Formule goniometriche, Addizione-Sottrazione
Devo completare la seguente espressione:
$ sen ( 60^o + 45^o)=........ $
Utilizzo la formula di addizione:
$ sen ( 60^o + 45^o)= sen alpha cos beta + cos alpha sen beta $
E quella famosa tavola che mi sembra sia corretta......., dove ci sono tutti i valori dei seni, coseni, tangenti....
$ sen ( 60^o + 45^o)=........ $
Utilizzo la formula di addizione:
$ sen ( 60^o + 45^o)= sen alpha cos beta + cos alpha sen beta $
E quella famosa tavola che mi sembra sia corretta......., dove ci sono tutti i valori dei seni, coseni, tangenti....
Risposte
"giammaria":
Il tuo inizio non porta da nessuna parte: come continui? Usa invece le formule di somma a numeratore e fai i calcoli. Se vuoi, puoi scomporre prima col prodotto notevole ma la lunghezza cambia poco.
Si ho avuto modo di constatare che non porta a nessuna parte!
Sono riuscito a risolvere iniziando con il portare il numeratore come prodotto notevole $A^2-B^2= (A-B)(A+B) $ e poi con le solite formule di addizione ecc......
Sto trovando problemi con il seguente:
$ (1+cos2alpha)^2 + sen^2 2alpha $
Ho provato a sviluppare il quadrato di un binomio del primo membro a sinistra, ma nn sono riuscito a risolverlo....
Per il secondo membro ho provato a pensarla in questo modo:
$ sen^2 (alpha +alpha) = 2 sen^2 alpha cos^2 alpha $
Ma non sono riuscito a risolverlo!
Cosa posso fare?
$ (1+cos2alpha)^2 + sen^2 2alpha $
Ho provato a sviluppare il quadrato di un binomio del primo membro a sinistra, ma nn sono riuscito a risolverlo....
Per il secondo membro ho provato a pensarla in questo modo:
$ sen^2 (alpha +alpha) = 2 sen^2 alpha cos^2 alpha $
Ma non sono riuscito a risolverlo!
Cosa posso fare?
$=1+2cos 2alpha+cos^2 2alpha+sin^2 2alpha=1+2cos 2alpha+1=2(1+cos 2alpha)$
ed ora si può continuare con
$=2(sin^2 alpha +cos^2 alpha+cos^2 alpha-sin^2 alpha)=4cos^2 alpha$
oppure, usando a rovescio la formula di bisezione del coseno, con
$=2*2cos^2 alpha=4cos^2 alpha$
La tua ultima formula contiene un errore:
$sin^2 2 alpha=(2sin alpha cos alpha)^2= 4 sin^2 alpha cos^2 alpha$
ed ora si può continuare con
$=2(sin^2 alpha +cos^2 alpha+cos^2 alpha-sin^2 alpha)=4cos^2 alpha$
oppure, usando a rovescio la formula di bisezione del coseno, con
$=2*2cos^2 alpha=4cos^2 alpha$
La tua ultima formula contiene un errore:
$sin^2 2 alpha=(2sin alpha cos alpha)^2= 4 sin^2 alpha cos^2 alpha$
Io credevo che si poteva fare in questo modo, intendo per il quadrato di un binomio:
$ (1+cos2alpha)^2= 1+2cos2 alpha+ cos^2 4alpha $
Insomma, nel quadrato di un binomio con le funzioni seno e coseno, nelle circostanze tipo il mio esempio, non si eleva al quadrato anche il $ (2alpha)^2 = 4alpha $
$ (1+cos2alpha)^2= 1+2cos2 alpha+ cos^2 4alpha $
Insomma, nel quadrato di un binomio con le funzioni seno e coseno, nelle circostanze tipo il mio esempio, non si eleva al quadrato anche il $ (2alpha)^2 = 4alpha $
No, non c'è nessun motivo per moltiplicare per 2 l'argomento. Quello che viene è $(cos2 alpha)^2=cos^2 2alpha$.
Inoltre $(2alpha)^2=4 alpha^2$.
Inoltre $(2alpha)^2=4 alpha^2$.
"giammaria":
No, non c'è nessun motivo per moltiplicare per 2 l'argomento.
Adesso e' chiaro! Ok!
Mentre per quanto riguarda:
$ cos^2 2alpha +sen^2 2alpha =1 $
E' chiaro che si tratta di una circonferenza....., ok, ma cosa si ga per semplificare l'argomento $ 2alpha $
Perche' se la circonferenza e':
$ cos^2 alpha + sen^2 alpha= 1 $
come bisogna pensare quando si ha:
$ cos^2 2alpha + sen^2 2alpha= 1 $
Grazie mille!
Puoi sempre pensare di avere una circonferenza in cui l'angolo è $2 alpha$ e non il semplice $alpha$. La prima formula fondamentale si può intendere dicendo che se seno e coseno hanno lo stesso argomento, la somma dei loro quadrati è 1. Ad esempio
$sin^2((x^2-3)/(x+1))+ cos^2( (x^2-3)/(x+1))=1$
$sin^2((x^2-3)/(x+1))+ cos^2( (x^2-3)/(x+1))=1$
Ok!
Ma se mi trovo in un caso del genere:
$ (-4 sen^2 alpha)/(cosalpha sqrt(2) - senalpha sqrt(2)) $
Come devo razionalizzare?
Posso fare in questo modo?
$ (-4 sen^2 alpha)/(cosalpha sqrt(2) - senalpha sqrt(2))*1/(sqrt(2)) $
e poi continuando .....
$ (-4 sen^2 alpha)/(cosalpha sqrt(2) - senalpha sqrt(2)) $
Come devo razionalizzare?
Posso fare in questo modo?
$ (-4 sen^2 alpha)/(cosalpha sqrt(2) - senalpha sqrt(2))*1/(sqrt(2)) $
e poi continuando .....
Va bene il $sqrt2$ a denominatore, ma devi scriverlo anche a numeratore: se vuoi mettere un uguale devi moltiplicare per una frazione che valga 1.
In alternativa, puoi lavorare sul $4$ a numeratore: $4=2*2=2*sqrt2*sqrt2$ e poi semplifichi con il $sqrt2$ che hai messo in evidenza a denominatore.
In alternativa, puoi lavorare sul $4$ a numeratore: $4=2*2=2*sqrt2*sqrt2$ e poi semplifichi con il $sqrt2$ che hai messo in evidenza a denominatore.
Si, ho dimenticato di mettrlo al numeratore, grazie! 
Esercizio 6
Sto facendo un po di fatica nel risolvere il seguente:
$ cos2 alpha*(tg2alpha + ctg alpha) $
Cosa mi conviene fare? Non sto riuscendo a trovare la giusta combinazione per arrivare alla soluzione!
sono riuscito ad arrivare a questo punto:
$ cos^2 alpha - sen^2 alpha(2(sen alpha)/(cos alpha)+ (cos alpha)/(sen alpha)) $
Ma poi cosa devo fare????
Sto facendo un po di fatica nel risolvere il seguente:
$ cos2 alpha*(tg2alpha + ctg alpha) $
Cosa mi conviene fare? Non sto riuscendo a trovare la giusta combinazione per arrivare alla soluzione!
sono riuscito ad arrivare a questo punto:
$ cos^2 alpha - sen^2 alpha(2(sen alpha)/(cos alpha)+ (cos alpha)/(sen alpha)) $
Ma poi cosa devo fare????
Esercizio 7
Anche in questo non sto riuscendo a trovare una via di uscita:
$ sen^2 (alpha + 45^o ) + cos^2 (alpha - 45^o ) -sen 2 alpha $
Quali regole vanno applicate? Io sto provando con le formule di addizione e sottrazione ma non sto riuscendo!
Anche in questo non sto riuscendo a trovare una via di uscita:
$ sen^2 (alpha + 45^o ) + cos^2 (alpha - 45^o ) -sen 2 alpha $
Quali regole vanno applicate? Io sto provando con le formule di addizione e sottrazione ma non sto riuscendo!
Le formule di addizione e sottrazione (e duplicazione per l'ultimo termine) vanno bene; per il seno e coseno di 45° conviene usare la forma non razionalizzata $1/sqrt2$. Ottieni
$=(sin alpha cos45°+cos alphasin45°)^2+(cosalpha cos45°+sinalpha sin45°)^2-2sinalpha cosalpha= $
$=(1/sqrt2 sinalpha +1/sqrt2 cosalpha)^2+(1/sqrt2 cosalpha + 1/sqrt2sinalpha)^2-2sinalpha cosalpha=$
$=1/2sin^2alpha+sinalpha cosalpha +1/2cos^2alpha+1/2cos^2alpha+sinalpha cosalpha +1/2sin^2alpha-2sinalpha cosalpha=$
$=sin^2alpha+cos^2alpha=1$
$=(sin alpha cos45°+cos alphasin45°)^2+(cosalpha cos45°+sinalpha sin45°)^2-2sinalpha cosalpha= $
$=(1/sqrt2 sinalpha +1/sqrt2 cosalpha)^2+(1/sqrt2 cosalpha + 1/sqrt2sinalpha)^2-2sinalpha cosalpha=$
$=1/2sin^2alpha+sinalpha cosalpha +1/2cos^2alpha+1/2cos^2alpha+sinalpha cosalpha +1/2sin^2alpha-2sinalpha cosalpha=$
$=sin^2alpha+cos^2alpha=1$
"giammaria":
Le formule di addizione e sottrazione (e duplicazione per l'ultimo termine) vanno bene; per il seno e coseno di 45° ..........
Ok, ed arrivo al seguente punto:
$ 2-sen2alpha $
E poi finalmente sono riuscito ad arrivare alla conclusione che $ S=1 $
Adesso mi sta dannando l'Esercizio 6
Ho provato ad utilizzare la formula di duplicazione per $ cos2alpha $ e anche la formula di duplicazione per $ tg2alpha $ , mentre per la cotangente ho utilizzato $ cotg alpha = (cos alpha)/(sen alpha) $ , ma non ne sto venendo fuori?!?!???
Ho provato ad utilizzare la formula di duplicazione per $ cos2alpha $ e anche la formula di duplicazione per $ tg2alpha $ , mentre per la cotangente ho utilizzato $ cotg alpha = (cos alpha)/(sen alpha) $ , ma non ne sto venendo fuori?!?!???
Per l'esercizio 6 spero che tu volessi scrivere non la tua formula ma
$(cos^2 alpha-sin^2alpha )((sin2alpha )/(cos 2alpha )+(cosalpha )/(sinalpha ))$
che però non è molto comoda per continuare. Uno dei metodi di soluzione è portare tutto in $tgalpha $, usando le parametriche e la duplicazione della tangente:
$=(1-tg^2alpha )/(1+tg^2alpha )((2tgalpha )/(1-tg^2alpha )+1/(tgalpha ))=...$
Oppure puoi distribuire il prodotto e portare tutto a seno e coseno:
$=cos 2alpha *(sin 2alpha )/(cos2 alpha)+cos 2alpha *(cosalpha )/(sinalpha )=2sinalpha cosalpha +(cos^2alpha -sin^2alpha )*(cosalpha)/(sinalpha )=...$
$(cos^2 alpha-sin^2alpha )((sin2alpha )/(cos 2alpha )+(cosalpha )/(sinalpha ))$
che però non è molto comoda per continuare. Uno dei metodi di soluzione è portare tutto in $tgalpha $, usando le parametriche e la duplicazione della tangente:
$=(1-tg^2alpha )/(1+tg^2alpha )((2tgalpha )/(1-tg^2alpha )+1/(tgalpha ))=...$
Oppure puoi distribuire il prodotto e portare tutto a seno e coseno:
$=cos 2alpha *(sin 2alpha )/(cos2 alpha)+cos 2alpha *(cosalpha )/(sinalpha )=2sinalpha cosalpha +(cos^2alpha -sin^2alpha )*(cosalpha)/(sinalpha )=...$
"giammaria":
Per l'esercizio 6
$=(1-tg^2alpha )/(1+tg^2alpha )((2tgalpha )/(1-tg^2alpha )+1/(tgalpha ))=...$
Scusami, ma questo:
$ (1-tg^2alpha )/(1+tg^2alpha ) $
Come lo hai ottenuto
Come si fa a partire da $ cos2alpha $
Ho usato la formula parametrica; la riporto qui, ma usando $beta$ al posto del solito $alpha$. Posto $t=tg \frac beta 2$ ho
$cos beta=(1-t^2)/(1+t^2)$
Se ora suppongo $beta=2alpha$ ottengo proprio quella formula.
$cos beta=(1-t^2)/(1+t^2)$
Se ora suppongo $beta=2alpha$ ottengo proprio quella formula.
Esercizio 8
$ (1+tg alpha)^2 *(cos 2alpha)/(1+sen^2alpha)+tg^2 alpha $
Quali formule mi conviene utilizzare?
$ (1+tg alpha)^2 *(cos 2alpha)/(1+sen^2alpha)+tg^2 alpha $
Quali formule mi conviene utilizzare?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo