Disequazioni in valore assoluto: esercizi....

[kioccolatino90]

buona sera ho qualche esercizio con dubbi e non so come risolverli il primo esercizio è: $|(2x-3)/(5-x)|<2$ e quindi si fa il sistema:

$\{((2x-3)/(5-x)<2),((2x-3)/(5-x)>(-2)):}$ $rarr$ $\{((2x-3-2(5-x))/(5-x)<0),((2x-3+2(5-x))/(5-x)>0):}$ $rarr$ $\{((4x-13)/(5-x)<0),((6)/(5-x)>0):}$ procedo con la risoluzione delle 2 disequazione frazionarie all'interno del sistema mettendo numerarore e denominatore maggiore di zero (per la prima prendo i valori negativi) in questo modo ottendo:


$\{((4x-13)/(5-x)<0, if N(x)= x>13/4, D(x)=x<5),((6)/(5-x)>0, if N(x)= AAx, D(x)=x<5):}$
dalla regola dei segni ho: $\{(x<13/4 uuu x>5),(x<5):}$ quindi le $x$ che soddisfano la disuguaglianza, secondo me, dovrebbero essere $x>13/4, x!=5$ mentre la soluzione del libro è: $x<13/4$
perchè??? Dove sto sbagliando?

[giammaria2]

Stai sbagliando la conclusione: le due disequazioni devono essere entrambe verificate, e questo succede solo nell'intervallo indicato dal libro.
Consolati: uno degli errori più frequenti è proprio arrivare alla fine e non ricordare cosa si voleva dal sistema o pseudo-sistema (l'intersezione? l'unione? la regola dei segni?). Il mio consiglio è farsi sempre, all'inizio, un piccolo appunto in proposito.

[kioccolatino90]

allora io arrivato alle soluzioni del numeratore e del denominatore di entrambe le disequazioni rappresentate nel sistema: $\{((4x-13)/(5-x)<0),((6)/(5-x)>0):}$
le ho rappresentete graficamente sull'asse reale e mi sono trovato le soluzioni finali ma non si trova, dove ho sbagliato in questo procedimento non riesco a capire....

[giammaria2]

Sei arrivato a
$\{(x<13/4 uuu x>5),(x<5):}$
e l'hai rappresentato graficamente sull'asse reale: fin qui tutto bene. Hai poi sbagliato nel leggere questo grafico, chiedendo che il prodotto (o il rapporto) delle due parti fosse negativo, mentre dovevi chiedere che fossero entrambe vere. Infatti una disequazione del tipo $|f(x)| -a]nn[f(x)

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[kioccolatino90]

scusami, ma non ho capito..... cioè io ho messo sull'asse reale le soluzioni e ho detto quand'è che la disequazione è $<2$ e allora dall'asse ho preso i valori nagativi perchè così la disuguaglianza è verificata, cioè questo secondo me è chiaro che è sbagliato ma non riesco a capire perchè.....

[kioccolatino90]

forse indedevi dire che visto che il valore assoluto non può mai essere negativo devo prendere i valori per cui esso sia positivo???

[scrittore1]

ma scusa tu fai 1 solo sistema?? Io avrei fatto:

$\{((2x-3)/(5-x)<2),((2x-3)/(5-x)>0):}$

unito con...

$\{(-(2x-3)/(5-x)<2),((2x-3)/(5-x)<0):}$

[kioccolatino90]

si io per le fratte uso la formula:
-se $(f(x))/(g(x))>0$ $rArr$ $f(x)>0$ e $g(x)>0$ e visto chè c'è il $>$ prendo i valori positivi cioè prendo sull'asse reale i valori per cui la frazione diventi positiva
-se invece c'è $(f(x))/(g(x))<0$ $rArr$ $f(x)>0$ e $g(x)>0$ e visto che c'è il segno $<$ prendo, sull'asse reale i valori per cui il polinomi soddisfa la disuguaglianza.....

[scrittore1]

forse mi sono spiegato male, mi riferivo al tuo approccio al problema, sin dal primo passaggio del primo post. Invece mi sembra tu abbia risposto a come hai affrontato un certo problema presentatosi durante il tuo svolgimento.

Ripeto, io ho visto un solo sistema iniziale e non capisco perchè.

[kioccolatino90]

Ma se ho $|A(x)| si ha:
se $k>0$, allora $|A(x)|(-k)):}$

se $k<0$, allora la disequazione è impossibile.... Sbaglio???

[scrittore1]

si, mi sembra tutto perfettamente logico e giusto, grazie.

non avevo mai fatto queste considerazioni

[giammaria2]

Proviamo a riordinare un po' le idee, e facciamolo con una disequazione molto più facile della tua, e cioè $|x-1|<2$: può essere risolta con due metodi diversi, e cominciamo con il tuo. E' vera se $-2l'intersezione delle soluzioni: il tuo errore è stato cercare non l'intersezione ma il segno meno. Prova ad applicare il tuo metodo a questa disequazione, e ti convincerai di quanto dico.

Scrittore suggerisce un altro metodo: x-1 può essere positivo o nullo, e allora è minore di 2, oppure x-1 è negativo e allora 1-x è minore di 2: giusto anche questo, ma più lungo perchè richiede tre grafici.

[kioccolatino90]

Che bella sensazione quando spieghi qualcosa!!!!!!!!!!!
Comunque ancora non ho capito perchè si prende quel valore negativo....

[scrittore1]

"domy90":Comunche ancora non ho capito perchè si prende quel valore negativo....

Puoi spiegarti meglio? Per caso ti riferisci al "mio" metodo?

[kioccolatino90]

"scrittore":Puoi spiegarti meglio? Per caso ti riferisci al "mio" metodo?

no no è capitato che mentre scrivevo io, giammaria già aveva risposto....

Forse ho capito cosa volevate dirmi: cioè io prendevo i valori per cui la frazione era negativa invece dovevo prendere il punto in cui le soluzioni della prima soddisfano anche la seconda..giusto????

[giammaria2]

Abbastanza giusto: dovevi prendere i valori che soddisfavano entrambe le equazioni, mentre hai letto il tutto come un diagramma per il segno meno. Dico "abbastanza" perchè per imporre che la tua frazione fosse negativa avresti fatto calcoli completamente diversi.

[kioccolatino90]

quindi in questi casi, cioè quando ho un valore assoluto minore di K con K appartenente a $RR$ e maggiore di zero, nel momento in cui mi trovo le soluzioni nel sistema e le vado a mettere sull'asse reale devo prendere i tratti continui o meglio dove ho +?

[scrittore1]

bè sì. Quando fai un sistema la soluzione del sistema è data dai valori di $x$ che soddisfano tutte le equazioni/disequazioni del sistema.
Immaginando come si disegna il diagramma/grafico è concettualmente più giusto (io credo) mettere una linea continua piuttosto che dei + o dei - che stanno ad indicare dei segni.

[kioccolatino90]

si si io metto linee continue che indica il + e tratteggi che invece indicano il meno.... quindi se ho due intervalli con il segno meno che però da come segno finale il + è soluzione anche questa???

[kioccolatino90]

"giammaria": $|x-1|<2$: può essere risolta con due metodi diversi, e cominciamo con il tuo. E' vera se $-2

Se invece avessi avuto: $|4-3x|<3$ e la volevo risolvere come hai fatto tu, aggiungendo 1, cosa avrei dovuto fare?

[giammaria2]

$|4x-3|<3->-3<4x-3<3$. Aggiungo 3 a tutti i membri: $0<4x<6$. Divido per 4, che è positivo: $0 Se la divisione fosse stata per un numero negativo, i versi delle disequazioni cambiavano. Esempio: $-4<-2x<12$. Divido per -2: $2>x> -6$. cioè $-6
A quanto detto nei precedenti interventi aggiungo la soluzione di $|f(x)|>k$, dove k è un numero positivo e f(x) indica una formula qualsiasi. In questo caso si ha $f(x)<-k$ oppure $f(x)>k$. Risolvi queste due disequazioni, poi consideri le zone in cui almeno una è verificata: il mio "oppure" significava che ne va bene una qualsiasi, cioè è quello che in matematica viene detto unione.