Disequazioni di 2° grado e domini: esercizi...

[kioccolatino90]

ciao a tutti e buona domenica ho una disequazione del secondo grado e non so dove sbaglio l'ho riletta mille volte, forse mi sfugge un pezzo o passaggio....
la disequazione è:

$((3x+1)(2x-3))/3+x^2+3>(7(x+2)(x-1))/3$
$(6x^2-7x-3)/3+x^2+3>(7(x^2+x-2))/3$ $m.c.m.=3$
$6x^2-7x-3+3x^2+9>x^2+x-2$
$8(x^2-x+1)>0$ e non si trova perchè la soluzione è tutto $RR$
Non capisco dove sbaglio ogni volta!!!!

[*v.tondi]

Il dominio è una fase dello studio della funzione, il segno o positività è un'altra. Se consideri $f(x)=(x^2-5x+6)/(x-1)^2$ allora il dominio è $AAx in RR-{1}$. Il segno o positività è $x<=2vvx>=3,x!=1$. Tutto chiaro?

[kioccolatino90]

Volevo dire che non mi trovavo perchè io l'ho sempre calcolato pensando che fossero lo stesso...
quindi avendo quest'altra:
$1-(2x)/(x-3)-(2(2x+7))/(x-3)^2>0$
ottengo:
$(-x^2-4x-5)/(x-3)^2>0$ $rarr$ $x^2+4x+5<0$ $rarr mai$ , mentre per $(x-3)^2>0$ $rarr$ $x\ne3$???

[*v.tondi]

La positività è: per il numeratore nessun $x in RR$, per il denominatore $AAx in RR-{3}$.

[kioccolatino90]

sul libro porta $S=O$
Come mai?

[*v.tondi]

É giusto come dice il libro. La tua disequazione non è mai positiva, leggi bene il mio post precedente. Io ho scritto che il numeratore è positivo per nessun valore di $x in RR$, cioè non è mai positivo, il denominatore è sempre positivo tranne in $3$ in cui esso si annulla. Quindi la tua disequazione è sempre negativa. Perciò la soluzione finale $S=O$ (vuoto)

[kioccolatino90]

giusto si vedeva anche dalla regola dei segni..... ho capito grazie mille

[kioccolatino90]

non so se posso continuare a postare esercizi in questo topic voi cosa dite??? è passato troppo tempo, meglio farne un'altro???

[*v.tondi]

Dove vuoi puoi postare. Visto che è già aperto magari continua su questo.

[kioccolatino90]

ok grazie mille....
io avrei: $(x(x-1)^3)/(x^4-81)<0$; il dominio è: $D:{x^4-81!=0 rarr (x^2+9)(x^2-9)!=0 rarr {(x^2+9!=0 rarr rarr x!=-sqrt-9 uuu x!=+sqrt-9 rarr mai),(x^2-9!=0 rarr x!=-3 uuu x!=3):}$ $rarr$ $D:{x!=-3 uuu x!=3}$ però non sono sicuro....

$(x(x-1)^3)/((x^2+9)(x^2-9))<0$ ${(x>0),((x-1)^3>0),(x^2+9>0),(x^2-9>0):} rarr {(x>0),(x>1),(mai),(x<-3 uuu x>3):}$; dovrebbe essere così però non mi convice perchè il numeratore è $AA x in RR$

[*v.tondi]

Ti ho detto anche in post precedenti che non devi trovare il dominio ma studiare il segno della tua disequazione. Comunque domani vedrò meglio i conti che hai fatto.

[G.D.5]

Quando risolvi una disequazione più che parlare di dominio ti conviene parlare di campo di esistenza o di condizioni di esistenza o di condizioni di accettabilità: il dominio è la prima coordinata della terna ordinata che definisce una applicazione, mentre con gli altri succitati sostantivi di identifica di solito la più grande (modulo la sensatezza delle oprazioni algebriche in traccia) parte di un preassegnato insieme numerico in cui ricercare le soluzioni di una data disequazione.

Tornando all'esercizio: [tex]x^{2}-81 \neq 0 \iff (x^{2}+9)(x^{2}-9)\neq0 \iff x^{2}+9\neq0 \land x^{2}-9\neq0[/tex], ma [tex]x^{2}+9\neq0[/tex] è sempre verificata, perché la somma di un quadrato con un numero positivo non può fare [tex]0[/tex]; non c'è bisogno di mettere [tex]x\neq\pm\sqrt{-9}[/tex], anche perché in [tex]\mathbb{R}[/tex] le radici di indice pari di radicandi negativi non esistono(*). Per il resto relativo al campo di esistenza è corretto.
Per la disequazione invece non ci siamo: in primo luogo [tex]x^{2}+9>0[/tex] non è mai, ma sempre, in secondo luogo mai mettere a sistema, perché il sistema sottointende l'intersezione tra le condizioni [tex]x>0, x>1, \forall x \in \mathbb{R}, (x<-3 \lor x>3)[/tex], infine, devi compilare un quadro dei segni, cioè ti segni quattro belle rette dei numeri reali, su ciascuna segni una delle quattro condizioni e poi moltiplici le condizioni con la regola dei segni per vedere dove saltano fuori i - (essendo il verso <0).


_____________
(*) \sqrt{-9} non sqrt-9.

[kioccolatino90]

quindi non lo devo chiamare dominio ma condizione di esistenza o di accettabilità, mentre si può chiamare insieme di definizione???

"WiZaRd":

Per la disequazione invece non ci siamo: in primo luogo [tex]x^{2}+9>0[/tex] non è mai, ma sempre

io ho messo mai perchè risolvendo viene appunto una radice quadrata di un numero negativo che in $RR$ non esiste....

Quando ho detto sistema intendevo la regola dei segni, però dicendo così ho sbagliato a dire....

[G.D.5]

Insieme di definizione? Io ho sentito usare questo termine sempre per indicare il dominio delle applicazioni, poi non so se su qualche testo scolastico è usato anche per indicare le condizioni di esistenza nelle equazioni/disequazioni.

Devi stabilire quali sono le soluzioni della diseuqazione [tex]x^{2}+9>0[/tex]: se mi dici "mai", allora mi stai dicendo che la disequazione non è mai verifica, ovvero che essa non ammette soluzioni, mentre è ovvio che qualunque sia la [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] la disequazione è verificata, quindi la risposta è "per ogni elemento reale".

E' un errore di linguaggio, non è grave: basta correggere.

[kioccolatino90]

ora che ci penso quando io vado a sviluppare il quadrato della $x^2+9>0$ vado a cercare le radici che annullano la disequazione quindi essendo la radice di un numero negativo, e non si può fare, io non trovo nessun valore della $x$ per il quale la disequazione si annulli quindi è sempre, in questo caso...

[*v.tondi]

Ma scusa forse sono ripetitivo, in precedenti post ti ho spiegato che devi porre sempre $>0$ o $>=0$ dipende dall'inclusione o meno del segno $=$ tutti i fattori del denominatore e del numeratore della disequazione. Terminata questa fase costruisci la tabella dei segni e fai il prodotto degli stessi per "accettare" gli intervalli in cui la disequazione è positiva o negativa (dipende dall'esercizio). Poi un'altra cosa la disequazione $x^2+9>0$ in quale intervallo è verificata? A me sembra $AA x in RR$, e tu cosa dici sei convinto o no?

[kioccolatino90]

si si sono convito, quello che dicevo io è che io cercavo sempre di risolverla come una disequazione di secondo grado, volevo cercare le radici che l'annullavano la disequazione non avendone trovata nemmeno una allora dicevo che quella disequazione non è mai verificata, ma sbagliavo.....

[*v.tondi]

Potevi pure tentare di risolverla con il calcolo del $\Delta$. Ti sarebbe uscito un numero negativo. E allora tu sai che $y=x^2+9$ è una parabola con la concavità rivolta verso l'alto $a=1>0$, $\Delta<0$ (nessuna soluzione reale), segno della disequazione $>0$, quindi $S=AA x in RR$. Sui libri si trova solitamente una tabella di questo tipo: http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ip ... arab09.htm che dovresti conoscere.

[kioccolatino90]

ma al numeratore è fatto bene??? mica è per ogni $x$... perchè a me hanno detto che era per ogni $x$...

[*v.tondi]

Il numeratore è $x(x-1)^3$. Devi porli entrambi $>0$, quindi $x>0$ e su una linea diversa (tabella dei segni) $(x-1)^3>0=>x>1$. Chiaro?

[kioccolatino90]

si si chiarissimo, se fosse stato al quadrato era $AA x$
dunque la soluzione finale è: $-3

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