Disequazioni in valore assoluto: esercizi....

[kioccolatino90]

buona sera ho qualche esercizio con dubbi e non so come risolverli il primo esercizio è: $|(2x-3)/(5-x)|<2$ e quindi si fa il sistema:

$\{((2x-3)/(5-x)<2),((2x-3)/(5-x)>(-2)):}$ $rarr$ $\{((2x-3-2(5-x))/(5-x)<0),((2x-3+2(5-x))/(5-x)>0):}$ $rarr$ $\{((4x-13)/(5-x)<0),((6)/(5-x)>0):}$ procedo con la risoluzione delle 2 disequazione frazionarie all'interno del sistema mettendo numerarore e denominatore maggiore di zero (per la prima prendo i valori negativi) in questo modo ottendo:


$\{((4x-13)/(5-x)<0, if N(x)= x>13/4, D(x)=x<5),((6)/(5-x)>0, if N(x)= AAx, D(x)=x<5):}$
dalla regola dei segni ho: $\{(x<13/4 uuu x>5),(x<5):}$ quindi le $x$ che soddisfano la disuguaglianza, secondo me, dovrebbero essere $x>13/4, x!=5$ mentre la soluzione del libro è: $x<13/4$
perchè??? Dove sto sbagliando?

[kioccolatino90]

"domy90":capito, quindi se ad esempio ho: $sqrt(6x-x^2)<3-2x$ questa disuguaglianza equivale a mettere a sistema:
$\{(6x-x^2>=0),(3-2x>0),(6x-x^2<(3-2x)^2):}$ $rarr$ ${(0<=x<=6),(x>3/2),(x<-3 uuu x>(-3/5)):}$ quindi il grafico lo vado a leggre d'intersezione, e la soluzione finale è: $3/2

mi sa che ho fatto un'errore la disuguaglianza $sqrt(6x-x^2)<3-2x$ equivale all'unione dei sistemi: $\{(6x-x^2>=0),(3-2x<0):}$ $uu$ $\{(3-2x>=0),(6x-x^2<(3-2x)^2):}$ $rarr$ $\{(0<=x<=6),(x>0):}$ $uu$ $\{(x>=3/2),(x<3/5 uuu x>3):}$
faccio il grafico del primo sistema e ho: $3/2 avrò quindi: $3/2

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[giammaria2]

No, era giusto prima. Quello che importa non è che il segno sia $>$ o $<$, ma da quale parte di questo segno sta la radice: in questo caso è dalla parte del minore, quindi si fa un sistema a tre disequazioni.
USA LA TESTA: $3-2x$ è maggiore di un numero positivo o nullo, quindi deve essere positivo; l'unione fra due sistemi si fa quando ci sono due possibilità, e cioè che sia positivo o negativo.

[kioccolatino90]

ma se in questa $3-2x$ sostituisco al posto della $x$ un numero positivo il risultato è un numero negativo, allora come può essere maggiore di un numero positivo???:roll:

[giammaria2]

Certo, se al posto di $x$ sostituisci un numero positivo grande il risultato è negativo; se però vi sostituisci un numero positivo ma minore di $3/2$ (ad esempio 1 oppure 0,7) il risultato è positivo e può essere maggiore di un altro numero positivo. Inoltre, se non ricordo male, non c'è nessun obbligo che $x$ sia positivo.

[kioccolatino90]

cioè quella quantità è positiva per $x<3/2$ quindi c'è solo una possibilità... mentre un caso simile ma con due possibilità cioè negativo e positivo?

[giammaria2]

Puoi prendere la stessa disequazione, ma cambiando il verso: $sqrt(6x-x^2)>3-2x$. Questa volta $3-2x$ è minore di una quantità positiva (o nulla) e può essere sia positivo che negativo (in uno qualsiasi di questi due casi metti anche l'uguale; volendo, puoi metterlo in tutti due). In questo caso devi fare l'unione di due sistemi: in un sistema la prima disequazione è $3-2x>=0$, che ci dice che pensiamo al caso in cui è positivo o nullo; nell'altro sistema la prima disequazione è $3-2x<0$, con cui pensiamo al caso in cui è negativo.

[kioccolatino90]

quindi in poche parole basta legge la disequazione al contrario da destra a sinistra (in questi casi) visto che il radicando è al primo membro, se invece fosse stato al secondo membro da sinistra a destra, almeno chè uno non voglia passare il radicando al primo o al secondo (come meglio vuole) a patto che cambia il verso della disequazione.....vero????

[giammaria2]

Mi perdo nel tuo discorso; forse è giusto ma non potrei giurarlo. In poche parole:
- $sqrt(f(x))sqrt(f(x))$ richiede il sistema a tre disequazioni perchè la radice è dalla parte del minore
- $sqrt(f(x))>g(x)$ che letta al contrario è lo stesso di $g(x)

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[kioccolatino90]

si si intendevo questo...
quindi avendo: $sqrt(x^2-4)-2x+1>4-x rarr sqrt(x^2-4)>x-3$ richiede l'unione dei due sistemi, vero?
Venendo all'origine del topic volevo fare una domanda riguardo i valori assoluti, in pratica volevo chiedere in quali circostanze si calcola il dominio del valore assoluto, più precisamente $f(x)=|A(x)|$ dove $A(x)$ è una funzione qualsiasi....?

[giammaria2]

Sì, richiede l'unione di due sistemi, ma attento ai segni: il secondo membro è $x+3$.
Quanto al dominio di un valore assoluto, si può calcolare il valore assoluto di qualsiasi numero esistente, quindi nel tuo esempio il dominio di $f(x)$ coincide con quello di $A(x)$.

[kioccolatino90]

Allore se il dominio del valore assoluto è, ad esempio una fratta allora fare la regola dei segni se c'è il radicando imporre il radicando maggiore o uguale a zero ecc???

[giammaria2]

La domanda è poco chiara; meglio che tu faccia almeno un esempio pratico.

[kioccolatino90]

ad esempio ho:
$|log(x+1)|>=0$; $|(x+1)/(x-1)|>0$; $|sqrt(x+4)|>0$;

il dominio è dato da:
per la prima: $D:{ x+1>0 rarr x>(-1)} $;

per la seconda: $D:{x-1!=0 rarr x!=1}$;

per la terza: $D:{x+4>=0 rarr x>=-4}$

[giammaria2]

Esatto, e per la soluzione c'è poco da aggiungere. Infatti un valore assoluto è sempre positivo o nullo; la prima richiede solo questo, e quindi è sempre verificata nel suo dominio. Nelle altre due non c'è l'uguale, quindi dobbiamo escludere i valori che annullano il primo membro: la soluzione della seconda è $x!=+-1$ e quella della terza è $x> -4$

[kioccolatino90]

quindi i domini in questi casi sono fatti bene?
Mentre le soluzioni come si fa si toglie il valore assoluto semplicemente e si impone tutto maggiore di zero?

[giammaria2]

I domini sono fatti bene. Per l'altra domanda, riferiamoci al secondo esercizio: ho imposto solo $(x+1)/(x-1)!=0$ e non $>0$ perchè se anche la frazione fosse negativa il suo valore assoluto sarebbe positivo. Un valore assoluto è positivo, con l'unica eccezione che può valere zero.

[kioccolatino90]

quindi il valore assoluto può essere positivo o nullo...
che sia positivo è sicuro, però c'è la probabilita che esso sia zero quindi si deve imporre che esso sia diverso da zero...quindi nel secondo esercizio impongo la frazione diversa... ora perchè il numeratore non si studia???

[giammaria2]

In presenza del segno $!=$ ci si comporta come con $=$: cioè risolviamo l'EQUAZIONE (non la disequazione) e $x$ deve essere diverso dal risultato; per non dimenticarlo e per non dare spiegazioni, lasciamo sempre il segno $!=$. Nel nostro caso, dopo aver considerato il dominio moltiplichiamo tutto per il denominatore ottenendo $x+1!=0 -> x!=-1$.

[kioccolatino90]

ma il dominio è $x-1!=0 rarr x!=1$?

[giammaria2]

Sì.