Disequazioni in valore assoluto: esercizi....

[kioccolatino90]

buona sera ho qualche esercizio con dubbi e non so come risolverli il primo esercizio è: $|(2x-3)/(5-x)|<2$ e quindi si fa il sistema:

$\{((2x-3)/(5-x)<2),((2x-3)/(5-x)>(-2)):}$ $rarr$ $\{((2x-3-2(5-x))/(5-x)<0),((2x-3+2(5-x))/(5-x)>0):}$ $rarr$ $\{((4x-13)/(5-x)<0),((6)/(5-x)>0):}$ procedo con la risoluzione delle 2 disequazione frazionarie all'interno del sistema mettendo numerarore e denominatore maggiore di zero (per la prima prendo i valori negativi) in questo modo ottendo:


$\{((4x-13)/(5-x)<0, if N(x)= x>13/4, D(x)=x<5),((6)/(5-x)>0, if N(x)= AAx, D(x)=x<5):}$
dalla regola dei segni ho: $\{(x<13/4 uuu x>5),(x<5):}$ quindi le $x$ che soddisfano la disuguaglianza, secondo me, dovrebbero essere $x>13/4, x!=5$ mentre la soluzione del libro è: $x<13/4$
perchè??? Dove sto sbagliando?

[kioccolatino90]

ok io ho provato a fare la stessa cosa ma non mi esce:
$-3<4-3x<3$ aggiungo 4 e ho: $1<-3x<7$ divido per -3: $-1/3>x>(-7/3)$ cioè???

[@melia]

"domy90":ok io ho provato a fare la stessa cosa ma non mi esce:
$-3<4-3x<3$ aggiungo 4

e ottieni $1<8-3x<7$ , dovevi sottrarre 4

[kioccolatino90]

ah ecco dovevo aggiungere 4 anche dove c'è la x????

[giammaria2]

Puoi aggiungere, sottrarre, moltiplicare o dividere (per le ultime due operazioni: non per zero e badando al segno) purchè tu lo faccia a TUTTI i membri; se lo scopo è togliere il 4, devi sottrarre 4.

[kioccolatino90]

ho poi quest'altra disequazione in valore assoluto: $(|x+2|)/(x-3)<2$ e ora come si procede??? io avevo pensato di ridurla ad una fratta e po di risolvere il nemeratore come valore assoluto, così:

$(|x+2|-2)/(x-3)<0$ $rarr$ $(|x+2|-2x+6)/(x-3)<0$ $rarr$ $|x+2|-2x+6>0$ e $x-3>0$ poi come dovrei fare?

[giammaria2]

Per risolvere le prima delle due disequazioni a cui sei arrivato/a è necessario il metodo usato da scrittore. Così: (x+2 può essere positivo o nullo e la disequazione diventa ...) oppure (x+2 può essere negativo e la disequazione diventa ...): occorrono due grafici di intersezione (cioè le vuoi entrambe vere) e uno di unione (cioè almeno una vera). Una volta risolta questa tua prima disequazione, fai un altro grafico con la tua seconda, questa volta chiedendo il segno.

[kioccolatino90]

cioè per la prima dovrei fare un sistema e cioè: $\{(x+2-2x+6>=0),(z+2-2x+6<0):}$ $uuu$ $\{(x+2-2x+6>0),(x+2-2x+6<=0):}$ ???

[giammaria2]

No, il sistema da farsi è
${(x+2>=0),(x+2-2x+6>0):}$ $uuu$ ${(x+2<0), (-x-2-2x+6>0):}$
che traduce in formula quello che avevo detto in parole. Per il secondo sistema, ho usato il fatto che il valore assoluto di un numero negativo è quel numero cambiato di segno.

[kioccolatino90]

e le soluzioni del sistema sono: $\{(x>=-2),(x<8):}$ $uuu$ $\{(x<-2),(x<4/3):}$, e di queste accetto: $4/3

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[giammaria2]

Hai risolto separatamente le disequazioni, non i sistemi. Fai il grafico del primo sistema: è un vero sistema, cioè le vuoi entrambe verificate: questo si verifica per $-2<=x<8$, che è la soluzione del primo sistema. Fai altrettanto col secondo e troverai che la sua soluzione è $x< -2$. Arrivi così a
$(-2<=x<8)uu(x< -2)$
e fai un terzo grafico riportando queste due soluzioni. Questa volta vuoi che almeno una sia verificata, e la soluzione è $x<8$.
Hai finalmente la soluzione della tua prima disequazione e la riporti in un altro grafico assieme alla seconda, cioè a $x>3$: la domanda è ora qual'è il segno della frazione quindi ...

[dreamager]

"domy90":buona sera ho qualche esercizio con dubbi e non so come risolverli il primo esercizio è: $|(2x-3)/(5-x)|<2$ e quindi si fa il sistema:

$\{((2x-3)/(5-x)<2),((2x-3)/(5-x)>(-2)):}$ $rarr$ $\{((2x-3-2(5-x))/(5-x)<0),((2x-3+2(5-x))/(5-x)>0):}$ $rarr$ $\{(4x-13)/(5-x)<0,$[size=200]6[/size]$7/(5-x)>0):}$ procedo con la risoluzione delle 2 disequazione frazionarie all'interno del sistema mettendo numerarore e denominatore maggiore di zero (per la prima prendo i valori negativi) in questo modo ottendo:


$\{((4x-13)/(5-x)<0, if N(x)= x>13/4, D(x)=x<5),((6)/(5-x)>0, if N(x)= AAx, D(x)=x<5):}$
dalla regola dei segni ho: $\{(x<13/4 uuu x>5),(x<5):}$ quindi le $x$ che soddisfano la disuguaglianza, secondo me, dovrebbero essere $x>13/4, x!=5$ mentre la soluzione del libro è: $x<13/4$
perchè??? Dove sto sbagliando?

là c'è il sette.

[kioccolatino90]

si hai ragione grazie....
Comunque stavamo vedendo un'altro esercizio, questo già era risolto....

[kioccolatino90]

"giammaria":Arrivi così a
$(-2<=x<8)uu(x< -2)$
e fai un terzo grafico riportando queste due soluzioni. Questa volta vuoi che almeno una sia verificata, e la soluzione è $x<8$.

Perchè $x<8$ non è $x>8$???

[giammaria2]

Per $x>8$ non è verificata nessuna delle due disequazioni, mentre tu vuoi che ce ne sia almeno una verificata: questo è il significato del simbolo dell'unione. Torniamo all'inizio, alla disequazione $|x+2|-2x+6>0$ e riassumiamo i calcoli successivi: mi va bene che x+2 sia positivo (e allora x è minore di 8) oppure che sia negativo (e allora non ci sono altre restrizioni): in totale mi vanno bene tutti i numeri inferiori ad 8.

[kioccolatino90]

ma io quando metto sull'asse i 2 valori e cioè: $-2<=x<8$ $uuu$ $x<-2$ mi trovo tutti i valori discontinui quindi negativi mentre per $x>8$ è positivo...non so se mi sono spiegato come dico io....

[giammaria2]

Trovi una prima riga con tratto continuo fra -2 e 8 e discontinuo altrove e una seconda riga con tratto continuo prima di -2 e discontinuo altrove. Tratto continuo significa che la disequazione è verificata; vuoi che almeno una lo sia, quindi devi prendere le zone in cui c'è almeno un tratto continuo.
Il tuo errore è che vuoi sempre applicare la regola dei segni (e infatti parli di positivo), che va invece applicata solo in certi casi. Il diagramma che fai è solo un modo per vedere le cose in modo da poter rispondere a svariate domande; è ovvio però che cambiando la domanda deve cambiare anche la risposta. Quando "leggi" il diagramma devi sempre chiederti qual'era la domanda e non dare risposte a vanvera.
Per tua maggiore comprensione, elenco le domande più comuni con relative risposte.
- in un sistema, vuoi che tutte le disequazioni siano verificate, quindi prendi solo le zone in cui tutti i tratti sono continui; si dice che il diagramma è letto come intersezione.
- se hai distinto in due o più casi accettabili, ti basta che ne vada bene uno e quindi prendi le zone in cui c'è almeno un tratto continuo (di solito uno solo); il diagramma è letto come unione. E' il caso che stiamo discutendo.
- se ti interessa il segno di un prodotto o di una frazione, applichi la tua beneamata regola dei segni: abbiamo un diagramma dei segni.

Per semplicità ho parlato solo delle zone e non dei loro estremi, in cui occorre badare anche alla presenza o meno del segno di uguale.

[kioccolatino90]

ma il nostro caso può capitare anche in un'esponenziale e in un logaritmo??? Oppure compare solo nei valori assoluti???

[giammaria2]

In teoria, qualsiasi cosa può capitare con qualsiasi tipo di funzione; in pratica, alcune cose sono più frequenti con alcuni tipi. Per i valori assoluti occorre molto spesso distinguere a seconda del segno di ciò che vi sta dentro e occorrerà poi un grafico con lettura di unione, abbastanza improbabile con logaritmi ed esponenziali; ma improbabile e impossibile sono parole diverse.
Ribadisco il punto veramente importante: quando si raggruppano più disequazioni con una graffa, bisogna avere chiara in mente qual'è la domanda che ci facciamo. Ripeto il suggerimento che, se non sbaglio, ho già dato in una delle prime risposte: a fianco della graffa scriviamo un piccolo promemoria sulla domanda, e magari copiamolo in tutti i passaggi suggessivi.

[kioccolatino90]

capito, quindi se ad esempio ho: $sqrt(6x-x^2)<3-2x$ questa disuguaglianza equivale a mettere a sistema:
$\{(6x-x^2>=0),(3-2x>0),(6x-x^2<(3-2x)^2):}$ $rarr$ ${(0<=x<=6),(x>3/2),(x<-3 uuu x>(-3/5)):}$ quindi il grafico lo vado a leggre d'intersezione, e la soluzione finale è: $3/2

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[giammaria2]

Hai capito bene, ma attenzione ai calcoli: da $3-2x>0$ segue $x<3/2$