Equazioni in valore assoluto

[Bad90]

Questo è il primo esercizio della serie, adesso vedo cosa riesco a fare.....

$ |x^2-x|=2x $

Come bisogna iniziare?
Provo a dire qualcosa.....

la quantità in valore assoluto è $ |x^2-x|$ , quindi analizziamo i due casi:
$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Va bene quello che ho detto fin quì?

Analizzo il primo caso

$x^2-x>=0 $ sara' $ x(x-1)>=0 $ verificata per $ x<=0 ^^ x>=1 $, quindi $|x^2-x|=x^2-x$

Analizzo il secondo caso

$x^2-x<0 $ sara' $ x(x-1)<0 $ verificata per $ 0
Se non sto per dire una cavolata, penso che entrambi i sistemi sono possibili in $ R $ , quindi posso pensare di risolvere il sistema....

Sistema 1

$ { ( x^2-x=2x ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x^2-3x=0 ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x(x-3)=0 ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x=0;x=3 ),( x>=0;x>=1 ):} $

Se non erro, le soluzioni sono accettabili perchè rientrano nel caso $ x>=0 ^^ x>=1 $

Sistema 2

$ { ( -x^2+x=2x ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( -x^2-x=0 ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( x^2+x=0 ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( x=0;x=-1 ),( x>0;x>1 ):} $

Se non erro, le soluzioni non sono accettabili perchè non rientrano nel caso $ x>0 ^^ x>1 $

Cosa ne dite
Se non ho sbagliato nulla, allora offro un caffè a tutti!
Se ho sbagliato qualcosa, allora offro due caffè a tutti!

Grazie anticipatamente!

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]
....
$|x^2+1|<=5 $
...

Questo è un caso semplice, perché $x^2+1$ è $>0$ per ogni $x$.
Quindi $|x^2+1|=x^2+1$ e la disequazione è $|x^2+1|<=5 ->x^2+1<=5 ->x^2-4<=0->-2<=x<=2$.[/quote]

Non mi sono reso conto della semplicità e ho fatto tutti i calcoli...
Grazie mille!

[chiaraotta1]

La disequazione
$|5x-x^2|<6$
è equivalente a
${(5x-x^2>=0),(5x-x^2<6):} uu {(5x-x^2<0), (-(5x-x^2)<6):}$

Con il metodo standard:

1° sistema
${(5x-x^2>=0),(5x-x^2<6):}->{(x(5-x)>=0),(x^2-5x+6>0):}->{(x(x-5)<=0),((x-2)(x-3)>0):}->$
${(0<=x<=5),(x<2 vv x>3):}->0<=x<2 vv 3
2° sistema
${(5x-x^2<0), (-(5x-x^2)<6):}->{(x(5-x)<0), (-5x+x^2<6):}->{(x(x-5)>0), (x^2-5x-6<0):}->$
${(x<0 vv x>5), ((x-6)(x+1)<0):}->{(x<0 vv x>5), (-1-1
Se si fa l'unione di $0<=x<2 vv 3
Oppure

${(5x-x^2<6), (5x-x^2> -6):}->{(x^2-5x+6>0), (x^2-5x-6<0):}->{(x<2 vv x>3), (-1-1

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[Bad90]

"chiaraotta":La disequazione
$|5x-x^2|<6$
è equivalente a
${(5x-x^2>=0),(5x-x^2<6):} uu {(5x-x^2<0), (-(5x-x^2)<6):}$

Con il metodo standard:

1° sistema
${(5x-x^2>=0),(5x-x^2<6):}->{(x(5-x)>=0),(x^2-5x+6>0):}->{(x(x-5)<=0),((x-2)(x-3)>0):}->$
${(0<=x<=5),(x<2 vv x>3):}->0<=x<2 vv 3
2° sistema
${(5x-x^2<0), (-(5x-x^2)<6):}->{(x(5-x)<0), (-5x+x^2<6):}->{(x(x-5)>0), (x^2-5x-6<0):}->$
${(x<0 vv x>5), ((x-6)(x+1)<0):}->{(x<0 vv x>5), (-1-1
Se si fa l'unione di $0<=x<2 vv 3
Oppure

${(5x-x^2<6), (5x-x^2> -6):}->{(x^2-5x+6>0), (x^2-5x-6<0):}->{(x<2 vv x>3), (-1-1

Immagina che stavo sbagliando qualcosa Adesso rifaccio tutto e verifico gli errori che commettevo....
Infatti stavo sbagliando ad impostare il sistema già all'inizio....
Grazie mille

[Bad90]

Mi sto imbattendo con questa:

$ |3-5x|>3-x^2 $

Utilizzo il seguente metodo:
Se $ |f(x)|>k $ con $ k>0 $ allora $ f(x)<-k $

$ { ( 3-5x3-x^2 ):} $

$ { ( -x^2-5x+6<0 ),( x^2-5x>0 ):} $

$ { ( x^2+5x-6>0 ),( x^2-5x>0 ):} $

Dalla prima disequazione avrò $ x=1;x=-6 $ verificata per $ -6 Dalla seconda disequazione avrò $ x=0;x=5 $ verificata per $ x<0;x>5 $

Io concludo che la soluzione finale datta dall'unione delle due soluzioni è $ S=-6 Perchè il testo mi dice $ x<0 ^^ x>1 $

Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":
....
$ |3-5x|>3-x^2 $
....
Io concludo che la soluzione finale datta dall'unione delle due soluzioni è $ S=-6 .... il testo mi dice $ x<0^^x>1$
....

La disequazione
$|3-5x|>3-x^2$
è equivalente a
${(3-5x>=0),(3-5x>3-x^2):} uu {(3-5x<0), (-(3-5x)>3-x^2):}$

1° sistema
${(3-5x>=0),(3-5x>3-x^2):}->{(5x<=3),(x^2-5x>0):}->{(x<=3/5),(x(x-5)>0):}->$
${(x<=3/5),(x<0 vv x>5):}->x<0$

2° sistema
${(3-5x<0), (-(3-5x)>3-x^2):}->{(5x>3), (-3+5x>3-x^2):}{(x>3/5), (x^2+5x-6>0):}->$
${(x>3/5), ((x-1)(x+6)>0):}->{(x>3/5), (x<-6 vv x>1):}->x>1$.

Se si fa l'unione di $x<0$ con $x>1$ si trova che le soluzioni sono $x<0 vv x>1$.

[Bad90]

Ecco dove ho sbagliato in più di qualche disequazione:
$ 3-5x giustamente devo porre $ 3-5x>=0 $ oppure $ 3-5x<0 $ e basta, non devo considerare il secondo membro....
Grazie mille!

[giammaria2]

"Bad90": Se $ |f(x)|<=k $ con $ k>=0 $ allora $ f(x)>=-k $ quando $ f(x)<=k $ con $ k>=0 $

Va bene quanto ho detto?

Non va bene perché la tua frase non ha significato. La frase giusta è "Se $ |f(x)|<=k $ con $ k>=0 $ allora devono valere entrambe le disequazioni $ f(x)>=-k $ e $ f(x)<=k $".

Un paio di consigli: non nel titolo ma all'interno del testo metti il numero dell'esercizio; sarà più facile farvi riferimento. Inoltre cerca di limitare il numero di esercizi che ci mandi perché il tempo che dedichiamo a te viene sottratto agli altri; ti aiutiamo con piacere ma non devi esagerare. Inoltre, come ti ho già fatto notare in passato per altri argomenti, anche tu sprechi del tempo prezioso nel digitarli: meglio limitarsi a quanto veramente utile.

[Bad90]

Prendo atto dei miei errori orrori e rivedo queste disuguaglianze!
Grazie mille!

[Bad90]

"giammaria":Un paio di consigli: non nel titolo ma all'interno del testo metti il numero dell'esercizio; sarà più facile farvi riferimento. Inoltre cerca di limitare il numero di esercizi che ci mandi perché il tempo che dedichiamo a te viene sottratto agli altri; ti aiutiamo con piacere ma non devi esagerare. Inoltre, come ti ho già fatto notare in passato per altri argomenti, anche tu sprechi del tempo prezioso nel digitarli: meglio limitarsi a quanto veramente utile.

Ok, ti ringrazio per i consigli, farò tutto il mio possibile! Ho notato che avete molta pazienza e passione, non voglio approfittare e solo che passo la maggior parte del mio tempo con i testi di matematica e talvolta mi rendo pesante . Scusatemi..
Grazie mille!

[Bad90]

Una domanda su questa disequazione....

$ |x^2-1|+x^2>x $

Ma non ho un termine noto, quindi si potrebbe pensare direttamente alla soluzione dicendo che $ S=x != 1 $
Secondo me non occorre risolvere nessun sistema.

[Bad90]

Adesso sto cercando di capire questa:

$ (x-3)^2-|x-3|-2<0 $

Ancora non avevo incontrato un caso simile... Comunque provo a risolverla...

Se $ |f(x)|>=0 $ ossia $ x-3>=0 $ avrò $ x>=3 $ il Valore Assoluto sarà $ x-3 $
Se $ |f(x)|<0 $ ossia $ x-3<0 $ avrò $ x<3 $ il Valore Assoluto sarà $ -(x-3)=>-x+3 $

Spero di non aver detto nessuna cavolata......

Primo sistema

$ { ( x-3>=0 ),( x^2-6x+7-(x-3)<0 ):} $

$ { ( x>=3 ),( x^2-6x+7-x+3<0 ):} $

$ { ( x>=3 ),( x^2-7x+10<0 ):} $

$ { ( x>=3 ),( 3
Secondo sistema

$ { ( x-3<0 ),( x^2-6x+7-(-x+3)<0 ):} $

$ { ( x<3 ),( x^2-5x+4<0 ):} $

$ { ( x<3 ),( 1
Se adesso faccio $ S_1 uu S_2 $ le zone comuni sarà $ 1

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[giammaria2]

L'ultima è giusta nella sostanza ma non nella forma; la conclusione del primo sistema dovrebbe essere
${(x<=3),(23<=x<5$
La tua ultima formula infatti non è diretta conseguenza di quella precedente ma si ottiene mettendo a sistema le due disequazioni; nei casi complicati lo fai con un grafico e in questo, così semplice, puoi anche farlo solo a mente, come mi pare che tu abbia fatto. Discorso analogo vale per la conclusione del secondo sistema.

Per l'esercizio precedente, il termine noto c'è ed è dentro al valore assoluto; se anche mancasse, l'unica conclusione possibile sarebbe prevedere che zero sia un caposaldo. La risolvi con lo stesso metodo di quella dopo.

[Bad90]

"giammaria":L'ultima è giusta nella sostanza ma non nella forma; la conclusione del primo sistema dovrebbe essere
${(x<=3),(23<=x<5$

Si è giusta la tua correzione, ti ringrazio, adesso rivedo il tutto!

[Bad90]

Provo a fare tutti gli step....

$ |x^2-1|+x^2>x $


Se $ |f(x)|>=0 $ ossia $ x^2-1>=0 $ avrò $ x>=1;x>=-1 $ il Valore Assoluto sarà $ x^2-1 $
Se $ |f(x)|<0 $ ossia $ x^2-1<0 $ avrò $ x<1;x< -1 $ il Valore Assoluto sarà $ -(x^2-1) $

Primo sistema

$ { ( x^2-1>=0 ),( x^2-1+x^2>x ):} $

$ { ( x>=1;x>=-1 ),( 2x^2-x-1>0 ):} $

$ { ( x>=1;x<=-1 ),( x>1;x<-1/2 ):}=> ( x>=1;x<=-1 ) $

Secondo sistema

$ { ( x^2-1<0 ),( -(x^2-1)+x^2>x ):} $

$ { ( x^2-1<0 ),( -x^2+1+x^2>x ):} $

$ { ( x^2-1<0 ),( +1-x>0 ):} $

$ { ( x^2-1<0 ),( x<1 ):} $

$ { ( x<-1;x<1 ),( x<1 ):}=>(-1
Adesso il testo mi dice che $ S=x != 1 $ , ma io non lo sto capendo!

[chiaraotta1]

"Bad90":Provo a fare tutti gli step....

$ |x^2-1|+x^2>x $


Se $ |f(x)|>=0 $ ossia $ x^2-1>=0 $ avrò $ x>=1;x>=-1 $ il Valore Assoluto sarà $ x^2-1 $
Se $ |f(x)|<0 $ ossia $ x^2-1<0 $ avrò $ x<1;x< -1 $ il Valore Assoluto sarà $ -(x^2-1) $

Se $ f(x)>=0 $, ossia $x^2-1>=0 $ e quindi per $ x<=-1 vv x>=1$, si ha che $|x^2-1|= x^2-1$
Se $ f(x)<0 $, ossia $x^2-1<0 $ e quindi per $-1

"Bad90":
Primo sistema

$ { ( x^2-1>=0 ),( x^2-1+x^2>x ):} $

$ { ( x<=-1 vv x>=1),( 2x^2-x-1>0 ):} $

$ { (x<=-1 vv x>=1 ),( (x-1)(2x+1)>0 ):}$

$ { (x<=-1 vv x>=1 ),( x<-1/2 vv x>1):} => ( x<=-1 vv x>1) $

"Bad90":
Secondo sistema

$ { ( x^2-1<0 ),( -(x^2-1)+x^2>x ):} $

$ { ( x^2-1<0 ),( -x^2+1+x^2>x ):} $

$ { ( x^2-1<0 ),( +1-x>0 ):} $

$ { ( x^2-1<0 ),( x<1 ):} $

$ { ( -1(-1
Facendo l'unione di $x<=-1 vv x>1$ con $-11$ che è lo stesso che $x!=1$.

[Bad90]

Grazie mille,

[Bad90]

Questa mi sta dando la morte...

$ |-1-2x^2-x|>2x^2-9 $

Adesso vedo quello che riesco a fare.

Se $ |f(x)|>=0 $ ossia $ -1-2x^2-x>=0 $ penso diventi $ 2x^2+x+1<=0 $ ma così avrò $ Delta<0 $ il ed essendo sempre positiva allora dico che è falsa!
Se $ |f(x)|<0 $ ossia $ -1-2x^2-x<0 $ penso diventi $ 2x^2+x+1>0 $ il $ Delta<0 $ ma la disequazione è sempre vera!

Per il primo caso penso non serve fare nessuna considerazione!
Per il secondo caso sto avendo dei dubbi!

Adesso continua provare....

[@melia]

Se $f(x)<0 \ \$ $AA x in RR$ allora $|f(x)|= - f(x)$ e non servono condizioni di alcun tipo

[Bad90]

"@melia":Se $f(x)<0 \ \$ $AA x in RR$ allora $|f(x)|= - f(x)$ e non servono condizioni di alcun tipo

Scusami, ma significa non fare nemmeno calcoli?
Si arriva a dire direttamente è sempre vera per tutto $ R $

Essendo una disequazione che mi sta facendo dannare, mi chiedo perchè allora il testo dice come $ S=x> -10 $



Grazie melia!

[@melia]

Per togliere il modulo non servono condizioni, basta cambiare di segno l'argomento, poi hai la disequazione da risolvere.