Formule goniometriche, Addizione-Sottrazione

[Bad90]

Devo completare la seguente espressione:

$ sen ( 60^o + 45^o)=........ $

Utilizzo la formula di addizione:

$ sen ( 60^o + 45^o)= sen alpha cos beta + cos alpha sen beta $

E quella famosa tavola che mi sembra sia corretta......., dove ci sono tutti i valori dei seni, coseni, tangenti....

[Zero87]

... quindi?

(cioè, ci sei, vai avanti )

[Bad90]

"Zero87":... quindi?

(cioè, ci sei, vai avanti )

Si, si sto procedendo!

[Bad90]

Ma quando ho $ cos (45^o - alpha) $ , sono nel quarto quadrante, vero

[Bad90]

Esercizio 1

Sapendo che $ sen alpha = -24/25 $ e che $ 180^o < alpha <270^o $ calcola:

$ tan (60^o + alpha) $

So di essere nel terzo quadrante, quindi la $ tan alpha $ sarà positiva! Si deve calcolare $ cos alpha $ e $ tan alpha $ Ma in questo caso essendo nel terzo quadrante, il $ cos alpha $ è negativo!

Quindi ricavando il coseno avrò $ cos alpha = -7/25 $
Adesso posso calcolarmi la tangente e quindi posso utilizzare la seguente:

$ tan alpha = (sen alpha) / ( cos alpha) $

Quindi

$ tan alpha = (-24/25) / ( -7/25) = 24/7 $

Adesso posso utilizzare la seguente per arrivare alla conclusione:

$ tan (60^o + alpha) = (tan alpha + tan 60^o)/(1 - tan alpha *tan 60^o) $

Correggetemi se sbaglio, non ho i risultati del testo

$ tan (60^o + alpha) = ((24/7) + (sqrt(3)))/(1 - (24/7) * (sqrt(3))) $

Non so se è corretto, ma sono arrivato al seguente risultato:

$ tan (60^o + alpha) = (24+7(sqrt(3)))/(7- 24(sqrt(3))) $

Dite che è giusto

[Bad90]

Esercizio 2

Ho risolto un esercizio simile al precedente, solo che mi da come valore conosciuto $ sen alpha = 12/13 $ e poi mi chiede di calcolare $ sen (45^o + alpha) $ .

Ho fatto tutti i calcoli che dovevo fare e sono arrivato alla conclusione che:

$ sen (45^o + alpha) = (sqrt(2)(12+5))/26$

Ma perchè il testo mi segna che il risultato corretto è:

$ sen (45^o + alpha) = (sqrt(2)(12+-5))/26$



perchè quel $ +- $ al numeratore

[giammaria2]

1) Giusto ma incompleto: razionalizza il denominatore.

2) Hai fatto i calcoli nel primo quadrante, ma potevi anche essere nel secondo: il seno non cambia ma il coseno è negativo.

[Bad90]

"giammaria":1) Giusto ma incompleto: razionalizza il denominatore.

Ok, provo a razionalizzare correttamente!

$ tan (60^o + alpha) = (24+7(sqrt(3)))/(7- 24(sqrt(3))) $

$ tan (60^o + alpha) = (24+7(sqrt(3)))/(7- 24(sqrt(3)))*(sqrt(3))/(sqrt(3)) $

$ tan (60^o + alpha) = (24sqrt(3)+21)/(7sqrt(3)-72)$

E poi,
Se continuo a moltiplicare per $ sqrt(3) $ finisco sempre allo stesso punto

[giammaria2]

La tua razionalizzazione andrebbe bene se a denominatore ci fosse un prodotto, mentre c'è una somma. La frazione per cui devi moltiplicare ha numeratore e denominatore uguali a $7+24 sqrt 3$

[Bad90]

"giammaria":La tua razionalizzazione andrebbe bene se a denominatore ci fosse un prodotto, mentre c'è una somma. La frazione per cui devi moltiplicare ha numeratore e denominatore uguali a $7+24 sqrt 3$

Ma perchè Si fa in quel modo perchè $7+24 sqrt 3$ ha il segno diverso da $7-24 sqrt 3$ Giusto

[Zero87]

"Bad90":Ma perchè Si fa in quel modo perchè $7+24 sqrt 3$ ha il segno diverso da $7-24 sqrt 3$ Giusto

Semplicemente perché sfrutti il prodotto notevole
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$,
in questo modo togli tutte le eventuali radici e, al denominatore, resta un numero intero (come richiede la razionalizzazione).

In questo modo, se intendi $7-24\sqrt(3)$ come l'$a-b$, moltiplicarlo per $7+24\sqrt(3)$ ti darà proprio
$(7-24\sqrt(3))(7+24\sqrt(3))=49-576\cdot 3=-1679$ e hai razionalizzato.

[Bad90]

E' cosi semplice la risposta e io non ho ricordato subito questo concetto
Ti ringrazio

[Bad90]

"giammaria":
2) Hai fatto i calcoli nel primo quadrante, ma potevi anche essere nel secondo: il seno non cambia ma il coseno è negativo.

Adesso capisco il perchè di quel $ +- $

Ti ringrazio

[Bad90]

Esercizio 3

Starò sbagliando qualche passaggio nel seguente esercizio, perchè non sto riuscendo ad arrivare al risultato....

$ sen ( 45^o - alpha) - cos (45^o - alpha) $

Ho fatto così:

$ sen ( 45^o - alpha) - cos (45^o - alpha) = sen 45^o cos alpha-cos45^o sen alpha - cos45^o cos alpha-sen45^o sen alpha $

Mi viene spontaneo dire che la soluzione è.

$ sen ( 45^o - alpha) - cos (45^o - alpha) = 0 $

Mentre il testo mi dice che la soluzione è $ -sqrt(2) sen alpha $

[giammaria2]

Giusto il primo passaggio; poi

$=sqrt2/2cos alpha-sqrt2/2sin alpha-sqrt2/2cos alpha-sqrt2/2sin alpha=-sqrt2sin alpha$

[Bad90]

"giammaria":Giusto il primo passaggio; poi

$=sqrt2/2cos alpha-sqrt2/2sin alpha-sqrt2/2cos alpha-sqrt2/2sin alpha=-sqrt2sin alpha$

Non mi ero accorto di questo banale passaggio!

[Bad90]

Esercizio 4

$ sen(alpha + beta) * sen (alpha - beta) $

Allora:

$ sen(alpha + beta) * sen (alpha - beta)=(sen alpha cos beta + cos alpha sen beta)*(sen alpha cos beta - cos alpha sen beta)$

$=(sen^2 alpha cos^2 beta - (sen alpha cos beta * cos alpha sen beta)+(cos alpha sen beta)*(sen alpha cos beta)-(cos^2 alpha sen^2 beta)$

$=(sen^2 alpha cos^2 beta -cos^2 alpha sen^2 beta)$

Non sto capendo come arrivare alla soluzione finale che mi da il testo:

$ sen^2 alpha - sen^2 beta $

[giammaria2]

Togli i coseni con la formula $cos^2x=1-sin^2x$.
Potevi saltare la seconda riga di calcoli col prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

[Bad90]

Fatto!

[Bad90]

Esercizio 5

$ (sen^2(alpha+45^o)-sen^2(alpha-45^o))/(sen alpha*cos alpha) $

Ho provato ad iniziare in questo modo:

$ (sen^2(alpha+45^o))/(sen alpha*cos alpha) -(sen^2(alpha-45^o))/(sen alpha*cos alpha)$

Ma anche in questo caso centra il prodotto notevole al numeratore

[giammaria2]

Il tuo inizio non porta da nessuna parte: come continui? Usa invece le formule di somma a numeratore e fai i calcoli. Se vuoi, puoi scomporre prima col prodotto notevole ma la lunghezza cambia poco.