Circonferenza
Nel primo paragrafo del capitolo che parla della circonferenza, mi sono trovato in un concetto analogo a quello che ho trovato per la parabola, ma desidererei avere conferme su quanto sto per dire.....
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Risposte
"giammaria":
I segni sono giusti ma sai anche i valori: il centro è $C (r,-r)$ ed effettivamente sta su quella bisettrice.
Non sto riuscendo a seguire il ragionamento!
Penso che devo impostare un sistema, ma come posso fare questo?
Se conosco le coordinate di un punto e so che questo punto appartiene a tutte e due le circonferenze, ragionando su una circonferenza posso dire che il sistema sarà:
$ { ( 4a-2b+c+20=0 ),( ? ),( ? ):} $
Ma come seconda e terza equazione, cosa ci devo mettere?
So che se ci sono delle tangenze con gli assi, ci saranno delle intersezioni con $ x=0^^y=0 $ , quindi posso dire che se $ x=0 $:
$ { ( x=0 ),( x^2+y^2+ax+by+c=0):} $
$ { ( x=0 ),( y^2+by+c=0):} $
Mentre se ho $ y=0 $ , avrò:
$ { ( y=0 ),( x^2+y^2+ax+by+c=0):} $
$ { ( y=0 ),( x^2+ax+c=0):} $
Poi non riesco più a continuare
Ripeto quello che ho scritto nel mio penultimo intervento. Sappiamo che la circonferenza è tangente all'asse x, quindi la distanza del centro C da esso è uguale al raggio. Ma la distanza di un punto da un asse è uguale, in valore assoluto, all'altra coordinata, perciò $|y_C|=r$. Per togliere il valore assoluto aggiungiamo che C è nel quarto quadrante, in cui le y sono negative, e concludiamo che $y_C=-r$. Con ragionamento analogo otteniamo $x_C=r$.
L'equazione della circonferenza è quindi $(x-r)^2+(y+r)^2=r^2$; fai i calcoli e poi trovi $r$ imponendo il passaggio per A.
Se questo ragionamento non ti piace, ce n'è anche un altro ma più lungo. Imponiamo che la generica circonferenza sia tangente all'asse x: dobbiamo impostare il sistema
${(x^2+y^2+ax+by+c=0),(y=0):}$
da cui ricaviamo $x^2+ax+c=0$ e imponendo $Delta=0$ otteniamo $a^2-4c=0$. Analogo per la tangenza all'asse y; aggiungendo il passaggio per A arriviamo a
${(a^2-4c=0),(b^2-4c=0),(16+4+4a-2b+c=0):}$
Dalle prime due si ricava $b^2=a^2=>b=+-a$ e dobbiamo spezzare in due casi, a seconda che ci sia il più o il meno; uno dei casi non ha soluzioni reali e l'altro dà la soluzione voluta.
L'equazione della circonferenza è quindi $(x-r)^2+(y+r)^2=r^2$; fai i calcoli e poi trovi $r$ imponendo il passaggio per A.
Se questo ragionamento non ti piace, ce n'è anche un altro ma più lungo. Imponiamo che la generica circonferenza sia tangente all'asse x: dobbiamo impostare il sistema
${(x^2+y^2+ax+by+c=0),(y=0):}$
da cui ricaviamo $x^2+ax+c=0$ e imponendo $Delta=0$ otteniamo $a^2-4c=0$. Analogo per la tangenza all'asse y; aggiungendo il passaggio per A arriviamo a
${(a^2-4c=0),(b^2-4c=0),(16+4+4a-2b+c=0):}$
Dalle prime due si ricava $b^2=a^2=>b=+-a$ e dobbiamo spezzare in due casi, a seconda che ci sia il più o il meno; uno dei casi non ha soluzioni reali e l'altro dà la soluzione voluta.
Il primo metodo risolutivo, e' molto più rapido e sembra anche molto più semplice da comprendere, mentre il secondo metodo che e' la via un po' più lunga, e' simile ad alcuni esercizi che ho fatto qualche giorno fa! Adesso finisco di risolverlo con entrambi i metodi!
"giammaria":
perciò $|y_C|=r$. Per togliere il valore assoluto aggiungiamo che C è nel quarto quadrante, in cui le y sono negative, e concludiamo che $y_C=-r$. Con ragionamento analogo otteniamo $x_C=r$.
Non mi è tanto chiaro il punto sopra!
Scusa ma il valore assoluto di un numero negativo e quel numero cambiato di segno!
Ma $|y_C|=r$ non è negativo, quindi perchè hai detto che per togliere il valore assoluto hai fatto questo $y_C=-r$
Supponiamo che io ti dica che un numero è negativo e il suo valore assoluto è 3: concludi che quel numero è -3. Ho fatto lo stesso ragionamento, solo che al posto di 3 ho messo il raggio: non cambia nulla perché il raggio è positivo.
Se preferisci, puoi anche concludere il tuo ragionamento: sai che $y_C$ è negativo, quindi $|y_C|=-y_C$ e fai i calcoli seguenti:
$|y_C|=r->-y_C=r->y_C=-r$
Se preferisci, puoi anche concludere il tuo ragionamento: sai che $y_C$ è negativo, quindi $|y_C|=-y_C$ e fai i calcoli seguenti:
$|y_C|=r->-y_C=r->y_C=-r$
"giammaria":
Supponiamo che io ti dica che un numero è negativo e il suo valore assoluto è 3: concludi che quel numero è -3. Ho fatto lo stesso ragionamento, solo che al posto di 3 ho messo il raggio: non cambia nulla perché il raggio è positivo.
Ok, adesso ho capito!
Esercizio 17
Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di centro $ C(2,3) $ e raggio $ 4 $ che escono:
a) Dal punto $ P(12,7) $
b) Dal punto $ A(-2,0) $
c) Dal punto $ B(0,-1) $
Risoluzione punto a)
Per il punto a), dunque, sapendo che la circonferenza che ci interessa di centro $ C(2,3) $ e raggio $ 4 $ è:
$ x^2+y^2-4x-6y-3=0 $
Mettendo a sistema retta-circonferenza, avrò:
$ { ( x^2+y^2-4x-6y-3=0 ),( y-7=m(x-12) ):} $
Avrò:
$ { ( x^2+y^2-4x-6y-3=0 ),( y=m(x-12)+7 ):} $
$ { ( x^2+[xm-12m+7 ]^2-4x-6(xm-12m+7 )-3=0 ),( y=m(x-12)+7 ):} $
$ { ( x^2(1+m^2)-4x(6m^2-2m+1)+144m^2-96m+4=0 ),( y=m(x-12)+7 ):} $
$ a=(1+m^2) $
$ b=-4(6m^2-2m+1) $
$ c=144m^2-96m+4=0 $
Ricavo il $ Delta=0 $
$ Delta/4=4(6m^2-2m+1)^2-(1+m^2)(144m^2-96m+4) $
Risolvendo il $ Delta $ nell'incognita $ m $, si arriva alla seguente equazione:
$ -21m^2+20m=0 $
Con $ m=0 $ che non da soluzioni e $ m=20/21 $ che è la soluzione che mi interessa.
La retta sarà:
$ 20x-21y-93=0 $
P.S. Solo per questo punto, ho impiegato tutto il pomeriggio perchè ho avuto problemi con i passaggi algebrici, sapreste consigliarmi un metodo più rapido? Grazie mille!
Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di centro $ C(2,3) $ e raggio $ 4 $ che escono:
a) Dal punto $ P(12,7) $
b) Dal punto $ A(-2,0) $
c) Dal punto $ B(0,-1) $
Risoluzione punto a)
Per il punto a), dunque, sapendo che la circonferenza che ci interessa di centro $ C(2,3) $ e raggio $ 4 $ è:
$ x^2+y^2-4x-6y-3=0 $
Mettendo a sistema retta-circonferenza, avrò:
$ { ( x^2+y^2-4x-6y-3=0 ),( y-7=m(x-12) ):} $
Avrò:
$ { ( x^2+y^2-4x-6y-3=0 ),( y=m(x-12)+7 ):} $
$ { ( x^2+[xm-12m+7 ]^2-4x-6(xm-12m+7 )-3=0 ),( y=m(x-12)+7 ):} $
$ { ( x^2(1+m^2)-4x(6m^2-2m+1)+144m^2-96m+4=0 ),( y=m(x-12)+7 ):} $
$ a=(1+m^2) $
$ b=-4(6m^2-2m+1) $
$ c=144m^2-96m+4=0 $
Ricavo il $ Delta=0 $
$ Delta/4=4(6m^2-2m+1)^2-(1+m^2)(144m^2-96m+4) $
Risolvendo il $ Delta $ nell'incognita $ m $, si arriva alla seguente equazione:
$ -21m^2+20m=0 $
Con $ m=0 $ che non da soluzioni e $ m=20/21 $ che è la soluzione che mi interessa.
La retta sarà:
$ 20x-21y-93=0 $
P.S. Solo per questo punto, ho impiegato tutto il pomeriggio perchè ho avuto problemi con i passaggi algebrici, sapreste consigliarmi un metodo più rapido? Grazie mille!
Il metodo del \(\Delta\) non è troppo comodo per la circonferenza.
Tra tutte le rette del fascio di centro P, le rette tangenti alla circonferenza sono quelle la cui distanza dal centro è uguale al raggio.
nota:
se il punto \(P \in \text {circonferenza}\) allora è ancora più semplice. La tangente è perpendicolare alla retta del raggio.
Tra tutte le rette del fascio di centro P, le rette tangenti alla circonferenza sono quelle la cui distanza dal centro è uguale al raggio.
nota:
se il punto \(P \in \text {circonferenza}\) allora è ancora più semplice. La tangente è perpendicolare alla retta del raggio.
"Bad90":
Esercizio 17
.....
Con $ m=0 $ che non da soluzioni e $ m=20/21 $ che è la soluzione che mi interessa.
...
Perché dici che $m=0$ non è una soluzione? Non è vero. Anche la retta $y=7$ è una tangente alla circonferenza dal punto $P$.
"Bad90":
Con $ m=0 $ che non da soluzioni e $ m=20/21 $ che è la soluzione che mi interessa.
le rette sono due e una è // all'asse x.
con il metodo che ti ho consigliato si arriva alle stesse soluzioni, con meno calcoli.
fascio per $P$ in forma implicita: \( \displaystyle mx-y+7-12m=0\)
distanza dal centro $C$: \( \displaystyle d= \frac{|mx_c-y_c+7-12m|}{\sqrt{m^2+1}} \)
sostituiamo i valori e poniamo la distanza uguale al raggio.
\( \displaystyle \frac{|m(2)-(3)+7-12m|}{\sqrt{m^2+1}} = 4 \qquad \) che diventa \( \displaystyle \qquad \frac{|4-10m|}{\sqrt{m^2+1}} = 4\)
elevando al quadrato e sviluppando i calcoli: \( \displaystyle m_1=0 \qquad m_2= \frac{20}{21} \)
Hai ragione chiaraotta, non ho fatto caso e ho sparato una favolata, anche $ y=7 $ e' una soluzione.
Ok piero, ti ringrazio, adesso continuo a risolvere il punto b) e c) con l'ultimo metodo che hai postato!
Ho risolto il punto b), ma non sto capendo una cosa.... 
Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di centro $ C(2,3) $ e raggio $ 4 $ che escono:
b) Dal punto $ A(-2,0) $
Imposto la formula in questo modo:
$ 4=|m2-3+m2|/sqrt(m^2+1) $
Da questa arrivo al punto:
$ 24m+7=0 $
Arrivo pero' ad una sola soluzione, che è giusta:
$ y=-7/24x-7/12 $
Il testo mi da anche un'altra soluzione, che non sto capendo da dove viene fuori, che è:
$ x=-2 $
Come ha fatto a ricavare $ x=-2 $ se la $ m $ è una sola
Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di centro $ C(2,3) $ e raggio $ 4 $ che escono:
b) Dal punto $ A(-2,0) $
Imposto la formula in questo modo:
$ 4=|m2-3+m2|/sqrt(m^2+1) $
Da questa arrivo al punto:
$ 24m+7=0 $
Arrivo pero' ad una sola soluzione, che è giusta:
$ y=-7/24x-7/12 $
Il testo mi da anche un'altra soluzione, che non sto capendo da dove viene fuori, che è:
$ x=-2 $
Come ha fatto a ricavare $ x=-2 $ se la $ m $ è una sola
La tangente $x=-2$ è parallela all'asse $y$ e quindi non può essere scritta nella forma $y=mx+q$.
"chiaraotta":
La tangente $x=-2$ è parallela all'asse $y$ e quindi non può essere scritta nella forma $y=mx+q$.
E' vero!
Ti ringrazio!
@bad90:
Per completare quanto detto da chiaraotta ricorda che quando scrivi il fascio per un punto esiste una retta del fascio che non è compresa nell'equazione: la retta per cui m vale infinito.
Allora siccome da un punto esterno a una circonferenza si possono condurre due tangenti e tu te ne trovi una sola ricorda:
o hai sbagliato i conti o la seconda è una parallela all'asse y. Fare i disegni, mentre risolvi gli esercizi, ti può essere d'aiuto.
Per completare quanto detto da chiaraotta ricorda che quando scrivi il fascio per un punto esiste una retta del fascio che non è compresa nell'equazione: la retta per cui m vale infinito.
Allora siccome da un punto esterno a una circonferenza si possono condurre due tangenti e tu te ne trovi una sola ricorda:
o hai sbagliato i conti o la seconda è una parallela all'asse y. Fare i disegni, mentre risolvi gli esercizi, ti può essere d'aiuto.
Infatti con il disegno ho capito subito quanto detto da chiaraotta!
EDIT: questa è la risposta ad un messaggio che è stato cancellato; al momento di inviarla non l'ho notato.
$m^2=9/27=>m^2=1/3=>m=+-1/(sqrt3)=>m=+-(sqrt3)/3$
Errore senza conseguenze in un passaggio precedente: non sai il segno di $m$ quindi non puoi scrivere $|-6m|=6m$. Invece, elevando a quadrato, passi direttamente dalla $3*sqrt(m^2+1)=|-6m|$ alla $9(m^2+1)=36m^2$
$m^2=9/27=>m^2=1/3=>m=+-1/(sqrt3)=>m=+-(sqrt3)/3$
Errore senza conseguenze in un passaggio precedente: non sai il segno di $m$ quindi non puoi scrivere $|-6m|=6m$. Invece, elevando a quadrato, passi direttamente dalla $3*sqrt(m^2+1)=|-6m|$ alla $9(m^2+1)=36m^2$
Ok! Ti ringrazio!
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