Disequazione es.21

[Bad90]

Sempre con lo studio della parabola, sto cercando di capire il risultato della seguente disequazione:

$ 3x^2-5x+9>0 $

Avrò $ Delta<0 $ precisamente $ Delta=-83 $
Perchè la soluzione è $ S=R $

Non sto capendo perchè penso che se il $ Delta<0 $ non ha soluzioni in $ R $ , quì con lo studio della parabola mi da un risultato $ S=R $

[Bad90]

Ma se ho la seguente equazione:

$ |x^2 -4| = 2x^2 + x $

I raginamenti da fare per capire la soluzione, quali sono?

In sostanza, quando si arriva ala grafico dei segni, come si ragiona??

[chiaraotta1]

$ |x^2 -4| = 2x^2 + x ->{(x^2 -4>=0), (x^2 -4 = 2x^2 + x):} uu {(x^2 -4<0), (-x^2+4 = 2x^2 + x):}$

[Bad90]

Perfetto!
Ma adesso ho un dubbio............
Secondo voi, questa disequazione, e' vera???

$ x^2 -1<0 $

[Pianoth]

$x^2-1=(x+1)(x-1)$ quindi dovresti studiare il segno ottenendo che quella disequazione è vera solo per $-1

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[Bad90]

Ok, ma il mio dubbio e' se veramente un quadrato puo' essere minore di $ -1 $ !

Insomma, puo' essere $ x<+-1 $

[chiaraotta1]

"Bad90":..... un quadrato puo' essere minore di $ -1 $ !

Minore di $1$.....

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"]..... un quadrato puo' essere minore di $ -1 $ !

Minore di $1$.....[/quote]
Non sto capendo!
Lo so che sei di poche parole, , ma cosa intendi?

[Pianoth]

Un quadrato di un numero reale non può essere minore di $-1$, la disequazione che volevi scrivere forse era $x^2+1<0$, che non è mai verificata. Comunque quando hai una disequazione tipo $x^2<1$ non puoi fare la radice quadrata a entrambi i membri e dire che la soluzione è $x<+-1$ perché quest'ultima scrittura non ha senso (e poi comunque la soluzione sarebbe $-1

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[chiaraotta1]

"Bad90":[quote="chiaraotta"][quote="Bad90"]..... un quadrato puo' essere minore di $ -1 $ !

Minore di $1$.....[/quote]
Non sto capendo!
Lo so che sei di poche parole, , ma cosa intendi?[/quote]
La disequazione $x^2-1<0$ è equivalente a $x^2<1$. Cioè è soddisfatta da quei numeri il cui quadrato è minore di $1$, non di $-1$.

[Bad90]

Ok, adesso ho capito!

[Bad90]

Se devo risolvere la seguente disequazione:

$ |4-3x|<3 $

Esiste un metodo rapido?

[Lollo961]

Le equazioni del tipo \(\displaystyle |f(x)|0 \)si risolvono semplicemente ponendo \(\displaystyle -k

Quindi nel nostro caso: \(\displaystyle -3<4-3x<3 \)
\(\displaystyle 1/3

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[Bad90]

Voglio capire il perchè il seguente genere di disequazioni:

$ |(2-x)/(1+x)|>1 $

Si può risolvere impostando solo due equazioni, cioè in questo modo:

$ -1<(2-x)/(1+x)<1 $

........

Perchè non si impostano i classici sistemi che considerano i due casi:

$ { ( (2-x)/(1+x)>=0 ),( (2-x)/(1+x)<1 ):} $

e

$ { ( (2-x)/(1+x)<0 ),( (2-x)/(1+x)> - 1 ):} $

[burm87]

"Bad90":Voglio capire il perchè il seguente genere di disequazioni:

$ |(2-x)/(1+x)|>1 $

Si può risolvere impostando solo due equazioni, cioè in questo modo:

$ -1<(2-x)/(1+x)<1 $

Intanto quella non si risolve con i valori interni, ma esterni. La soluzione sarà pertanto:

$(2-x)/(1+x)<-1 vv (2-x)/(1+x)>1$

Poi, per rispondere alla tua domanda, si possono benissimo fare con il metodo "classico" impostando il sistema, questa è solo una scorciatoia che porta alla medesima soluzione.


Ti riporto anche un sunto della regola per chiarezza. Queste regole valgono solo nei casi in cui $k>0$.

$|f(x)|>k rArr f(x)<-k vv f(x)>k$

$|f(x)|

"Bad90":
Perchè non si impostano i classici sistemi che considerano i due casi:

$ { ( (2-x)/(1+x)>=0 ),( (2-x)/(1+x)<1 ):} $

e

$ { ( (2-x)/(1+x)<0 ),( (2-x)/(1+x)> - 1 ):} $

Inoltre dando un'occhiata qua noto un altro errore, nel primo sistema il verso della seconda disequazione dovrebbe essere $>$ e quello della seconda disequazione del secondo sistema dovrebbe essere $<$. Sbaglio?

[Bad90]

"burm87":

Intanto quella non si risolve con i valori interni, ma esterni. La soluzione sarà pertanto:

$(2-x)/(1+x)<-1 vv (2-x)/(1+x)>1$

Perchè si risolve per valori esterni
Non sto capendo

[burm87]

Perchè se hai $|f(x)|>k$ con $k>0$, la soluzione è $f(x)<-k vv f(x)>k$. Che è la stessa cosa che otterresti unendo le soluzioni dei due sistemi fatti alla "classica" maniera.

[Bad90]

Adesso correi capire come si esegue la seguente disequazione:

$ |1-x^2|<1 $

Ho trovato la seguente spiegazione, ma non sto capendo bene come svolgerla:

[burm87]

Si svolge sempre con la stessa regola, è del tipo $|f(x)|0$.
Pertando la soluzione sarà $-k
Nel tuo caso specifico avrai $-1<1-x^2<1$. Questa scrittura è equivalente al sistema ${(1-x^2> -1),(1-x^2<1):}$.

[Bad90]

Correggetemi se sbaglio...
Allora burm87, ho fatto in questo modo:

Primo caso.

$ { ( x^2 - 1 >=0 ),( x^2 - 1 >3 ):} => { ( x >=1 ^^ x >= -1 ),( x>2 ^^ x> -2 ):}=> S_1 = x<-2 uux>2 $

Secondo caso.

$ { ( x^2 - 1 < 0 ),(-( x^2 - 1) >3 ):} => { ( x < 1 ^^ x < -1 ),( x<-2 ^^ x < 2 ):}=> S_2 = x<-2 uux>2 $

Segue che l'unica soluzione è:

$ x<-2 uux>2 $

E questa soluzione è dovuta al fatto che per quei valori, entrambi le disequazioni sono verificate! Giusto

[burm87]

Secondo me sbagli, il contenuto del tuo valore assoluto è $1-x^2$ mentre tu fai uno studio come se fosse $x^2-1$.

Non capisco inoltre perchè non utilizzi la "scorciatoia" quando la situazione te lo permette, è così comoda.

"Bad90":
Primo caso.

$ { ( x^2 - 1 >=0 ),( x^2 - 1 >3 ):} => { ( x >=1 ^^ x >= -1 ),( x>2 ^^ x> -2 ):}=> S_1 = x<-2 uux>2 $

Secondo caso.

$ { ( x^2 - 1 < 0 ),(-( x^2 - 1) >3 ):} => { ( x < 1 ^^ x < -1 ),( x<-2 ^^ x < 2 ):}=> S_2 = x<-2 uux>2 $

Inoltre, oltre al fatto che non riesco proprio a capire dove tu prenda le disequazioni qua sopra, i risultati dei sistemi sono completamente sbagliati!