Equazioni in valore assoluto

[Bad90]

Questo è il primo esercizio della serie, adesso vedo cosa riesco a fare.....

$ |x^2-x|=2x $

Come bisogna iniziare?
Provo a dire qualcosa.....

la quantità in valore assoluto è $ |x^2-x|$ , quindi analizziamo i due casi:
$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Va bene quello che ho detto fin quì?

Analizzo il primo caso

$x^2-x>=0 $ sara' $ x(x-1)>=0 $ verificata per $ x<=0 ^^ x>=1 $, quindi $|x^2-x|=x^2-x$

Analizzo il secondo caso

$x^2-x<0 $ sara' $ x(x-1)<0 $ verificata per $ 0
Se non sto per dire una cavolata, penso che entrambi i sistemi sono possibili in $ R $ , quindi posso pensare di risolvere il sistema....

Sistema 1

$ { ( x^2-x=2x ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x^2-3x=0 ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x(x-3)=0 ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x=0;x=3 ),( x>=0;x>=1 ):} $

Se non erro, le soluzioni sono accettabili perchè rientrano nel caso $ x>=0 ^^ x>=1 $

Sistema 2

$ { ( -x^2+x=2x ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( -x^2-x=0 ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( x^2+x=0 ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( x=0;x=-1 ),( x>0;x>1 ):} $

Se non erro, le soluzioni non sono accettabili perchè non rientrano nel caso $ x>0 ^^ x>1 $

Cosa ne dite
Se non ho sbagliato nulla, allora offro un caffè a tutti!
Se ho sbagliato qualcosa, allora offro due caffè a tutti!

Grazie anticipatamente!

[Bad90]

Per questa
$ |(x^2-1)/(3)|>x-1 $

Sto trovando problemi nella $ S=S_1 uu S_2 $, il testo mi dice $ x<1 ^^ x>2 $ mentre io trovo $ S=S_1 uu S_2=>-1

[giammaria2]

Hai ottenuto $S_1=x<=-1 vv x>2$ ed $S_2=-1

Cita

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[Bad90]

"giammaria":Hai ottenuto $S_1=x<=-1 vv x>2$ ed $S_2=-1
Ho verificato di nuovo il grafico, mi risulta per il primo caso ed il secondo, ho zone comuni per $ x<1 $ ma per $ x>2 $ le zone comuni sono solo per la prima.

[giammaria2]

Se concordi con $S_1, S_2$ controlla il grafico finale e noterai che non ci sono zone comuni né potevamo aspettarcele: le condizioni $x^2-1>=0$ ed $x^2-1<0$ si escludono a vicenda. Noi però volevamo non l'intersezione (= entrambe verificate) ma l'unione (= almeno una verificata), da cui la soluzione.

[Bad90]

"giammaria":Se concordi con $S_1, S_2$ controlla il grafico finale e noterai che non ci sono zone comuni né potevamo aspettarcele: le condizioni $x^2-1>=0$ ed $x^2-1<0$ si escludono a vicenda. Noi però volevamo non l'intersezione (= entrambe verificate) ma l'unione (= almeno una verificata), da cui la soluzione.

Adesso ho capito!
Grazie

[Bad90]

Ho risolto la seguente disequazione in valore assoluto:

$ |x^2-x-2| >=x^2-2x+3 $

Sono arrivato alla soluzione del primo sistema $ S=x>=5 $ , mentre per la seconda disequazione sono arrivato alla soeguente soluzione $ S=1/2=5 $ soluzione? Non ha zone comuni con la prima!
Grazie mille.

[giammaria2]

E' lo stesso dell'esercizio precedente: devi fare l'unione e non l'intersezione. Per amor di precisione, aggiungo che tutti i tuoi $<$ andrebbero corretti in $<=$ ma confesso che a volte, per brevità, anche io lo trascuro. Però è sbagliato.

[Bad90]

Ok, da ora in poi vedo di non sbagliare piu' $ < $ con $ <= $ . Ma cosa e' che ti fa capire se si fa' l'unione e non l'intersezione?
Grazie mille.

[giammaria2]

Il ragionamento iniziale era: il numero nel valore assoluto può essere positivo OPPURE negativo e mi vanno bene sia un caso che l'altro. La parola "oppure" significa unione; naturalmente avrei potuto dire solo "o"ma mi sarebbe stato più difficile fartela notare. Poi consideri i due casi e per ognuno il ragionamento è: devo essere in quel caso E ANCHE deve valere questa disequazione; devono avvenire entrambe le cose. Le parole "e anche" (o il solo "e") indicano l'intersezione.

[Bad90]

"giammaria":Il ragionamento iniziale era: il numero nel valore assoluto può essere positivo OPPURE negativo e mi vanno bene sia un caso che l'altro. La parola "oppure" significa unione; naturalmente avrei potuto dire solo "o"ma mi sarebbe stato più difficile fartela notare. Poi consideri i due casi e per ognuno il ragionamento è: devo essere in quel caso E ANCHE deve valere questa disequazione; devono avvenire entrambe le cose. Le parole "e anche" (o il solo "e") indicano l'intersezione.

Accipicchia, adesso ho capito il significato! Prima di adesso avrei saputo solo che $ uu $ unione e $ nn $ intersezione, altro non avrei saputo dire, intendo solo il significato stesso che si da' nella vita di tutti i giorni, ma dal punto di vista matematico adesso ho le idee chiare!
Ti ringrazio!

[Bad90]

Grazie ad i vostri consigli, sto riuscendo ad avere sempre più sicurezze, oggi mentre risolvevo qualche esercizio sui valori assoluti, mi è capitato il seguente:

$ |x^2-1|>=x^2-2x+1 $

Vedendolo ho pensato, "grazie a tutte le dritte che mi avete dato", spero di averle comprese correttamente che la soluzione poteva essere solo $ x>=0 $ , ma mi è venuta subito in mente senza dover fare calcoli, perchè:

$ x^2-1>=0 $ è sempre positivo quindi uguale ad uno $ x^2>=1 $ , penso di avere intuito bene!?!?!?

mentre al secondo membro ho un quadrato:

$ x^2-2x+1=>(x-1)^2 $

ed un quadrato, sarà sempre $ >=0 $

Secondo voi ho intuito bene? Insomma il risultato è corretto, ma mi chiedevo se il percorso che ho fatto per arrivarci, sia giusto!

Grazie mille!

[giammaria2]

No, il percorso è sbagliato e il risultato è giusto solo per caso. Tutto quello che potevi dire è che il secondo membro, essendo un quadrato, è positivo o nullo e quindi lo è anche il primo, che gli è maggiore o uguale: cioè che $|x^2-1|>=0$. Ma questo lo sapevi già perché un valore assoluto non può essere negativo; non puoi concludere che $x^2-1>=0$.
Inoltre senza calcoli il numero 0 non compare; pensiamo alle equazioni associate. Sono $x^2-1=0$ che ha come soluzioni $x=+-1$ e $(x-1)^2=0$ con soluzione $x=1$: nessuna soluzione è 0.

[Bad90]

"giammaria":No, il percorso è sbagliato e il risultato è giusto solo per caso. Tutto quello che potevi dire è che il secondo membro, essendo un quadrato, è positivo o nullo e quindi lo è anche il primo, che gli è maggiore o uguale: cioè che $|x^2-1|>=0$. Ma questo lo sapevi già perché un valore assoluto non può essere negativo; non puoi concludere che $x^2-1>=0$.
Inoltre senza calcoli il numero 0 non compare; pensiamo alle equazioni associate. Sono $x^2-1=0$ che ha come soluzioni $x=+-1$ e $(x-1)^2=0$ con soluzione $x=1$: nessuna soluzione è 0.

Ok, allora è solo stato un caso, ti ringrazio vivamente!

P.S. Scusatemi, nonostante tutti i vostri consigli, ho sbagliato per colpa della mia testa dura , cercherò di essere più attendo a non beccare risultati per caso!

[Bad90]

Sto cercando di risolvere questa:

$ |x^2-4x+3|>=x^2/3 $

Io ho fatto i seguenti passaggi:

Primo caso

$ { (x^2-4x+3>=0),( x^2-4x+3>=x^2/3 ):} $

$ { (x^2-4x+3>=0),( 2x^2-12x+9>=0 ):} $

Per la prima disequazione, utilizzo l'equazione associata ed avrò:

$ Delta=4 $ e le $ x_1=3 $ e $ x_2=1 $

Per la seconda disequazione utilizzo l'equazione associata ed avrò:

$ Delta=72 $ e le $ x_1=(12+6sqrt(2))/(4) $ e $ x_2=(12-6sqrt(2))/(4) $

Proprio in queste ultime $ x $ penso ci sia qualcosa che non và, perchè il risultato dell'esercizio scrive $ x=3+-(3sqrt(2))/2 $ , il problema non è nella verifica della disequazione, ma tra questo che ho ottenuto io $ x=(12+-6sqrt(2))/(4) $ e quello che è srcitto nel risultato $ x=3+-(3sqrt(2))/2 $

Dove avrò commesso l'errore?
Grazie mille!

[Bad90]

Il mio testo non mi ha ancora proposto esercizi di questo tipo:

$ |x-3|<|x^2-9| $

Penso che nel prossimo volume ci saranno,...
Ma in questi casi, come bisogna procedere?

Potreste cortesemente darmi qualche link o appunto che parla di questo argomento? Anche se per il mio testo sarà ancora presto, io vorrei concentrarmi lo stesso su questi casi in cui compaiono due valori assoluti!

Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":
.....
perchè il risultato dell'esercizio scrive $ x=3+-(3sqrt(2))/2 $ , il problema non è nella verifica della disequazione, ma tra questo che ho ottenuto io $ x=(12+-6sqrt(2))/(4) $ e quello che è srcitto nel risultato $ x=3+-(3sqrt(2))/2 $
......

Guarda che
$ x=(12+-6sqrt(2))/(4) =12/4+-(6sqrt(2))/4=3+-(3sqrt(2))/2$

[Bad90]

Scusami ma se la disequazione è

$ 2x^2-12x+9>=0 $

Il $ Delta=12^2-4*(2)*(9)=72 $ che a sua volta è $ 6sqrt(2) $ adesso ricavo le $ x $ ,

$ x=(12+-6sqrt(2))/(4) $

Sulla base di cosa posso semplificare come hai fatto tu? Posso separare tranquillamente le frazioni in questo modo?

$ x=(12/4)+-(6sqrt(2))/(4) $

Non mi è mai capitato di farlo!

Ti ringrazio!

[chiaraotta1]

"Bad90":
....
$ |x-3|<|x^2-9| $
...

Poiché $x^2-9=(x-3)(x+3)$ e $|a*b|=|a|*|b|$, allora
$|x-3|<|x^2-9| ->|x-3|<|x-3|*|x+3| ->{(x-3!=0),(1<|x+3|):} ->{(x!=3),(x+3>1 vv x+3<-1):} ->$
${(x!=3),(x > -2 vv x<-4):} ->x< -4 vv (x> -2 ^^ x!=3)$

[chiaraotta1]

"Bad90":....
Sulla base di cosa posso semplificare come hai fatto tu? Posso separare tranquillamente le frazioni in questo modo?

$ x=(12/4)+-(6sqrt(2))/(4) $

Non mi è mai capitato di farlo!

Ti ringrazio!

Proprietà delle frazioni!!!
$(a+b)/c=a/c+b/c$ ....

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]
....
$ |x-3|<|x^2-9| $
...

Poiché $x^2-9=(x-3)(x+3)$ e $|a*b|=|a|*|b|$, allora
$|x-3|<|x^2-9| ->|x-3|<|x-3|*|x+3| ->{(x-3!=0),(1<|x+3|):} ->{(x!=3),(x+3>1 vv x+3<-1):} ->$
${(x!=3),(x > -2 vv x<-4):} ->x< -4 vv (x> -2 ^^ x!=3)$[/quote]

Ti ringrazio
Adesso vedo cosa riesco a fare io con altri esercizi!