Formule goniometriche, Addizione-Sottrazione
Devo completare la seguente espressione:
$ sen ( 60^o + 45^o)=........ $
Utilizzo la formula di addizione:
$ sen ( 60^o + 45^o)= sen alpha cos beta + cos alpha sen beta $
E quella famosa tavola che mi sembra sia corretta......., dove ci sono tutti i valori dei seni, coseni, tangenti....
$ sen ( 60^o + 45^o)=........ $
Utilizzo la formula di addizione:
$ sen ( 60^o + 45^o)= sen alpha cos beta + cos alpha sen beta $
E quella famosa tavola che mi sembra sia corretta......., dove ci sono tutti i valori dei seni, coseni, tangenti....
Risposte
"giammaria":
Penultimo post) Ricordare a memoria tutti i valori della tabella è senz'altro difficile e lo scopo di questi esercizi è metterti in grado di ricavarli da solo e contemporaneamente familiarizzarti con le formule di bisezione. Il tuo esercizio è tutt'altro che finito, in quanto devi ancora eliminare la frazione doppia e razionalizzare il denominatore: il risultato finale è $sqrt2+1$ e per ottenerlo puoi ispirarti a quello che ho scritto nel mio ultimo post.
Si, anche io sono arrivato alla conclusione $sqrt2+1$, quella che ho scritto e solo l'inizio!
"giammaria":
Ultimo post) Gli angoli associati non c'entrano e comunque $alpha$ può essere scritto solo come $alpha$; al massimo puoi dire che $alpha=90°+beta=180°-gamma$ ma non serve a niente. Il dato viene fornito perché nelle formule di bisezione c'è $+-sqrt(...)$: devi chiederti in che quadrante sta $alpha/2$ ed in conseguenza scegliere il segno giusto.
Avevo dedotto che gli angoli associati non centrano nulla, ma non ne ero sicuro
Adesso ho le idee chiare.
Ritornando sul seguente:
Sapendo che $ sen alpha = 1/4 $ e che $ 90^o < alpha < 180^o $ , calcolare $ sen ((alpha)/2) $ , $ cos ((alpha)/2)$ e $ tg ((alpha)/2) $
Adesso provo a risolverlo! Solo che non sto capendo come risolvere il caso del $ sen ((alpha)/2) $
Insomma, in un esercizio guidato, che è molto simile, mi viene fatto l'esempio partendo dall'equazione seguente:
$ cos alpha = - 1/(sqrt(1+tg^2 alpha)) $
So benissimo da dove deriva, ma perchè parte da quella
Sapendo che $ sen alpha = 1/4 $ e che $ 90^o < alpha < 180^o $ , calcolare $ sen ((alpha)/2) $ , $ cos ((alpha)/2)$ e $ tg ((alpha)/2) $
Adesso provo a risolverlo! Solo che non sto capendo come risolvere il caso del $ sen ((alpha)/2) $
Insomma, in un esercizio guidato, che è molto simile, mi viene fatto l'esempio partendo dall'equazione seguente:
$ cos alpha = - 1/(sqrt(1+tg^2 alpha)) $
So benissimo da dove deriva, ma perchè parte da quella
Evidentemente in quell'esercizio guidato conoscevi la tangente e partivi da quello, che è il dato noto. Qui conosci il seno, quindi la formula da usare è ...
"giammaria":
Evidentemente in quell'esercizio guidato conoscevi la tangente e partivi da quello, che è il dato noto. Qui conosci il seno, quindi la formula da usare è ...
Deve essere quella del coseno e allora sarà:
$ cos alpha = +-sqrt(1-sen^2 alpha) $
Giusto
Ed essendo nel secondo quadrante, sarà:
$ cos alpha = -sqrt(1-sen^2 alpha) $
Allora vuol dire che quando andrò a risolvere $ sen ((alpha) /2) $ e $ cos ((alpha) /2) $ e $ tg ((alpha) /2) $ devo utilizzare il seguente valore $ cos alpha = - sqrt(15)/4 $
Infatti ho impostato la seguente:
$ sen ((alpha) /2) = sqrt((1-((-sqrt(15))/4))/2)$
Solo che poi arrivo al seguente punto e mi impallo:
$ sen ((alpha) /2) = sqrt((4+sqrt(15))/8)$
Come devo continuare
Come prima cosa moltiplico numeratore e denominatore per 2, così posso estrarre facilmente la radice del denominatore. Poi
$=sqrt((8+2sqrt15)/16)=(sqrt(5+3+2sqrt(5*3)))/4=(sqrt((sqrt5+sqrt3)^2))/4=(sqrt5+sqrt3)/4$
$=sqrt((8+2sqrt15)/16)=(sqrt(5+3+2sqrt(5*3)))/4=(sqrt((sqrt5+sqrt3)^2))/4=(sqrt5+sqrt3)/4$
"giammaria":
Come prima cosa moltiplico numeratore e denominatore per 2, così posso estrarre facilmente la radice del denominatore. Poi
$=sqrt((8+2sqrt15)/16)=(sqrt(5+3+2sqrt(5*3)))/4=(sqrt((sqrt5+sqrt3)^2))/4=(sqrt5+sqrt3)/4$
Ma è la prima volta che mi capita un caso di radiceli tipo questo!
Insomma, grazie a te ho capito come si fa ad ottenere il risultato, ok, ma non pensi che sarebbe stato il caso che queste procedure risolutive, il mio testo avrebbe dovuto farmeli eseguire quando ho fatto i radicali
Cosa ne dici
Non riesco a concepire perchè i miei testi delle volte trascurano delle cose che a mio parere sono importanti
Quando si studiano i radicali si esaminano anche radici di questo tipo; il tuo libro dà per scontato che tu le ricordi. Non capita spesso di incontrarle e per questo non si insiste molto sull'argomento, da cui la tua dimenticanza. Non sempre è possibile fare un calcolo del genere (ad esempio non lo è per $sqrt(2+sqrt2)$); nei casi in cui lo è di solito si procede "ad occhio", come ho fatto io. C'è anche una formula apposita ma sono molti i matematici che non la ricordano e la ritengono poco utile.
"giammaria":
Non sempre è possibile fare un calcolo del genere (ad esempio non lo è per $sqrt(2+sqrt2)$); nei casi in cui lo è di solito si procede "ad occhio", come ho fatto io. C'è anche una formula apposita ma sono molti i matematici che non la ricordano e la ritengono poco utile.
Scusami, ma perche' non si puo' fare per il caso che hai detto?
Forse perche' si avra' un quattro e un radical due, ed il quattro non si potra' ripartirlo per creare un quadrato di binomio?
Esercizio 10
Come conviene risolvere il seguente esercizio
$ 2*tg ((alpha)/2) * cos^2 (alpha)/2 + 2 tg alpha sen^2 (alpha)/2 $
Ho iniziato in questo modo:
$ 2*tg ((alpha)/2) * ((1+cos alpha)/2)+ 2 tg alpha ((1-cos alpha)/2) $
$ tg ((alpha)/2) * (1+cos alpha)+ tg alpha (1-cos alpha)$
Ma dopo cosa mi conviene fare
Anche in altri esercizi in cui compare la $ tg ((alpha)/2) $ , sto trovando problemi!
Come conviene risolvere il seguente esercizio
$ 2*tg ((alpha)/2) * cos^2 (alpha)/2 + 2 tg alpha sen^2 (alpha)/2 $
Ho iniziato in questo modo:
$ 2*tg ((alpha)/2) * ((1+cos alpha)/2)+ 2 tg alpha ((1-cos alpha)/2) $
$ tg ((alpha)/2) * (1+cos alpha)+ tg alpha (1-cos alpha)$
Ma dopo cosa mi conviene fare
Anche in altri esercizi in cui compare la $ tg ((alpha)/2) $ , sto trovando problemi!
Esercizio 11
Anche in questo sto trovando problemi:
$ 2* tg alpha * sen^2 ((alpha)/2) + 2 tg ((alpha)/2) cos^2((alpha)/2) $
In questo esercizio, ho fatto delle varie prove, ma nulla Ecco una delle prove che mi ha portato più vicino al risultato....
Sapendo che $ tg ((alpha)/2) = +- (sqrt(1-cos alpha)/(1+cos alpha)) $
Allora cerco di eliminare quei radicali in questo modo:
$ tg ((alpha)/2) = +- sqrt(1-cos alpha)/sqrt(1+cos alpha) $
Ma poi
Anche in questo sto trovando problemi:
$ 2* tg alpha * sen^2 ((alpha)/2) + 2 tg ((alpha)/2) cos^2((alpha)/2) $
In questo esercizio, ho fatto delle varie prove, ma nulla
Ecco una delle prove che mi ha portato più vicino al risultato.... Sapendo che $ tg ((alpha)/2) = +- (sqrt(1-cos alpha)/(1+cos alpha)) $
Allora cerco di eliminare quei radicali in questo modo:
$ tg ((alpha)/2) = +- sqrt(1-cos alpha)/sqrt(1+cos alpha) $
Ma poi
"Bad90":
Scusami, ma perche' non si puo' fare per il caso che hai detto?
Prova a farlo e ti accorgerai che non ci riesci. Ti do la regola anche se forse non ti conviene studiarla: in presenza di $sqrt(a+ksqrt b)$ (al posto del + può esserci il -), si riesce a spezzare il radicale in altri più facili se e solo se $a^2-(k sqrt b)^2$ è il quadrato di un numero intero.
I tuoi esercizi 10 e 11 sono identici perché ha solo scambiato l'ordine degli addendi; faccio i calcoli sul 10. Il metodo standard, che quasi sempre funziona, è scrivere tutto in funzione di $t=tg \frac alpha 2$, usando le parametriche e l'espressione di seno e coseno in funzione della tangente. Se opti per questo metodo, allora
$=2t*1/(1+t^2)+2*(2t)/(1-t^2)*(t^2)/(1+t^2)=...$
L'inconveniente è che spesso i calcoli sono piuttosto lunghi (non in questo caso) ed eccone un altro:
$=2(sen alpha/2)/(c os alpha/2)*c os^2 alpha/2+2*(sen alpha)/(cos alpha)*(1-cos alpha)/2=$
$=2 sen alpha/2co s alpha/2+(sen alpha(1-cos alpha))/(cos alpha)=$
$=sen alpha+(sen alpha(1-cos alpha))/(cos alpha)=sen alpha(1+(1-cos alpha)/(cos alpha))=...$
Ho fatto altri esercizi tipo il 10 e 11, li ho risolti senza utilizzare le parametriche, come nel secondo esempio che mi hai fatto vedere, sono riuscito a risolverli tranquillamente grazie ai tuoi consigli!
Esercizio 12
$ cos^2 ((alpha - beta)/2) - sen^2 ((alpha + beta)/2) - cos alpha * cos beta $
Come conviene risolvere esercizi tipo questo? Se non ho compreso male, si tratta di utilizzare le formule di prostaferesi
Poi non concepisco il nome Prostaferesi, da dove deriva questo nome
Non sto riuscendo a a risolverlo
$ cos^2 ((alpha - beta)/2) - sen^2 ((alpha + beta)/2) - cos alpha * cos beta $
Come conviene risolvere esercizi tipo questo? Se non ho compreso male, si tratta di utilizzare le formule di prostaferesi
Poi non concepisco il nome Prostaferesi, da dove deriva questo nome
Non sto riuscendo a a risolverlo
Usa prima le formule di bisezione e poi quelle di somma e sottrazione; si può usare anche la prostaferesi (dopo la bisezione) ma non si guadagna molto.
La parola prostaferesi è stata ottenuta contraendo le due parole greche che significano somma e sottrazione.
La parola prostaferesi è stata ottenuta contraendo le due parole greche che significano somma e sottrazione.
"giammaria":
Usa prima le formule di bisezione e poi quelle di somma e sottrazione; si può usare anche la prostaferesi (dopo la bisezione) ma non si guadagna molto.
La parola prostaferesi è stata ottenuta contraendo le due parole greche che significano somma e sottrazione.
Prostaferesi
Ok, adesso concepisco questo Prostaferesi
Adesso risolvo la traccia
Ma se inizio con le formule di bisezione, come imposto l'inizio
Mi spiego, se ho:
$ cos^2 ((alpha - beta)/2) - sen^2 ((alpha + beta)/2) - cos alpha * cos beta $
Questo: $ cos^2 ((alpha - beta)/2) $ come si applica la bisezione
Posso dire che $ (alpha - beta) = gamma $ E allora dirò che $ ((alpha - beta)/2) = (gamma/2) $ Mi sa che devo trattarlo come unico blocco $ (alpha - beta)/2 $
Adesso riprovo!
Sono riuscito ad arrivare a questa:
$ (2 cos ((alpha)/2) cos ((beta)/2) -2cos alpha cos beta)/2 $
E poi
Faccio questo: $ cos ((alpha)/2) cos ((beta)/2) - cos alpha cos beta$
E ..........
L'inizio era giusto, ma poi non capisco cos'hai combinato. Svolgo i calcoli per il solo primo addendo.
$cos^2 frac(alpha-beta) 2=(1+cos(alpha-beta))/2=(1+cos alpha cos beta+sin alpha sin beta)/2$
$cos^2 frac(alpha-beta) 2=(1+cos(alpha-beta))/2=(1+cos alpha cos beta+sin alpha sin beta)/2$
"giammaria":
L'inizio era giusto, ma poi non capisco cos'hai combinato. Svolgo i calcoli per il solo primo addendo.
$cos^2 frac(alpha-beta) 2=(1+cos(alpha-beta))/2=(1+cos alpha cos beta+sin alpha sin beta)/2$
Adesso ho capito, mi ha ingannato quel $ (alpha-beta)/2 $
Sono riuscito a risolverlo
Esercizio 13
Ho risolto la seguente espressione, utilizzando le parametriche:
$ sqrt(3) sen alpha + cos alpha -1 $
Io sono arrivato alla seguente conclusione:
$ 2t (sqrt(3)-t)/(1+t^2) $ mentre il testo mi dice che deve essere così $ 2t (sqrt(3)-t)/(1-t^2) $ , ma dite che è un errore di stampa
Ho risolto la seguente espressione, utilizzando le parametriche:
$ sqrt(3) sen alpha + cos alpha -1 $
Io sono arrivato alla seguente conclusione:
$ 2t (sqrt(3)-t)/(1+t^2) $ mentre il testo mi dice che deve essere così $ 2t (sqrt(3)-t)/(1-t^2) $ , ma dite che è un errore di stampa
Esercizio 14
Anche per il seguente io mi trovo un risultato mentre il testo mi da il suo risultato con segno diverso:
$ (sen alpha + 2cos alpha - 2) * tg alpha $
Io arrivo al seguente risultato $ (4t^2(1+2t))/(1-t^4) $ mentre il testo mi da il risultato che segue $ (4t^2(1-2t))/(1-t^4) $
Ho sbagliato io o il testo
Anche per il seguente io mi trovo un risultato mentre il testo mi da il suo risultato con segno diverso:
$ (sen alpha + 2cos alpha - 2) * tg alpha $
Io arrivo al seguente risultato $ (4t^2(1+2t))/(1-t^4) $ mentre il testo mi da il risultato che segue $ (4t^2(1-2t))/(1-t^4) $
Ho sbagliato io o il testo
Nel 13 hai ragione tu; nel 14 invece ha ragione il libro.
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