Equazioni in valore assoluto

[Bad90]

Questo è il primo esercizio della serie, adesso vedo cosa riesco a fare.....

$ |x^2-x|=2x $

Come bisogna iniziare?
Provo a dire qualcosa.....

la quantità in valore assoluto è $ |x^2-x|$ , quindi analizziamo i due casi:
$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Va bene quello che ho detto fin quì?

Analizzo il primo caso

$x^2-x>=0 $ sara' $ x(x-1)>=0 $ verificata per $ x<=0 ^^ x>=1 $, quindi $|x^2-x|=x^2-x$

Analizzo il secondo caso

$x^2-x<0 $ sara' $ x(x-1)<0 $ verificata per $ 0
Se non sto per dire una cavolata, penso che entrambi i sistemi sono possibili in $ R $ , quindi posso pensare di risolvere il sistema....

Sistema 1

$ { ( x^2-x=2x ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x^2-3x=0 ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x(x-3)=0 ),( x^2-x>=0 ):} $

$ { ( x=0;x=3 ),( x>=0;x>=1 ):} $

Se non erro, le soluzioni sono accettabili perchè rientrano nel caso $ x>=0 ^^ x>=1 $

Sistema 2

$ { ( -x^2+x=2x ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( -x^2-x=0 ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( x^2+x=0 ),( x^2-x<0 ):} $

$ { ( x=0;x=-1 ),( x>0;x>1 ):} $

Se non erro, le soluzioni non sono accettabili perchè non rientrano nel caso $ x>0 ^^ x>1 $

Cosa ne dite
Se non ho sbagliato nulla, allora offro un caffè a tutti!
Se ho sbagliato qualcosa, allora offro due caffè a tutti!

Grazie anticipatamente!

[_prime_number]

Devi mettere un po' più ordine alle idee.
Prima di tutto nota che $2x\geq 0 \to x\geq 0$ altrimenti l'equazione non ha senso. Questo consideralo un dominio.
Detto ciò, utilizzando i tuoi conti riguardo al segno di $x^2-x$, i sistemi diventano
Sistema 1
$\{(x\geq 0),(x\leq 0 \vee x\geq 1),(x^2-x=2x):}\to \{(x\geq 1),(x(x-3)=0):}\to x=3,0$
Sistema 2
$\{(x\geq 0),(0\< x< 1),(x-x^2=2x):}\to \{(0
Un modo alternativo era notare che $x\geq 0$ per le C.E. e raccogliere:
$|x|\cdot |x+1|=2x \to x=0 \vee |x-1|=2$. La seconda equazione si risolve con la definizione di valore assoluto (ovvero $|x|=C$ se e solo se $x=\pm C$) e si ottiene $x-1 =\pm 2\to x=3, x=-1$. L'ultimo valore si scarta per dominio, quindi le soluzioni finali sono di nuovo $x=0,3$.

Un tuo "errore" è stato aver fatto i conti sul segno di $x^2-x$ e poi non averli inclusi nel sistema. Inoltre le condizioni iniziali non le hai proprio messe.

Un piccolo suggerimento durante il compito: quando hai trovato le soluzioni verificale nell'equazione iniziale, così eviterai errori ed acquisirai sicurezza.

Paola

Paola

[Bad90]

"prime_number":Devi mettere un po' più ordine alle idee.
Prima di tutto nota che $2x\geq 0 \to x\geq 0$ altrimenti l'equazione non ha senso. Questo consideralo un dominio.
Detto ciò, utilizzando i tuoi conti riguardo al segno di $x^2-x$, i sistemi diventano
Sistema 1
$\{(x\geq 0),(x\leq 0 \vee x\geq 1),(x^2-x=2x):}\to \{(x\geq 1),(x(x-3)=0):}\to x=3,0$
Sistema 2
$\{(x\geq 0),(0\< x< 1),(x-x^2=2x):}\to \{(0
Un modo alternativo era notare che $x\geq 0$ per le C.E. e raccogliere:
$|x|\cdot |x+1|=2x \to x=0 \vee |x-1|=2$. La seconda equazione si risolve con la definizione di valore assoluto (ovvero |x|=C se e solo se $x=\pm C$) e si ottiene $x-1 =\pm 2\to x=3, x=-1$. L'ultimo valore si scarta per dominio, quindi le soluzioni finali sono di nuovo $x=0,3$.

Un tuo "errore" è stato aver fatto i conti sul segno di $x^2-x$ e poi non averli inclusi nel sistema. Inoltre le condizioni iniziali non le hai proprio messe.

Un piccolo suggerimento durante il compito: quando hai trovato le soluzioni verificale nell'equazione iniziale, così eviterai errori ed acquisirai sicurezza.

Paola

Paola

Ti ringrazio Paola, adesso vedo di concentrarmi su quanto mi hai detto!
Sei stata gentilissima!

[Bad90]

"prime_number":Devi mettere un po' più ordine alle idee.

Confermo!

"prime_number":
$|x|\cdot |x+1|=2x \to x=0 \vee |x-1|=2$. La seconda equazione si risolve con la definizione di valore assoluto (ovvero $|x|=C$ se e solo se $x=\pm C$) e si ottiene $x-1 =\pm 2\to x=3, x=-1$. L'ultimo valore si scarta per dominio, quindi le soluzioni finali sono di nuovo $x=0,3$.

Spero quanto prima di arrivare ad acquisire questo linguaggio

Grazie mille!

[_prime_number]

La pratica rende perfetti.

Paola

[chiaraotta1]

"prime_number":....
Sistema 1
$\{(x\geq 0),(x\leq 0 \vee x\geq 1),(x^2-x=2x):}\to \{(x\geq 1),(x(x-3)=0):}\to x=3,0$

Non è che sia
Sistema 1
${(x>=0), (x<=0 vv x>=1), (x^2-x=2x):}->{(x=0 vv x>=1), (x(x-3)=0):}->x=3, 0$?

[Bad90]

"prime_number":La pratica rende perfetti.

Paola

Infatti ci sto lavorando!

[_prime_number]

Sì chiaraotta, giusta correzione.
Continua così Bad90, facendo tanti esercizi sei sulla buona strada.

Paola

[Bad90]

"prime_number":Sì chiaraotta, giusta correzione.
Continua così Bad90, facendo tanti esercizi sei sulla buona strada.

Paola

Infatti ho pensato che solo così potrò raggiungere gli obbiettivi prefissi!

[Bad90]

Scusate, ne ho risolto ancora uno:
$ |2x^2-9|=x^2 $

Analizziamo i due casi:
$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Primo caso

$2x^2-9>=0 $ sara' $ x^2>=9/2 $ con $ x>=(-3sqrt(2))/2 $ , quindi $ x>=(+3sqrt(2))/2 $ verificata per $ x>=(+3sqrt(2))/2 $ e $ x<=(-3sqrt(2))/2 $

Secondo caso

$2x^2-9<0 $ sara' $ x^2<9 $ con $ x<(-3sqrt(2))/2 $ , quindi $ x<(+3sqrt(2))/2 $ verificata per $ -3sqrt(2)
Possibili in $ R $ , quindi posso pensare di risolvere il sistema....

Va bene fin quì?

Sistema 1

$ { ( 2x^2-9=x^2 ),( 2x^2-9=>=0 ):} $

$ { ( x=+3;x=-3 ),( f(x)>=0 ):} $

Soluzioni accettabili perchè rientrano nel caso $ x>=(-3sqrt(2))/2^^ x>=(+3sqrt(2))/2 $

Sistema 2

$ { ( -2x^2+9=x^2 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( x^2=-3 ),( f(x)<0 ):} $

Non sono accettabile perchè non è possibile in $ R $

Sempre se tutto va bene.... Ma avrei dovuto imporre le $ C.E. $
Ho pensato di no perchè, $ 2x^2-9=x^2 $ porta a $ x^2-9=0 $, che è un quadrato perfetto!?!?!
Ho detto e pensato bene?

Comunque $ S=+3;-3 $
Grazie anticipatamente!

[chiaraotta1]

"Bad90":....
Sistema 2

$ { ( -2x^2+9=x^2 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( x^2=-3 ),( f(x)<0 ):} $
.....

Guarda che
$-2x^2+9=x^2->3x^2=9->x^2=3->x=+-sqrt(3)$ .....

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]....
Sistema 2

$ { ( -2x^2+9=x^2 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( x^2=-3 ),( f(x)<0 ):} $
.....

Guarda che
$-2x^2+9=x^2->3x^2=9->x^2=3->x=+-sqrt(3)$ .....[/quote]

Accipicchia, errore orrore
Grazie mille, adesso correggo tutto.....

$ |2x^2-9|=x^2 $

Analizziamo i due casi:
$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Primo caso

$2x^2-9>=0 $ sara' $ x^2>=9/2 $ con $ x>=(-3sqrt(2))/2 $ , quindi $ x>=(+3sqrt(2))/2 $ verificata per $ x>=(+3sqrt(2))/2 $ e $ x<=(-3sqrt(2))/2 $

Secondo caso

$2x^2-9<0 $ sara' $ x^2<9 $ con $ x<(-3sqrt(2))/2 $ , quindi $ x<(+3sqrt(2))/2 $ verificata per $ -3sqrt(2)
Possibili in $ R $ , quindi posso pensare di risolvere il sistema....

Va bene fin quì?

Sistema 1

$ { ( 2x^2-9=x^2 ),( 2x^2-9=>=0 ):} $

$ { ( x=+3;x=-3 ),( f(x)>=0 ):} $

Soluzioni accettabili perchè rientrano nel caso $ x>=(-3sqrt(2))/2^^ x>=(+3sqrt(2))/2 $

Sistema 2

$ { ( -2x^2+9=x^2 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( -3x^2+9=0 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( 3x^2-9=0 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( x=+3;x=-3 ),( f(x)<0 ):} $

Segue $ S=3;-3 $

[Bad90]

Adesso provo con questa:

$ |x^2|-2x+1=0 $

I due casi:
$ |f(x)|=f(x) $ se $ f(x)>=0 $ (caso uno)
$ |f(x)|=-f(x) $ se $ f(x)<0 $ (caso due)

Primo caso

$ x^2>=0=>x>=0 $

Secondo caso

$ x^2<0=>x<0 $

Sistema 1

$ { ( x^2-2x+1=0 ),( f(x)>=0 ):} $

$ { ( x=1 ),( f(x)>=0 ):} $

Accettabile perchè rientra nel caso $ x>=0 $

Sistema 2

$ { ( -x^2-2x+1=0 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( x^2+2x-1=0 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( x=1-sqrt(2);x=1+sqrt(2)) ,( f(x)<0 ):} $

Per il secondo sistema, come devo rispondere?

Grazie mille!

[_prime_number]

No, $x^2$ è sempre positivo. Dunque puoi levare subito il valore assoluto e risolvere la semplice eq. di secondo grado.

Paola

[Bad90]

"prime_number":No, $x^2$ è sempre positivo. Dunque puoi levare subito il valore assoluto e risolvere la semplice eq. di secondo grado.

Paola

Accipicchia! Grazie mille per avermi ricordato questo........

[chiaraotta1]

"Bad90":
....
Sistema 2

$ { ( -2x^2+9=x^2 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( -3x^2+9=0 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( 3x^2-9=0 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( x=+3;x=-3 ),( f(x)<0 ):} $

Segue $ S=3;-3 $

$ 3x^2-9=0 ->x=+-sqrt(3)$

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]
....
Sistema 2

$ { ( -2x^2+9=x^2 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( -3x^2+9=0 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( 3x^2-9=0 ),( f(x)<0 ):} $

$ { ( x=+3;x=-3 ),( f(x)<0 ):} $

Segue $ S=3;-3 $

$ 3x^2-9=0 ->x=+-sqrt(3)$[/quote]
Secondo me è la stanchezza che mi sta facendo sbagliare!
Grazie mille!

[Bad90]

"prime_number":No, $x^2$ è sempre positivo. Dunque puoi levare subito il valore assoluto e risolvere la semplice eq. di secondo grado.

Paola

Scusate ma ho riprovato a risolverlo e mi sembra che il secondo sistema e' impossibile, in quanto $ x^2=0 $ e' impossibile, perche' sara sempre positivo!
Inoltre la disequazione non puo' essere verificata perche' non potra' mai essere minore di 0, quindi l' unica soluzione e' del primo sistema $ S=1 $ .
Ho detto bene?
Grazie mille.

[chiaraotta1]

"Bad90":
.....

Secondo caso

$ x^2<0=>x<0 $

....

No. $x^2<0$ è impossibile ....

[Bad90]

Ok, mi fermo con il dire solo $ x^2<0 $ impossibile. Grazie mille.

[Bad90]

Non so come trattare questa disequazione:

$ |-3x^2-7| -10=8x $

Nei due casi, mi viene di trattare un quadrato al primo membro e al secondo membro un valore negativo, mi sta facendo impallare.....
Coma si puo'?
$ x^2<=-7/3 $

Grazie mille.