Equazioni in valore assoluto

[Bad90]

Questo è il primo esercizio della serie, adesso vedo cosa riesco a fare.....

$ |x^2-x|=2x $

Come bisogna iniziare?
Provo a dire qualcosa.....

la quantità in valore assoluto è $ |x^2-x|$ , quindi analizziamo i due casi:
$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Va bene quello che ho detto fin quì?

Analizzo il primo caso

$x^2-x>=0 $ sara' $ x(x-1)>=0 $ verificata per $ x<=0 ^^ x>=1 $, quindi $|x^2-x|=x^2-x$

Analizzo il secondo caso

$x^2-x<0 $ sara' $ x(x-1)<0 $ verificata per $ 0
Se non sto per dire una cavolata, penso che entrambi i sistemi sono possibili in $ R $ , quindi posso pensare di risolvere il sistema....

Sistema 1

$ { ( x^2-x=2x ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x^2-3x=0 ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x(x-3)=0 ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x=0;x=3 ),( x>=0;x>=1 ):} $

Se non erro, le soluzioni sono accettabili perchè rientrano nel caso $ x>=0 ^^ x>=1 $

Sistema 2

$ { ( -x^2+x=2x ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( -x^2-x=0 ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( x^2+x=0 ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( x=0;x=-1 ),( x>0;x>1 ):} $

Se non erro, le soluzioni non sono accettabili perchè non rientrano nel caso $ x>0 ^^ x>1 $

Cosa ne dite
Se non ho sbagliato nulla, allora offro un caffè a tutti!
Se ho sbagliato qualcosa, allora offro due caffè a tutti!

Grazie anticipatamente!

[Obidream]

Prova ad applicare la definizione di valore assoluto e studiare i 2 casi separati In pratica si tratta di risolvere un sistema:

$|-3x^2-7|-10=8x$ è un modo compatto per scrivere questo sistema:

${(-3x^2-7-10=8x,if -3x^2-7>=0),(-(-3x^2-7)-10=8x,if -3x^2-7<0):}$

[Bad90]

Ho rifatto piu' volte la seguente disequazione, ma alla fine ho pensato che ci sia un errore di stampa nel risultato.....
$ |x| -2x^2-4x=0 $

Senza scrivere tutti i passaggi, arrivo al dunque, ma se occorrera' scrivere tutti i passaggi, ditelo e lo faro'.
Il primo sistema mi porta a:
$ x=0; x=-3/2 $
La disequazione richiede il valore $ >=0 $ e quindi la prima soluzione e' $ x=0 $

Il secondo sistema, mi porta a $ x=0;x=-5/2 $ e la disequazione chiede un valore $ <0 $ quindi l'unica soluzione del secondo sistema e' $ x=-5/3 $ .

Bene, adesso mi chiedo perche' sul testo mi da il seguente risultato positivo $ x=5/3 $ ?

Io non penso di aver sbagliato nulla, anche perche qul risultato e' da attribuire solo al secondo sistema e quindi non puo' essere positivo se la disequazione richiede un valore negativo!
Giusto?

Grazie mille.

[Bad90]

"Obidream":Prova ad applicare la definizione di valore assoluto e studiare i 2 casi separati In pratica si tratta di risolvere un sistema:

$|-3x^2-7|-10=8x$ è un modo compatto per scrivere questo sistema:

${(-3x^2-7-10=8x,if -3x^2-7>=0),(-(-3x^2-7)-10=8x,if -3x^2-7<0):}$

Ma e' quello che faccio sempre, infatti nei messaggi precedenti, ho scritto tutti i passaggi dei due sistemi, solo che puo' essere che sto sbagliando qualcosa.
Adesso faccio altre prove e scrivo tutti i passaggi!

[chiaraotta1]

"Bad90":Ho rifatto piu' volte la seguente disequazione, ma alla fine ho pensato che ci sia un errore di stampa nel risultato.....
$ |x| -2x^2-4x=0 $
....

Trovo anch'io le soluzioni $x=0$ e $x=-5/2$.

[Bad90]

"chiaraotta":
Trovo anch'io le soluzioni $x=0$ e $x=-5/2$.

Questo mi consola!
Sono stato su tutto il pomeriggio a fare prove e riprove, ma il risultato era sempre lo stesso, ti ringrazio per la conferma!

[Bad90]

Adesso scrivo i passaggi dell'equazione che non sto riuscendo a risolvere....

$ |-3x^2-7|-10=8x $

Analizziamo i due casi:
$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Analizzo il primo caso

$ -3x^2-7>=0 $ moltiplico per $ -1 $ e diventerà $ 3x^2+7<=0 $ (In questo caso si può fare?)
Adesso mi ritrovo con $ x^2<=-7/3 $ e secondo me è impossibile!!?!?!?
Come faccio a continuare?

Analizzo il secondo caso

$ -3x^2-7<0 $ moltiplico per $ -1 $ e diventerà $ 3x^2+7>0 $ ma così arrivo a $ x^2> -7/3 $ e si trova sempre quel segno meno avanti che non mi torna!

Ma dove sto sbagliando?

Accipicchia, non ho nemmeno più forza per dare una testata al muro magari viene fuori qualcosa!

[chiaraotta1]

Per quanto riguarda $|-3x^2-7|$ i casi sono due:
1) se $-3x^2-7>=0$, allora $|-3x^2-7|=-3x^2-7$,
2) se $-3x^2-7<0$, allora $|-3x^2-7|=3x^2+7$.

Per il caso 1) la condizione $-3x^2-7>=0->x^2<=-7/3$ non è mai verificata;
per il caso 2) la condizione $-3x^2-7<0->x^2> -7/3$ è verificata per ogni $x$.
Quindi $|-3x^2-7|=3x^2+7$ per ogni $x$.

Perciò l'equazione
$|-3x^2-7| -10=8x$
è
$3x^2+7-10=8x->3x^2-8x-3=0$.
Risolvendola si trova
$Delta/4=16-3(-3)=25=5^2, \ x_(1,2)=(4+-5)/3, x_1=-1/3, x_2=3$.

[Obidream]

Uhm provo a darti qualche suggerimento

Noi abbiamo questo sistema:

${(-3x^2-7-10=8x,if -3x^2-7>=0),(-(-3x^2-7)-10=8x,if -3x^2-7<0):}$

Ma scritto così non rende molto l'idea, infatti vogliamo risolvere quelle disequazioni per capire quando valgono le nostre equazioni:

${(-3x^2-7-10=8x,if 3x^2+7<=0),(-(-3x^2-7)-10=8x,if 3x^2+7>0):}$

${(-3x^2-7-10=8x,if 3x^2<=-7),(-(-3x^2-7)-10=8x,if 3x^2>-7):}$

La prima disequazione $3x^2<=-7$ come dici giustamente non è mai verificata, quindi neanche ci preoccupiamo di risolvere l'equazione associata ad essa.

La seconda disequazione $3x^2>-7$ è certamente verificata $AA x in RR$, in quanto un quadrato è sempre maggiore di un numero negativo, quindi devi risolvere la seconda equazione che vale su tutto $RR$

P.s ho visto ora il messaggio di chiaraotta, scusate

[Bad90]

"Obidream":

La seconda disequazione $3x^2> -7$ è certamente verificata $AA x in RR$, in quanto un quadrato è sempre maggiore di un numero negativo, quindi devi risolvere la seconda equazione che vale su tutto $RR$

P.s ho visto ora il messaggio di chiaraotta, scusate

Adesso ho capito dove stavo sbagliando......
Ti ringrazio per il suggerimento, adesso la risolvo e ti faccio sapere.
Grazie mille!

[Bad90]

"chiaraotta":Per quanto riguarda $|-3x^2-7|$ i casi sono due:
1) se $-3x^2-7>=0$, allora $|-3x^2-7|=-3x^2-7$,
2) se $-3x^2-7<0$, allora $|-3x^2-7|=3x^2+7$.

Per il caso 1) la condizione $-3x^2-7>=0->x^2<=-7/3$ non è mai verificata;
per il caso 2) la condizione $-3x^2-7<0->x^2> -7/3$ è verificata per ogni $x$.
Quindi $|-3x^2-7|=3x^2+7$ per ogni $x$.

Perciò l'equazione
$|-3x^2-7| -10=8x$
è
$3x^2+7-10=8x->3x^2-8x-3=0$.
Risolvendola si trova
$Delta/4=16-3(-3)=25=5^2, \ x_(1,2)=(4+-5)/3, x_1=-1/3, x_2=3$.

Grazie mille,

[Bad90]

Adesso risolvo questa, ma si tratta di una disequazione anche se è scritta in questo thread:

$ |2x^2-x+1|<1 $

Se $ |f(x)|0 $ come nella disequazione sopra, moltiplico per $ -1 $ ed ottengo $ f(x)> -k $ che inizialmente era $ f(x)0 $ ...

Ho compreso bene fin quì?

Detto questo non resta che applicare quello che ho detto sopra:

$ { ( 2x^2-x+1> -1 ),(2x^2-x+1<1):} $

La prima disuguaglianza ha un $ Delta<0 $ ma risulta sempre verificata in $ R $
Non mi resta che dire:

$ { ( Sempre vera ),(0
$ S=0;1/2 $

Fila tutto bene?
Vi ringrazio vivamente!

[Bad90]

Adesso mi chiedo cosa mi dovrebbe far capire il metodo da utilizzare, cerco di spiegarmi....
In questa circostanza $ |x^2-x|=2x $ sono consapevole del fatto che servirà questo per risolverla:

$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Ma se mi trovo in questa altra circostanza $ |2x^2-x+1|<1 $ so che è una disequazione ed esiste questo metodo:

Se $ |f(x)|0 $, moltiplico per $ -1 $ ed ottengo $ f(x)> -k $ che inizialmente era $ f(x)0 $ ...

Se invece si ha $ |2x^2-x+1|>1 $ esiste il seguente metodo:

Se $ |f(x)|>k $ con $ k>0 $, moltiplico per $ -1 $ ed ottengo $ f(x)< -k $ che inizialmente era $ f(x)>k $.

Potreste cortesemente aiutarmi a capire cosa sta succedendo con tutti questi casi?

Non mi manca la capacità di imparare la solita poesia ed eseguire i calcoli, ma vorrei sapere cosa ce dietro a tutti questi metodi. Vi ringrazio anticipatamente!

[chiaraotta1]

"Bad90":
....

$ |2x^2-x+1|<1 $
....

La disequazione
$|2x^2-x+1|<1$
è equivalente a
${(2x^2-x+1>=0),(2x^2-x+1<1):} uu {(2x^2-x+1<0), (-(2x^2-x+1)<1):}$

1° sistema
${(2x^2-x+1>=0),(2x^2-x+1<1):}$

La prima disequazione è sempre verificata ($Delta=1-8=-7<0, \ a=2>0, \ verso >=0$).

La seconda è $2x^2-x+1<1->2x^2-x<0->x(2x-1)<0$.
Calcolo $Delta=1>0, \ x_1=0, \ x_2=1/2$.
Poiché $\ a=2>0, Delta >0, \ verso <0$ le soluzioni sono $0
Intersecando le soluzioni delle due disequazioni trovo che quindi le soluzioni del sistema sono $0
2° sistema
${(2x^2-x+1<0),(-(2x^2-x+1)<1):}$

La prima disequazione non è mai verificata ($Delta=1-8=-7<0, \ a=2>0, \ verso <0$).

Quindi il sistema non ha soluzioni.


Perciò le soluzioni della disequazione di partenza sono solo le soluzioni del primo sistema e cioè $0

Cita

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[giammaria2]

Il metodo di chiaraotta è quello da usare in generale ma in questo caso, in cui il confronto è con un numero positivo, è preferibile quello di Bad90 perché più rapido ed egualmente giusto. Un numero che in valore assoluto è minore di 1 deve essere compreso fra -1 ed 1; questa condizione è necessaria e sufficiente.

[Bad90]

Vi ringrazio per le chiarezze in merito, adesso provo a dire quello che ho dedotto..
Il metodo di chiarotta è quello classico e va bene per entrambi i casi $ |x^2-x|=2x $ e $ |2x^2-x+1|<1 $ oppure $ |2x^2-x+1|>1 $

$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Ma voglio essere più rapido, vado con l'ultimo metodo da me scritto:
Se $ |f(x)|0 $, moltiplico per $ -1 $ ed ottengo $ f(x)> -k $ che inizialmente era $ f(x)0 $ ...

Penso sia giusto!

Grazie giammaria!

[Bad90]

Risolvo questa con il metodo di chiarotta:

$ |x^2-x|<2x $

Primo sistema

$ { ( x^2-x>=0 ),( x^2-x<2x ):} $

$ { ( x(x-1)>=0 ),( x^2-3x<0 ):} $

$ { ( x<=0;x>=1 ),( 1<=x<3 ):} $

$ S=1<=x<3$
Ma perchè il testo mi dice $ S=-3

Secondo sistema

$ { ( -x^2+x<2x ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( -x^2-x<0 ),( x(x-1)<0 ):} $

$ { ( x^2+x>0 ),( x(x-1)<0 ):} $

$ { ( x(x+1)>0 ),( x(x-1)<0 ):} $

$ { ( x>0;x> -1 ),( x<0;x<1 ):} $

$ S=0
Comunque ho provato a fare altri esercizi con questo metodo e non mi vengono i risultati, infatti per questa $ |5x-x^2|<6 $ con il metodo di chiarotta, non mi vengono i risultati. Adesso penso che se entrambi i metodi sono corretti, penso che sono io che sto facendo errori,
Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":....

$ { ( x<=0;x>=1 ),( 1<=x<3 ):} $

$ { ( x<=0;x>=1 ),( 0

"Bad90":....


$ { ( x>0;x> -1 ),( x<0;x<1 ):} $

$ { (x<-1; x>0 ),( 0
Quindi, facendo l'unione di $1<=x<3$ con $0

Cita

Segnala

[Bad90]

Ce qualche cosa che sto sbagliando utilizzando il metodo classico, cioè con questo:roll: ..............

$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)
i risultati non vengono fuori...

Se però utilizzo il metodo più rapido, i risultati tornano....

Se $ |f(x)|0 $, moltiplico per $ -1 $ ed ottengo $ f(x)> -k $ che inizialmente era $ f(x)0 $ ...

Ho fatto queste prove con questa disequazione $ |5x-x^2|<6 $

Ecco con il metodo più veloce....

$ |5x-x^2|<6 $

Se $ |f(x)|0 $ allora $ |f(x)|> -k $, ovviamente $ |f(x)|
$ { ( x^2-5x-6<0 ),( x^2-5x+6>0 ):} $

$ { ( -13 vv x<2 ):} $

$ S=-1
Non capisco perchè con questo non viene?!?!?
$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

[Bad90]

Va bene se imposto quanto segue, per la disequazione:

$ |x^2+1|<=5 $

Ecco come imposto la soluzione:

Se $ |f(x)|<=k $ con $ k>=0 $ allora $ f(x)>=-k $ quando $ f(x)<=k $ con $ k>=0 $

Va bene quanto ho detto?

Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":
....
$|x^2+1|<=5 $
...

Questo è un caso semplice, perché $x^2+1$ è $>0$ per ogni $x$.
Quindi $|x^2+1|=x^2+1$ e la disequazione è $|x^2+1|<=5 ->x^2+1<=5 ->x^2-4<=0->-2<=x<=2$.