Elisse-Iperbole
Nello studio del primo paragrafo, mi sono trovato avanti a studiare la seguente formula:
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
$ sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a $
Mediante passaggi algebrici, il testo arriva alla seguente:
$ a^2y^2+(a^2-c^2)x^2=a^2(a^2-c^2) $
Io ho provato a replicare i passaggi iniziando dalla formula di partenza, e sono arrivato alla fine di tutto, ad ottenere:
$ x^2(c^2-a^2)+a^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0 $
Adesso mi chiedo se quello che ho ottenuto io, e' la stessa cosa di quello che alla fine ha ottenuto il testo!
Insomma, se volessi verificare da solo, cosa devo fare? Devo sostituire dei numeri alle lettere e fare le verifiche?
Io ho provato a dar a tutte le lettere il valore di $ 1 $, nella mia formula finale ho ottenuto $ 1=0 $ , mentre in quella del testo ho ottenuto che $ 0=-1 $ ! Penso sia la stessa cosa?!? Giusto?
La cosa che non mi è tanto chiara è alla fine quando dice:
Poichè nel triangolo $ PFF' $ risulta $ PF+PF'>FF'$, cioè $ 2a>2c $ (e quindi $ a>c $ ), si può porre $ b^2=a^2-c^2 $
Poi dice l'osservazione, "che non mi è chiara":
Si noti che i due innalzamenti al quadrato non hanno introdotto soluzioni estrnee all'equazione, infatti le soluzioni:
$ -bar(PF')+bar(PF)=2a $
$ bar(PF')-bar(PF)=2a $
$ -bar(PF')-bar(PF)=2a $
dice che sono da escludere perchè le prime due contraddirebbero le disuguaglianze sui lati di un triangolo e la terza sarebbe assurda essendo, per ipotesi , $ 2a>0 $
N.B. L'equazione dell'elisse è:
$ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $
Risposte
Si, ho ottenuto anche io lo stesso!
Quindi per il valore di $ b^2 $ , penso si possa dire che è lo stesso in quanto il caso vuole che la differenza dei valori è nei punti sull'asse $ x $
Vero?
Quindi per il valore di $ b^2 $ , penso si possa dire che è lo stesso in quanto il caso vuole che la differenza dei valori è nei punti sull'asse $ x $
Vero?
Esercizio 34
Trovare le equazioni delle tangenti comuni all'iperbole $ 9x^2-y^2=36 $ e alla circonferenza $ x^2+y^2=2 $ .
Bene, non sto riuscendo ad arrivare alla giusta soluzione che richiede il testo, ma sono riuscito a trovare delle retta comuni ad entrambi.
Ho trovato il punto di intersezione tra asse $ x $ e iperbole, che sono i punti $ A(2,0)^^A'(-2,0) $ , imposto il sistema con la retta passante per il punto $ A(2,0) $ ed ho:
$ { ( y=xm-2m ),( x^2+y^2=2 ):} $
Arrivo alla seguente equazione:
$ x^2(1+m^2)-x(4m^2)+4m^2-2=0 $
Risolvo nell'incognita $ m = +-1$ ed avrò le rette:
$ y=x-2^^y=-x+2 $
Non sto capendo come arrivare alla giusta soluzione, se queste rette passante per il punto $ A(2,0) $, hanno in comune dei punti, come devo fare
Trovare le equazioni delle tangenti comuni all'iperbole $ 9x^2-y^2=36 $ e alla circonferenza $ x^2+y^2=2 $ .
Bene, non sto riuscendo ad arrivare alla giusta soluzione che richiede il testo, ma sono riuscito a trovare delle retta comuni ad entrambi.
Ho trovato il punto di intersezione tra asse $ x $ e iperbole, che sono i punti $ A(2,0)^^A'(-2,0) $ , imposto il sistema con la retta passante per il punto $ A(2,0) $ ed ho:
$ { ( y=xm-2m ),( x^2+y^2=2 ):} $
Arrivo alla seguente equazione:
$ x^2(1+m^2)-x(4m^2)+4m^2-2=0 $
Risolvo nell'incognita $ m = +-1$ ed avrò le rette:
$ y=x-2^^y=-x+2 $
Non sto capendo come arrivare alla giusta soluzione, se queste rette passante per il punto $ A(2,0) $, hanno in comune dei punti, come devo fare
L'equazione dell'ellisse è $x^2/169+y^2/25=1$.
Quindi l'ellisse ha $a_e^2=169->a_e=13$, $b_e^2=25->b_e=5$ e dunque $c_e^2=a_e^2-b_e^2=169-25=144->c_e=12$.
L'iperbole ha $a_i=c_e=12->a_i^2=144$, $c_i=a_e=13->c_i^2=169$ e quindi $b_i^2=c_i^2-a_i^2=169-144=25$.
Perciò l'equazione dell'iperbole è $x^2/144-y^2/25=1$.
Quindi l'ellisse ha $a_e^2=169->a_e=13$, $b_e^2=25->b_e=5$ e dunque $c_e^2=a_e^2-b_e^2=169-25=144->c_e=12$.
L'iperbole ha $a_i=c_e=12->a_i^2=144$, $c_i=a_e=13->c_i^2=169$ e quindi $b_i^2=c_i^2-a_i^2=169-144=25$.
Perciò l'equazione dell'iperbole è $x^2/144-y^2/25=1$.
"Bad90":
Esercizio 34
Non ho capito che ragionamento hai fatto. Perché hai cercato i vertici dell'iperbole e le tangenti alla circonferenza che passano per quei punti? E' ovvio che queste rette non possono essere tangenti all'iperbole: le tangenti all'iperbole nei vertici sono parallele all'asse $y$ ...
"chiaraotta":
Esercizio 34
Non ho capito che ragionamento hai fatto. Perché hai cercato i vertici dell'iperbole e le tangenti alla circonferenza che passano per quei punti? E' ovvio che queste rette non possono essere tangenti all'iperbole: le tangenti all'iperbole nei vertici sono parallele all'asse $y$ ...
Ma come faccio ad impostare la soluzione? Devo mettere a sistema le due equazioni?
$ { ( 9x^2-y^2=36 ),( x^2+y^2=2 ):} $
Perchè sto provando con questo sistema, ma non sto riuscendo a risolverlo!
Oppure ricavo la $ x $ dalla seguente $ 9x^2-y^2=36 $
$ x=sqrt((36+y^2)/9) $
La $ y $ dalla seguente $ x^2+y^2=2 $
$ y=sqrt(2-x^2) $
Poi imposto l'equazione della retta nel seguente modo?
$ y-sqrt(2-x^2)=m(x-sqrt((36+y^2)/9)) $
HELP!
Fare un sistema di due equazioni significa cercarne le soluzioni comuni. Se le equazioni rappresentano due curve, le eventuali soluzioni comuni sono i punti d'intersezione.
Quindi scrivere il sistema
${(9x^2-y^2=36), (x^2+y^2=2):}$
significa cercare i punti comuni tra iperbole e cerchio (che poi non ci sono e infatti il sistema è impossibile).
Cosa c'entra questo con quanto richiede il problema, cioè di cercare delle rette che siano tangenti simultaneamente alle due curve?
Quindi scrivere il sistema
${(9x^2-y^2=36), (x^2+y^2=2):}$
significa cercare i punti comuni tra iperbole e cerchio (che poi non ci sono e infatti il sistema è impossibile).
Cosa c'entra questo con quanto richiede il problema, cioè di cercare delle rette che siano tangenti simultaneamente alle due curve?
Infatti, non esistono punti comuni!
E allora come faccio ad arrivare alla retta che mi interessa
Saprei rispondere nel momento in cuì la traccia mi avrebbe dato dei punti, in tal caso avrei impostato la retta ed avrei ricavato il valore di $ m $ !
Ma con i dati che ho, non so come fare! Anche perchè non mi sono mai trovato in circostanze simili!
E allora come faccio ad arrivare alla retta che mi interessa
Saprei rispondere nel momento in cuì la traccia mi avrebbe dato dei punti, in tal caso avrei impostato la retta ed avrei ricavato il valore di $ m $ !
Ma con i dati che ho, non so come fare! Anche perchè non mi sono mai trovato in circostanze simili!
Per l'Esercizio 34, nel Web non ho trovato niente, sul mio testo non ho trovato niente che parla di questi casi di esercizi!
Esercizio 35
Data l'ellisse di equazione $ 9x^2+25y^2=225 $ , scrivere l'equazione dell'iperbole che ha come fuochi quelli dell'ellisse e come eccentricità il reciproco di quella dell'ellisse.
L'ellisse $ 9x^2+25y^2=225 $ scritta in forma canonica è:
$ x^2/25+y^2/9=1 $
Da questa so che $ a^2=25^^b^2=9 $ , e che nell'ellisse $ a^2=b^2+c^2 $ , in questo caso ricaviamo il fuoco, dato dal valore di $ c^2=a^2-b^2 $:
$ c^2=16 $
Le coordinate del fuoco sono le stesse per l'iperbole, quindi abbiamo lo stesso $ c^2=16 $ , ma nell'iperbole bisogna ricordare che $ c^2=a^2+b^2 $.
Dell'ellisse so che l'eccentricità è $ e=c/a $ quindi $ e=4/5 $ ed il suo reciproco che sarà l'eccentricità dell'iperbole è:
$ e=c/a=5/4 $
Quindi $ e=4/a=5/4 => a=16/5 => a^2=256/25 $
Adesso che conosco il valore di $ a^2 $ dalla seguente $ c^2=a^2+b^2 $, ricavo $ b^2 $, quindi:
$ b^2=16-256/25=> 144/25 $
Segue che l'iperbole sarà:
$ (25x^2)/256-(25y^2)/144=1 $
Data l'ellisse di equazione $ 9x^2+25y^2=225 $ , scrivere l'equazione dell'iperbole che ha come fuochi quelli dell'ellisse e come eccentricità il reciproco di quella dell'ellisse.
L'ellisse $ 9x^2+25y^2=225 $ scritta in forma canonica è:
$ x^2/25+y^2/9=1 $
Da questa so che $ a^2=25^^b^2=9 $ , e che nell'ellisse $ a^2=b^2+c^2 $ , in questo caso ricaviamo il fuoco, dato dal valore di $ c^2=a^2-b^2 $:
$ c^2=16 $
Le coordinate del fuoco sono le stesse per l'iperbole, quindi abbiamo lo stesso $ c^2=16 $ , ma nell'iperbole bisogna ricordare che $ c^2=a^2+b^2 $.
Dell'ellisse so che l'eccentricità è $ e=c/a $ quindi $ e=4/5 $ ed il suo reciproco che sarà l'eccentricità dell'iperbole è:
$ e=c/a=5/4 $
Quindi $ e=4/a=5/4 => a=16/5 => a^2=256/25 $
Adesso che conosco il valore di $ a^2 $ dalla seguente $ c^2=a^2+b^2 $, ricavo $ b^2 $, quindi:
$ b^2=16-256/25=> 144/25 $
Segue che l'iperbole sarà:
$ (25x^2)/256-(25y^2)/144=1 $
Esercizio 34
Osservando la figura noti che la tangente cercata non è parallela all'asse y quindi puoi indicarla con $y=mx+q $.
Imponi ora che sia tangente alla circonferenza (o con $Delta=0$ e chiedendo che disti $sqrt2$ dall'origine); ottieni $2m^2-q^2+2=0$.
Se invece imponi la tangenza all'iperbole (con $Delta=0$) ottieni $-4m^2+q^2+36=0$.
Mettendo a sistema le due equazioni così ottenute trovi la tangente comune, o meglio le 4 tangenti comuni, dato che sia $m$ che $q$ hanno il $+-$.
Osservando la figura noti che la tangente cercata non è parallela all'asse y quindi puoi indicarla con $y=mx+q $.
Imponi ora che sia tangente alla circonferenza (o con $Delta=0$ e chiedendo che disti $sqrt2$ dall'origine); ottieni $2m^2-q^2+2=0$.
Se invece imponi la tangenza all'iperbole (con $Delta=0$) ottieni $-4m^2+q^2+36=0$.
Mettendo a sistema le due equazioni così ottenute trovi la tangente comune, o meglio le 4 tangenti comuni, dato che sia $m$ che $q$ hanno il $+-$.
"giammaria":
chiedendo che disti $sqrt2$ dall'origine
Perchè?
Da dove è venuto fuori il radical 2
"giammaria":
puoi indicarla con $y=mx+q $
Cosa è che ti ha fatto pensare di utilizzare $y=mx+q $
Io ho pensato anche di utilizzare la formula della retta passante per due punti, che è sbagliato!
Ti ringrazio!
Sono arrivato a questa $2m^2-q^2+2=0$, mettendo a sistema le seguenti:
$ { ( y=mx+q ),( x^2+y^2=5 ):} $
Mentre a questa $-4m^2+q^2+36=0$ sono arrivato impostando il seguente sistema:
$ { ( y=mx+q ),( 9x^2-y^2=36 ):} $
Grazie ai tuoi consigli sono arrivato alle giuste conclusioni:
$ y=+-sqrt(19)x+-2sqrt(10) $
$ { ( y=mx+q ),( x^2+y^2=5 ):} $
Mentre a questa $-4m^2+q^2+36=0$ sono arrivato impostando il seguente sistema:
$ { ( y=mx+q ),( 9x^2-y^2=36 ):} $
Grazie ai tuoi consigli sono arrivato alle giuste conclusioni:
$ y=+-sqrt(19)x+-2sqrt(10) $
Avevo scritto "chiedendo che disti $sqrt2$ dall'origine" perché uno dei metodi che si usano è: una retta è tangente ad una circonferenza quando la sua distanza dal centro è uguale al raggio (nel nostro caso il centro è l'origine e il raggio è $sqrt2$).
"giammaria":
Avevo scritto "chiedendo che disti $sqrt2$ dall'origine" perché uno dei metodi che si usano è: una retta è tangente ad una circonferenza quando la sua distanza dal centro è uguale al raggio (nel nostro caso il centro è l'origine e il raggio è $sqrt2$).
Per fortuna che sto facendo questi esercizi di riepilogo, sto puntualizzando un sacco di cose!
Ti ringrazio!
Esercizio 36
Determinare il valore di $ q $ in modo tale che la retta $ y=5/2x+q $ tagli l'iperbole $ x^2/9-y^2/36=1 $
Sono arrivato alla seguente soluzione $ q=+-9/2 $ mentre il testo dice che le soluzioni sono $ q=<-9/2^^q >9/2 $! Non trattandosi di disequazioni, vuol dire che si stanno indicando delle zone $ > $ o $ < $ , giusto?
Ma vedendo l'immagine che segue, non riesco a confermare quanto detto dal testo:
Come si può spiegare quel $ q=<-9/2^^q >9/2 $
Determinare il valore di $ q $ in modo tale che la retta $ y=5/2x+q $ tagli l'iperbole $ x^2/9-y^2/36=1 $
Sono arrivato alla seguente soluzione $ q=+-9/2 $ mentre il testo dice che le soluzioni sono $ q=<-9/2^^q >9/2 $! Non trattandosi di disequazioni, vuol dire che si stanno indicando delle zone $ > $ o $ < $ , giusto?
Ma vedendo l'immagine che segue, non riesco a confermare quanto detto dal testo:
Come si può spiegare quel $ q=<-9/2^^q >9/2 $
Esercizio 37
Stabilire per la seguente equazione se essa rappresenta un'iperbole equilatera e, in caso affermativo, determinare il centro $ O' $ ed un vertice $ A $.
$ y=(2x-3)/(x-1) $
N.B. Questi esercizi, fanno parte della funzione omografica, il mio testo parla pochissimo di questo argomento!
Cosa significa Funzione Omografica?
Come bisogna risolvere i seguenti esercizi?
Sto cercando qualcosa nel web, ma sto trovando solo delle formule e passaggi algebrici
Poi non sto capendo quando mi viene detto che l'asse delle $ x=a/c $ e $ y=-d/c $
A cosa fa riferimento per dire $ x=a/c $ e $ y=-d/c $
Datemi conferma di quanto sto per dire.....
$ a,b,c,d $ sono delle costanti assegnate che centrano solo in questa formula $ y=(ax+b)/(cx+d) $ , quindi non sono costanti che derivano da argomenti tipo corconferenze, ellisse, parabole ecc., ma fanno strettamente parte di questo argomento "Funzione Omografica".
Restando alla soluzione della traccia dell'esercizio, si potrebbero avere due casi:
a) Che la funzione omografica rappresenta una retta, se $ c=0^^d != 0 $ oppure $ c!= 0 ^^ad-bc=0 $
b) Che è una iperbole equilatera traslata se $ c != 0^^ad != bc $
Nel caso della traccia si ha $ O'(1,2) $ , risulta una iperbole traslata!
Come faccio a calcolare il vertice? Con quale bisettrice devo intersecarlo?
Ho pensato di trovare le bisettrici degli assi traslati, nel seguente modo:
Sapendo che $ x=-y $ allora $ x+1=-y+2 $, segue $ x+y=3 $ quindi una bisettrice del piano è:
$ x=3-y $
Adesso imposto il sistema che segue:
$ { ( x=3-y ),( y=(2x-3)/(x-1) ):} $
Ed prendo un vertice che sarà $ A(2,1) $
Grazie mille!
Stabilire per la seguente equazione se essa rappresenta un'iperbole equilatera e, in caso affermativo, determinare il centro $ O' $ ed un vertice $ A $.
$ y=(2x-3)/(x-1) $
N.B. Questi esercizi, fanno parte della funzione omografica, il mio testo parla pochissimo di questo argomento!
Cosa significa Funzione Omografica?
Come bisogna risolvere i seguenti esercizi?
Sto cercando qualcosa nel web, ma sto trovando solo delle formule e passaggi algebrici
Poi non sto capendo quando mi viene detto che l'asse delle $ x=a/c $ e $ y=-d/c $
A cosa fa riferimento per dire $ x=a/c $ e $ y=-d/c $
Datemi conferma di quanto sto per dire.....
$ a,b,c,d $ sono delle costanti assegnate che centrano solo in questa formula $ y=(ax+b)/(cx+d) $ , quindi non sono costanti che derivano da argomenti tipo corconferenze, ellisse, parabole ecc., ma fanno strettamente parte di questo argomento "Funzione Omografica".
Restando alla soluzione della traccia dell'esercizio, si potrebbero avere due casi:
a) Che la funzione omografica rappresenta una retta, se $ c=0^^d != 0 $ oppure $ c!= 0 ^^ad-bc=0 $
b) Che è una iperbole equilatera traslata se $ c != 0^^ad != bc $
Nel caso della traccia si ha $ O'(1,2) $ , risulta una iperbole traslata!
Come faccio a calcolare il vertice? Con quale bisettrice devo intersecarlo?
Ho pensato di trovare le bisettrici degli assi traslati, nel seguente modo:
Sapendo che $ x=-y $ allora $ x+1=-y+2 $, segue $ x+y=3 $ quindi una bisettrice del piano è:
$ x=3-y $
Adesso imposto il sistema che segue:
$ { ( x=3-y ),( y=(2x-3)/(x-1) ):} $
Ed prendo un vertice che sarà $ A(2,1) $
Grazie mille!
Esercizio 36
La retta e l'iperbole si tagliano quando ci sono intersezioni reali, cioè quando $Delta>=0$ e questa è una disequazione che nel tuo problema ha come soluzioni $q<=-9/2 vv q>=9/2$. Lo vedi anche dal grafico: se dai un valore compreso fra quei due estremi, ad esempio $q=0$, la retta corrispondente non interseca l'iperbole.
Esercizio 37
Si dice funzione omografica una funzione del tipo $y=(ax+b)/(cx+d)$, dove $a,b,c,d$ indicano numeri qualsiasi, senza un particolare significato geometrico. Il caso $c=0$ è banale perchè la formula può essere scritta come $y=a/d x+b/d$ e quindi rappresenta una retta; l'attenzione è posta sul caso $c!=0$ e $ad-bc!=0$ (se fosse =0 la frazione sarebbe semplificabile) in cui, come giustamente dici, la curva corrispondente è un'iperbole equilatera riferita a rette parallele ai suoi asintoti: qualcosa del tipo $(x-alpha)(y-beta)=k$.
Per sapere di quanto abbiamo traslato potremmo cercare di scrivere la nostra formula nel modo che ho appena indicato; di solito si preferisce non fare calcoli ma ricordare le seguenti regolette: un asintoto è dato dall'annullarsi del denominatore, cioè da $cx+d=0=>x=-d/c$ mentre l'altro si ottiene trascurando i termini noti e semplificando per x: ottieni $y=a/c$ (attento: le formule che hai scritto non sono esatte). Il centro dell'iperbole è l'intersezione degli asintoti, cioè il punto $(-d/c,a/c)$; gli assi dell'iperbole sono le rette con $m=+-1$ passanti per il centro.
La retta e l'iperbole si tagliano quando ci sono intersezioni reali, cioè quando $Delta>=0$ e questa è una disequazione che nel tuo problema ha come soluzioni $q<=-9/2 vv q>=9/2$. Lo vedi anche dal grafico: se dai un valore compreso fra quei due estremi, ad esempio $q=0$, la retta corrispondente non interseca l'iperbole.
Esercizio 37
Si dice funzione omografica una funzione del tipo $y=(ax+b)/(cx+d)$, dove $a,b,c,d$ indicano numeri qualsiasi, senza un particolare significato geometrico. Il caso $c=0$ è banale perchè la formula può essere scritta come $y=a/d x+b/d$ e quindi rappresenta una retta; l'attenzione è posta sul caso $c!=0$ e $ad-bc!=0$ (se fosse =0 la frazione sarebbe semplificabile) in cui, come giustamente dici, la curva corrispondente è un'iperbole equilatera riferita a rette parallele ai suoi asintoti: qualcosa del tipo $(x-alpha)(y-beta)=k$.
Per sapere di quanto abbiamo traslato potremmo cercare di scrivere la nostra formula nel modo che ho appena indicato; di solito si preferisce non fare calcoli ma ricordare le seguenti regolette: un asintoto è dato dall'annullarsi del denominatore, cioè da $cx+d=0=>x=-d/c$ mentre l'altro si ottiene trascurando i termini noti e semplificando per x: ottieni $y=a/c$ (attento: le formule che hai scritto non sono esatte). Il centro dell'iperbole è l'intersezione degli asintoti, cioè il punto $(-d/c,a/c)$; gli assi dell'iperbole sono le rette con $m=+-1$ passanti per il centro.
"giammaria":
Esercizio 36
La retta e l'iperbole si tagliano quando ci sono intersezioni reali, cioè quando $Delta>=0$ e questa è una disequazione che nel tuo problema ha come soluzioni $q<=-9/2 vv q>=9/2$.
Scusami, ma come avrei dovuto impostare il sistema
Io ho impostato come se fossero delle equazioni:
$ { ( y=5/2x+q ),( x^2/9-y^2/36=1 ):} $
Come avrei dovuto fare per trattarla come una disequazione
Ho compreso bene che avrei dovuto cominciare così, poi quando arrivo a ricavare il $ Delta $ impongo giustamente che deve essere $ Delta>=0 $, ed in quel caso trattarla come una disequazione
"giammaria":
Esercizio 37
gli assi dell'iperbole sono le rette con $m=+-1$ passanti per il centro.
Ho capito il significato, ok, ma dici che il mio è stato solo un caso trovare in quel modo gli assi
Oppure, anche se sbagliato, funzionerebbe sempre?
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