Equazioni in valore assoluto

[Bad90]

Questo è il primo esercizio della serie, adesso vedo cosa riesco a fare.....

$ |x^2-x|=2x $

Come bisogna iniziare?
Provo a dire qualcosa.....

la quantità in valore assoluto è $ |x^2-x|$ , quindi analizziamo i due casi:
$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Va bene quello che ho detto fin quì?

Analizzo il primo caso

$x^2-x>=0 $ sara' $ x(x-1)>=0 $ verificata per $ x<=0 ^^ x>=1 $, quindi $|x^2-x|=x^2-x$

Analizzo il secondo caso

$x^2-x<0 $ sara' $ x(x-1)<0 $ verificata per $ 0
Se non sto per dire una cavolata, penso che entrambi i sistemi sono possibili in $ R $ , quindi posso pensare di risolvere il sistema....

Sistema 1

$ { ( x^2-x=2x ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x^2-3x=0 ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x(x-3)=0 ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x=0;x=3 ),( x>=0;x>=1 ):} $

Se non erro, le soluzioni sono accettabili perchè rientrano nel caso $ x>=0 ^^ x>=1 $

Sistema 2

$ { ( -x^2+x=2x ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( -x^2-x=0 ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( x^2+x=0 ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( x=0;x=-1 ),( x>0;x>1 ):} $

Se non erro, le soluzioni non sono accettabili perchè non rientrano nel caso $ x>0 ^^ x>1 $

Cosa ne dite
Se non ho sbagliato nulla, allora offro un caffè a tutti!
Se ho sbagliato qualcosa, allora offro due caffè a tutti!

Grazie anticipatamente!

[Bad90]

"@melia":Per togliere il modulo non servono condizioni, basta cambiare di segno l'argomento, poi hai la disequazione da risolvere.

Non mi sono mai trovato in questa circostanza e devo dire che non sono riuscito a trovare nessun esempio in rete e sul mio testo... Ma risolvendo con il tuo consiglio sono arrivato alla giusta conclusione, ecco quì:

$ |-1-2x^2 -x|>2x^2-9 $

$ +1+2x^2+x>2x^2-9 $

$ x+1> -9 $

$ x> -10 $

Ti ringrazio, adesso devo cercare dove si trova descritto questa circostanza.....

[Bad90]

Adesso risolvo questa che anche se è banale, sto sbagliando sicuramente a rappresentarle graficamente...

$ |2x^2-2|<2 $

Se $ |f(x)|0 $ allora $ { ( f(x) -k ):} $

$ { ( 2x^2-2<2 ),( 2x^2-2> -2 ):} $

$ { ( -sqrt(2)0 ):} $

Io direi che $ S=0
Ma non sono per niente sicuro!

[chiaraotta1]

"Bad90":
...

$ { ( 2x^2-2<2 ),( 2x^2-2> -2 ):} $

$ { ( -sqrt(2)0 ):} $

$2x^2-2> -2->2x^2>0->x^2>0->x!=0$.

[Bad90]

"chiaraotta":

$2x^2-2> -2->2x^2>0->x^2>0->x!=0$.

Hai ragione, ho trascurato quella circostanza

A me sembra un esercizio banale, ma perchè il testo mi dice $ S=x<-sqrt(2);-1=sqrt(2) $
Ho letto in una pagina del testo che questo è un caso particolare, ma non mi dice niente altro!

[chiaraotta1]

A me sembra che
$ |2x^2-2|<2 $
abbia soluzioni
$x!=0 ^^ -sqrt(2)

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[Bad90]

"chiaraotta":A me sembra che
$ |2x^2-2|<2 $
abbia soluzioni
$x!=0 ^^ -sqrt(2)
Penso la stessa cosa!
Ti giuro che a questo libro gli faccio fare un falò in spiaggia
Ma accipicchia, si può che mi deve far venir il mal di testa quando trovo risultati che non esistono ne in cielo e ne in terra?
Grazie mille per avermi dato conferma, è tutto il giorno che sto su questa e un'altra disequazione con risultati sbagliati!

[Bad90]

Ho risolto la seguente disequazione, $ 3-|5-x|>x^2 $ , sono arrivato a delle conclusioni e facendo delle ricerche al di fuori del mio testo che frà poco farà un bel falò, sono arrivato a dire:

Correggetemi se sbaglio....
La disequazione può essere scritta anche così:

$ 3-x^2>|5-x| $

Oppure

$ |5-x|<3-x^2 $

Facendo questi artefizi, mi sono chiesto, ma potrà mai essere che un valore assoluto sia minore di zero?
Questo non potrà mai essere, e quindi si potrebbe dire che $ S= O/ $ senza nemmeno fare considerazioni
Per essere più sicuri, cerco di fare qualche prova

Da $ 3-x^2>|5-x| $ bisogna determinare le soluzioni di

$ { ( 5-x>=0 ),( 3-x^2>5-x ):} vv { ( 5-x<0 ),( 3-x^2> -(5-x) ):} $

Omettendo qualche passaggio, arrivo a dire che

$ { ( x<=5 ),( x^2-x+2<0 ):} vv { ( x>5 ),( x^2+x-8<0 ):} $

Quindi

$ { ( x<=5 ),( x^2-x+2<0 ):} Falsa $

$ { ( x>5 ),( x^2+x-8 < 0 ):} S= O/ $ Perchè non vi sono intersezioni nelle soluzioni.

Secondo voi, ho avuto una equa intuizione?

Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":
....
$ |5-x|<3-x^2 $

.... potrà mai essere che un valore assoluto sia minore di zero?

Non capisco .... perché dici che il valore assoluto dovrebbe essere minore di zero? E' minore di $3-x^2$, non di $0$.

[Bad90]

Hai ragione, adesso devo ripensare il tutto! Grazie mille!

[Bad90]

Ancora una'altro esempio....

$ 3-|2-x|>x^2+x $

Può essere scritta

$ 3-x^2-x>|2-x| $

Equivale a risolvere

$ { ( 2-x>=0 ),( 3-x^2-x>2-x ):} vv { ( 2-x<0 ),( 3-x^2-x> -(2-x) ):} $

Per il primo sistema

$ { ( x<=2 ),( -1S=-1
Per il secondo sistema

$ { ( x>2 ),( x^2+2x-5<0 ):} $

$ { ( x>2 ),( -sqrt(6)-1
Per il secondo sistema non vi sono intersezioni, quindi segue che $ S=-1

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[giammaria2]

Mi sembra tutto giusto; evidentemente hai capito come lavorare. Puoi passare al prossimo argomento; se preferisci restare su questo per aumentare la tua sicurezza, mandaci solo gli esercizi che non ti vengono.

[Bad90]

"giammaria":Mi sembra tutto giusto; evidentemente hai capito come lavorare. Puoi passare al prossimo argomento; se preferisci restare su questo per aumentare la tua sicurezza, mandaci solo gli esercizi che non ti vengono.

Ti ringrazio,
Infatti, adesso mi sto imbattendo con le disequazioni frazionarie in valore assoluto
Ma mi restano solo un paio di esercizi e poi proseguo con le irrazionali!
Grazie grazie e grazie

[Bad90]

Giusto una domanda perchè ho risolto la seguente disequazione razionale fratta:

$ |(x^2-1)/(3)|>x-1 $

Si possono risolvere con lo stesso metodo di quelle non razionali, giusto?
Va bene se si impostano i due casi in questo modo?

$ { ( (x^2-1)/(3)>=0 ),( (x^2-1)/(3)>x-1 ):} $ Sistema 1

$ { ( (x^2-1)/(3)<0 ),( -(x^2-1)/(3)>x-1 ):} $ Sistema 2

Vanno bene?
Continuo....

Sistema 1

$ { ( x^2-1>=0 ),( x^2-1>3x-3 ):} $

$ { ( x^2-1>=0 ),( x^2-3x+2>0 ):} $

$ { ( x>=1 ^^ x<=-1 ),( x>2 ^^ x<1 ):}=>S=x<=-1 ^^ x>2 $

Sistema 2

$ { ( x^2-1<0 ),( -x^2+1>3x-3 ):} $

$ { ( x^2-1<0 ),( x^2+3x-4<0 ):} $

$ { ( -1S=-1
Sto trovando problemi nella $ S=S_1 uu S_2 $, il testo mi dice $ x<1 ^^ x>2 $ mentre io trovo $ S=S_1 uu S_2=>-1

[Bad90]

Ho risolto questa che sto per scrivere, sono arrivato "penso" alla soluzione corretta, ma voglio scriverlo ugualmente per chiudere questo l'argomento

$ |(x^2-x)/(x-2)|<1 $ $ C.E.=x-2 != 0=>x!= 2 $

Ecco i due casi:

$ ((x^2-x)/(x-2)<1) ^^ ((x^2-x)/(x-2)> -1) $

Il primo sistema

$ (x^2-2x+2)/(x-2)<0 $ Falsa

Il secondo sistema

$ (x^2-x+x-2)/(x-2)>0 $

$ (x^2-2)/(x-2)>0 $

Dalle intersezioni trà $ N>0 $ e $ D>0 $ ho che $ S=-sqrt(2)

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[chiaraotta1]

"Bad90":...
Il primo sistema

$ (x^2-2x+2)/(x-2)<0 $ Falsa

....

Perché Falsa?
Mi sembra che la disequazione abbia soluzioni $x<2$.

[Bad90]

"chiaraotta":

$ (x^2-2x+2)/(x-2)<0 $ Falsa

Perché Falsa?
Mi sembra che la disequazione abbia soluzioni $x<2$.

Un attimo, ho detto questo perchè $ (x^2-2x+2)<0 $ non potrà mai essere, ma ho trascurato il denominatore e hai perfettamente ragione... Il denominatore è $ (x-2)<0 $ ed allora si avrà $ x<2 $, giusto?

Ma rivedendo i calcoli, mi sà che il risultato resta sempre lo stesso?

[chiaraotta1]

Il numeratore è positivo per ogni $x$, quindi la frazione è $<0$ se il denominatore è $<0$.
Ma $x-2<0->x<2$.

[Bad90]

"chiaraotta":Il numeratore è positivo per ogni $x$, quindi la frazione è $<0$ se il denominatore è $<0$.
Ma $x-2<0->x<2$.

Ok, perfetto!
Grazie mille!

[giammaria2]

Ho qualche obiezione anche sulla seconda disequazione (non sono sistemi). Vuoi che N e D abbiano lo stesso segno (non si tratta di intersezione) e questo succede per $-sqrt22$. Mettendo poi a sistema le due disequazioni (cioè cercandone l'intersezione) ottieni la tua soluzione finale.
La disequazione precedente è giusta; potevi anche moltiplicare subito per 3, poiché 3 è positivo e $|(x^2-1)/3|=(|x^2-1|)/3$

[Bad90]

"giammaria":Vuoi che N e D abbiano lo stesso segno (non si tratta di intersezione) e questo succede per $-sqrt22$.

Ok, ti ringrazio!

"giammaria":Ho qualche obiezione anche sulla seconda disequazione (non sono sistemi).

Ho sbagliato ad esprimermi!

Grazie mille!