)$ (espressione del seno in funzione della tangente).
Trovo però pochissime semplificazioni ed è strano: sei sicuro di aver copiato bene l'esercizio?
Trovo però pochissime semplificazioni ed è strano: sei sicuro di aver copiato bene l'esercizio?
Si li ho copiati perfettamente!
Perche' cosa vuoi dire con poche semplificazioni? Dici che ce ne vorrebbero di più
Forse sto facendo un po di confusione, ma se il coseno parametrico è:
$cos alpha=cos(2*(alpha/2))=(1-tg^2 alpha)/(1+tg^2 alpha)$
E' lo stesso se ho $ cos 2 alpha $
$cos 2 alpha=cos(2*(alpha/2))=(1-tg^2 alpha)/(1+tg^2 alpha)$
Grazie mille!
Perche' cosa vuoi dire con poche semplificazioni? Dici che ce ne vorrebbero di più
Forse sto facendo un po di confusione, ma se il coseno parametrico è: $cos alpha=cos(2*(alpha/2))=(1-tg^2 alpha)/(1+tg^2 alpha)$
E' lo stesso se ho $ cos 2 alpha $
$cos 2 alpha=cos(2*(alpha/2))=(1-tg^2 alpha)/(1+tg^2 alpha)$
Grazie mille!
No, non è lo stesso: la tua prima formula va corretta in
$cos alpha=cos(2*alpha/2)=(1-tg^2 alpha/2)/(1+tg^2 alpha/2)$
Da questa, scrivendo $2alpha$ al posto di $alpha$ e notando che $(2alpha)/2=alpha$, ottieni la seconda, che va corretta in
$cos 2 alpha=cos(2*(2alpha)/2)=(1-tg^2alpha)/(1+tg^2alpha)$
Parlando di poche semplificazioni, intendo che viene un risultato piuttosto lungo; di solito gli esercizi sono fatti in modo da avere un risultato breve.
$cos alpha=cos(2*alpha/2)=(1-tg^2 alpha/2)/(1+tg^2 alpha/2)$
Da questa, scrivendo $2alpha$ al posto di $alpha$ e notando che $(2alpha)/2=alpha$, ottieni la seconda, che va corretta in
$cos 2 alpha=cos(2*(2alpha)/2)=(1-tg^2alpha)/(1+tg^2alpha)$
Parlando di poche semplificazioni, intendo che viene un risultato piuttosto lungo; di solito gli esercizi sono fatti in modo da avere un risultato breve.
"giammaria":
Parlando di poche semplificazioni, intendo che viene un risultato piuttosto lungo; di solito gli esercizi sono fatti in modo da avere un risultato breve.
Ma secondo me ci sta anche quì un errore di stampa
Per favore puoi postare anche il risultato del tuo libro, se c'è?
"chiaraotta":
Per favore puoi postare anche il risultato del tuo libro, se c'è?
Ok, ecco quì, $ S = 1 $
"Bad90":
Esercizio 8
$ (1+tg alpha)^2 *(cos 2alpha)/(1+sen^2alpha)+tg^2 alpha $
...
Se l'espressione è
$(1+tg alpha)^2 *(cos 2alpha)/(1+sen2alpha)+tg^2 alpha $,
allora
$ (1+tg alpha)^2 *(cos 2alpha)/(1+sen2alpha)+tg^2 alpha =$
$ (1+(sen alpha)/(cos alpha))^2 *(cos^2 alpha - sen^2 alpha)/(1+2sen alpha cos alpha)+(sen^2 alpha)/(cos^2 alpha)=$
$ (cos alpha+ sen alpha)^2/(cos^2 alpha) *(cos^2 alpha - sen^2 alpha)/(1+2sen alpha cos alpha)+(sen^2 alpha)/(cos^2 alpha)=$
$ (cos ^2 alpha+ sen ^2alpha+2 sen alpha cos alpha)/(cos^2 alpha) *(cos^2 alpha - sen^2 alpha)/(1+2sen alpha cos alpha)+(sen^2 alpha)/(cos^2 alpha)=$
$ (1+2 sen alpha cos alpha)/(cos^2 alpha) *(cos^2 alpha - sen^2 alpha)/(1+2sen alpha cos alpha)+(sen^2 alpha)/(cos^2 alpha)=$
$ (cos^2 alpha - sen^2 alpha)/(cos^2 alpha)+(sen^2 alpha)/(cos^2 alpha)=$
$ (cos^2 alpha - sen^2 alpha+sen^2 alpha)/(cos^2 alpha)=1$
Grazie mille 
Esercizio 9
Applicando le formule di bisezione, calcola il valore della seguente funzione:
$ tg 195^o $
Vorrei capire in primis lo scopo delle formule di bisezione....
Mi sembra di aver compreso che si tratta di avere un determinato angolo e lo si deve dividere per 2, giusto? Comunque ancora non mi spiego il perche' di questo artificio del dividere per 2, l'unica cosa che mi viene in mente e che puo' essere una semplificazione nei calcoli che potrebbero essere molto lunghi, giusto?
Correggetemi se sbaglio...
Adesso che ho un angolo di $ 195^o $ associando so che $ 195^o = (180^o + 15^o) $ e che in questo caso
$ tg(180^o + alpha) = tg alpha $
detto questo allora posso considerare l'angolo $ 15^o $ , e allora:
$ tg 15^o = (30^o)/2 $
Detto questo come conviene continuare?
Applicando le formule di bisezione, calcola il valore della seguente funzione:
$ tg 195^o $
Vorrei capire in primis lo scopo delle formule di bisezione....
Mi sembra di aver compreso che si tratta di avere un determinato angolo e lo si deve dividere per 2, giusto? Comunque ancora non mi spiego il perche' di questo artificio del dividere per 2, l'unica cosa che mi viene in mente e che puo' essere una semplificazione nei calcoli che potrebbero essere molto lunghi, giusto?
Correggetemi se sbaglio...
Adesso che ho un angolo di $ 195^o $ associando so che $ 195^o = (180^o + 15^o) $ e che in questo caso
$ tg(180^o + alpha) = tg alpha $
detto questo allora posso considerare l'angolo $ 15^o $ , e allora:
$ tg 15^o = (30^o)/2 $
Detto questo come conviene continuare?
"Bad90":
Esercizio 9
.....
$ tg 15^o = (30^o)/2 $
....
No:
$ tg 15^o = tg((30^o)/2) $....
Le formule di bisezione danno i valori delle funzioni trigonometriche di metà di angolo, conoscendo quelle dell'angolo intero.
Per la tangente ce n'è più di una:
$tan (alpha/2)=+-sqrt((1-cos alpha)/(1+cos alpha))=(sin alpha)/(1+ cos alpha)=(1-cos alpha)/(sin alpha)$.
Quindi
$tan 15° = tan((30°)/2)=(sin 30°)/(1+cos 30°)=(1/2)/(1+sqrt(3)/2)=1/(2+sqrt(3))=$
$1/(2+sqrt(3))*(2-sqrt(3))/(2-sqrt(3))=2-sqrt(3)$.
"chiaraotta":
$tan (alpha/2)=+-sqrt((1-cos alpha)/(1+cos alpha))=(sin alpha)/(1+ cos alpha)=(1-cos alpha)/(sin alpha)$.
Scusatemi ma fino a questo ho compreso:
$ tan (alpha/2)=+-sqrt((1-cos alpha)/(1+cos alpha)) $
ma poi come hai fatto a togliere la radice al secondo membro?
$ tan (alpha/2)=(1-cos alpha)/(1+cos alpha) $
Se elevi al quadrato primo e secondo membro, il primo membro dovrebbe essere $ tan^2 (alpha/2) $
Infatti le altre varianti delle formule di bisezione della tangente, oltre a $tan (alpha/2)=+-sqrt((1-cos alpha)/(1+cos alpha))$, non si ottengono affatto elevando quella al quadrato.
Si possono dimostrare, partendo dalle parametriche, in questo modo ($t=tan(alpha/2)^^ alpha !=pi+2k pi$):
$cos alpha = (1-t^2)/(1+t^2)$,
perciò
$1+cos alpha=1+(1-t^2)/(1+t^2)=(1+t^2+1-t^2)/(1+t^2)=2/(1+t^2)$;
$sin alpha = 2t/(1+t^2)$.
Per cui, dividendo membro a membro, si ottiene
$sin alpha/(1+cos alpha)=(2t/(1+t^2))/(2/(1+t^2))=t=tan(alpha/2)$.
L'altra variante si ottiene in maniera simile.
Si possono dimostrare, partendo dalle parametriche, in questo modo ($t=tan(alpha/2)^^ alpha !=pi+2k pi$):
$cos alpha = (1-t^2)/(1+t^2)$,
perciò
$1+cos alpha=1+(1-t^2)/(1+t^2)=(1+t^2+1-t^2)/(1+t^2)=2/(1+t^2)$;
$sin alpha = 2t/(1+t^2)$.
Per cui, dividendo membro a membro, si ottiene
$sin alpha/(1+cos alpha)=(2t/(1+t^2))/(2/(1+t^2))=t=tan(alpha/2)$.
L'altra variante si ottiene in maniera simile.
E questa come si può risolvere?
$ tg 22^o , 30' $
Ho pensato di iniziare così:
$ tg 22^o , 30' = (sen22^o , 30')/(cos22^o , 30') $
Infatti sono riuscito ad arrivare al risultato
$ tg 22^o , 30' $
Ho pensato di iniziare così:
$ tg 22^o , 30' = (sen22^o , 30')/(cos22^o , 30') $
Infatti sono riuscito ad arrivare al risultato
"Bad90":
E questa come si può risolvere?
$ tg 22^o , 30' $
...
Esattamente come l'altra, usando le formule di bisezione per la tangente: $22°\ 30'=(45°)/2$.
Per cui
$tan(22°\ 30')=tan((45°)/2)=(sin (45°))/(1+cos(45°))=$
$(sqrt(2)/2)/(1+sqrt(2)/2)=(sqrt(2))/(2+sqrt(2))=1/(sqrt(2)+1)=sqrt(2)-1$.
"chiaraotta":
Esattamente come l'altra, usando le formule di bisezione per la tangente: $22°\ 30'=(45°)/2$.
Ok! Perchè $ 22^o,30' *2 = 44^o,60' = 45^o $
L'ultima formula va corretta cancellando la scritta $tg$ a primo membro oppure aggiungendola al secondo.
Quando si parla di formule di bisezione di solito si pensa solo a seno e coseno; in realtà ne esiste una anche per la tangente (ed è più facile delle precedenti) ma è raro che i libri la riportino. Uso quindi solo le prime due; lascio a te l'esercizio in questione, in cui puoi seguire il mio esempio. Calcolo la tangente di $22.5°=(45°)/2$.
$sin^2 22.5°=(1-cos45°)/2=(1-sqrt2/2)/2=(2-sqrt2)/4$
$cos^2 22.5°=(1+cos45°)/2=(1+sqrt2/2)/2=(2+sqrt2)/4$
$tg^2 22.5°=(sin^2 22.5°)/(cos^2 22.5°)=(2-sqrt2)/4*4/(2+sqrt2)=(2-sqrt2)/(2+sqrt2)*(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(2-sqrt2)^2/(4-2)=(2-sqrt2)^2/2$
Estraggo ora la radice, col più perché siamo nel primo quadrante; non metto valori assoluti perché $2-sqrt2$ è positivo:
$tg 22.5°=(2-sqrt2)/(sqrt2)*(sqrt2)/(sqrt2)=(2sqrt2-2)/2=sqrt2-1$
Controllo il risultato sulla solita tabella che riporta seno, coseno e tangente degli angoli speciali.
Quando si parla di formule di bisezione di solito si pensa solo a seno e coseno; in realtà ne esiste una anche per la tangente (ed è più facile delle precedenti) ma è raro che i libri la riportino. Uso quindi solo le prime due; lascio a te l'esercizio in questione, in cui puoi seguire il mio esempio. Calcolo la tangente di $22.5°=(45°)/2$.
$sin^2 22.5°=(1-cos45°)/2=(1-sqrt2/2)/2=(2-sqrt2)/4$
$cos^2 22.5°=(1+cos45°)/2=(1+sqrt2/2)/2=(2+sqrt2)/4$
$tg^2 22.5°=(sin^2 22.5°)/(cos^2 22.5°)=(2-sqrt2)/4*4/(2+sqrt2)=(2-sqrt2)/(2+sqrt2)*(2-sqrt2)/(2-sqrt2)=(2-sqrt2)^2/(4-2)=(2-sqrt2)^2/2$
Estraggo ora la radice, col più perché siamo nel primo quadrante; non metto valori assoluti perché $2-sqrt2$ è positivo:
$tg 22.5°=(2-sqrt2)/(sqrt2)*(sqrt2)/(sqrt2)=(2sqrt2-2)/2=sqrt2-1$
Controllo il risultato sulla solita tabella che riporta seno, coseno e tangente degli angoli speciali.
Ok!
Sto continuando a risolvere questi esercizi tipo $ tg 67^o 30' $ , ho utilizzato la famosa tavola dove sono rappresentati tutti i valori del seno, coseno e tangente, insomma ho fatto in questo modo:
$ tg 67^o 30'= (sqrt(2+sqrt(2))/2)/(sqrt(2-sqrt(2))/2) $
Sono arrivato alla conclusione, ok, ma non capisco la grande utilita di questi esercizi, in quanto non penso sia richiesto di imparare per forza a memoria tutti i valori inenerenti ......., mi sembra una cosa assurda che bisogna imparare a memoria tutti quei valori!
Secondo voi, qual'è lo scopo di questi esercizi
A me sembrano banalmente facili,
$ tg 67^o 30'= (sqrt(2+sqrt(2))/2)/(sqrt(2-sqrt(2))/2) $
Sono arrivato alla conclusione, ok, ma non capisco la grande utilita di questi esercizi, in quanto non penso sia richiesto di imparare per forza a memoria tutti i valori inenerenti ......., mi sembra una cosa assurda che bisogna imparare a memoria tutti quei valori!
Secondo voi, qual'è lo scopo di questi esercizi
A me sembrano banalmente facili,
Non sto ricordando bene alcuni concetti sugli angoli associati....
Se mi viene detto che l'angolo è $ 90^o < alpha < 180^o $ , come posso esprimerlo
Cioè, posso esprimerlo come $ ....(90^o + alpha) $ oppure $ ....(180^o - alpha) $
Mi trovo con questo dubbio, perchè sto risolvendo esercizi tipo il seguente:
Sapendo che $ sen alpha = 1/4 $ e che $ 90^o < alpha < 180^o $ , calcolare $ sen ((alpha)/2) $ , $ cos ((alpha)/2)$ e $ tg ((alpha)/2) $
Con questo $ 90^o < alpha < 180^o $ so di essere nel secondo quadrante, ok, ma come si esprime, $ ....(90^o + alpha) $ o $ ....(180^o - alpha) $
La cosa che mi viene in mente è proprio di dire che se sono nel secondo quadrante, allora il coseno è negativo, il seno è positivo e la tangente è negativa, tutto quì!
Secondo me non si può esprimere questo esercizio con gli angoli associati!
Ho dedotto bene
Se mi viene detto che l'angolo è $ 90^o < alpha < 180^o $ , come posso esprimerlo
Cioè, posso esprimerlo come $ ....(90^o + alpha) $ oppure $ ....(180^o - alpha) $
Mi trovo con questo dubbio, perchè sto risolvendo esercizi tipo il seguente:
Sapendo che $ sen alpha = 1/4 $ e che $ 90^o < alpha < 180^o $ , calcolare $ sen ((alpha)/2) $ , $ cos ((alpha)/2)$ e $ tg ((alpha)/2) $
Con questo $ 90^o < alpha < 180^o $ so di essere nel secondo quadrante, ok, ma come si esprime, $ ....(90^o + alpha) $ o $ ....(180^o - alpha) $
La cosa che mi viene in mente è proprio di dire che se sono nel secondo quadrante, allora il coseno è negativo, il seno è positivo e la tangente è negativa, tutto quì!
Secondo me non si può esprimere questo esercizio con gli angoli associati!
Ho dedotto bene
Penultimo post) Ricordare a memoria tutti i valori della tabella è senz'altro difficile e lo scopo di questi esercizi è metterti in grado di ricavarli da solo e contemporaneamente familiarizzarti con le formule di bisezione. Il tuo esercizio è tutt'altro che finito, in quanto devi ancora eliminare la frazione doppia e razionalizzare il denominatore: il risultato finale è $sqrt2+1$ e per ottenerlo puoi ispirarti a quello che ho scritto nel mio ultimo post.
Ultimo post) Gli angoli associati non c'entrano e comunque $alpha$ può essere scritto solo come $alpha$; al massimo puoi dire che $alpha=90°+beta=180°-gamma$ ma non serve a niente. Il dato viene fornito perché nelle formule di bisezione c'è $+-sqrt(...)$: devi chiederti in che quadrante sta $alpha/2$ ed in conseguenza scegliere il segno giusto.
Ultimo post) Gli angoli associati non c'entrano e comunque $alpha$ può essere scritto solo come $alpha$; al massimo puoi dire che $alpha=90°+beta=180°-gamma$ ma non serve a niente. Il dato viene fornito perché nelle formule di bisezione c'è $+-sqrt(...)$: devi chiederti in che quadrante sta $alpha/2$ ed in conseguenza scegliere il segno giusto.
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