Circonferenza
Nel primo paragrafo del capitolo che parla della circonferenza, mi sono trovato in un concetto analogo a quello che ho trovato per la parabola, ma desidererei avere conferme su quanto sto per dire.....
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Risposte
Sto cercando di risolvere esercizi del tipo:
Scrivere l'equazione della circonferenza che passa per i tre punti indicati. Ovviamente mi vengono date le coordinate di tre punti! Qual'e' il metodo risolutivo di questi esercizi? Il mio testo sicuramente da per scontato che io lo sappia, in quanto non vi sono esempi! Cosa bisogna fare?
Grazie mille!
Scrivere l'equazione della circonferenza che passa per i tre punti indicati. Ovviamente mi vengono date le coordinate di tre punti! Qual'e' il metodo risolutivo di questi esercizi? Il mio testo sicuramente da per scontato che io lo sappia, in quanto non vi sono esempi! Cosa bisogna fare?
Grazie mille!
Il metodo più usato è imporre il passaggio per quei tre punti e risolvere il sistema nelle tre incognite $a,b,c$; di solito conviene ricavare per prima l'incognita $c$. Volendo ci sono anche altri metodi ma sono un po' più lunghi.
Ok, adesso provo con il metodo che mi hai detto! Se non sto sbagliando, bisogna scrivere tre equazioni delle circonferenze, utilizzando le coordinate dei punti dati? Altrimenti, quali sono le equazioni da scrivere?
L'unica equazione della circonferenza da usare è $x^2+y^2+ax+by+c=0$. Se uno dei punti è A(2,3) imponi il passaggio per A con $4+9+2a+3b+c=0$; analogo per gli altri punti.
Si, volevo dire lo stesso di ciò che hai detto tu! Mi sono espresso male! Comunque sono riuscito a risolverli 
, fra qualche giorno finisco con la circonferenza e poi cominciamo con l'elisse e l'iperbole! 
, fra qualche giorno finisco con la circonferenza e poi cominciamo con l'elisse e l'iperbole!
Esercizio 8
Calcolare la distanza dei centri delle due circonferenze:
1) $ 3x^2+3y^2-7x-7y+4=0 $
2) $ 6x^2+6y^2-11x-11y+8=0 $
Sarà la stanchezza di fine giornata, ma se il centro della prima equazione è $ C_1(7/2;7/2) $ e della seconda equazione $ C_2(11/2;11/2) $, perchè quando calcolo la distanza tra due punti non riesco ad ottenere $ d=1/4sqrt(2) $
Dove sto sbagliando?
Calcolare la distanza dei centri delle due circonferenze:
1) $ 3x^2+3y^2-7x-7y+4=0 $
2) $ 6x^2+6y^2-11x-11y+8=0 $
Sarà la stanchezza di fine giornata, ma se il centro della prima equazione è $ C_1(7/2;7/2) $ e della seconda equazione $ C_2(11/2;11/2) $, perchè quando calcolo la distanza tra due punti non riesco ad ottenere $ d=1/4sqrt(2) $
Dove sto sbagliando?
"Bad90":
Esercizio 8
Dove sto sbagliando?
La formulina delle coordinate del centro $(x_C, y_C)=(-a/2, -b/2)$ funziona se l'equazione del cerchio è della forma $x^2+y^2+ax+by+c=0$.
Quindi devi riportarti prima a quella.
1) $ 3x^2+3y^2-7x-7y+4=0 ->x^2+y^2-7/3x-7/3y+4/3=0 $
2) $ 6x^2+6y^2-11x-11y+8=0 -> x^2+y^2-11/6x-11/6y+4/3=0$
Quindi bisogna riportare l'equazione in forma canonica! Perfetto, tutto ok!
Esercizio 9
Determina i punti in cui la seguenti circonferenza interseca gli assi cartesiani.
$ x^2+y^2-4x+2y=0 $
Ma in cosa consiste? Quali calcoli si fanno per risolvere la seguente traccia? Oppure non bisogna fare calcoli e bisogna dedurre in base ai valori dell'equazione?
Quello che mi è venuto subito in mente è stato di impostare i tre seguenti sistemi:
1 $ { ( x^2+y^2-4x+2y=0 ),( x=0 ):} $
2 $ { ( x^2+y^2-4x+2y=0 ),( y=0 ):} $
3 $ { ( x^2+y^2-4x+2y=0 ),( x=0^^y=0 ):} $
Da questi ottengo i tre punti in cui gli assi intersecano con la circonferenza, $ O(0,-2);A(4,0);B(0,-2) $ , dite che ho fatto bene?
Grazie mille!
Determina i punti in cui la seguenti circonferenza interseca gli assi cartesiani.
$ x^2+y^2-4x+2y=0 $
Ma in cosa consiste?
Quali calcoli si fanno per risolvere la seguente traccia? Oppure non bisogna fare calcoli e bisogna dedurre in base ai valori dell'equazione? Quello che mi è venuto subito in mente è stato di impostare i tre seguenti sistemi:
1 $ { ( x^2+y^2-4x+2y=0 ),( x=0 ):} $
2 $ { ( x^2+y^2-4x+2y=0 ),( y=0 ):} $
3 $ { ( x^2+y^2-4x+2y=0 ),( x=0^^y=0 ):} $
Da questi ottengo i tre punti in cui gli assi intersecano con la circonferenza, $ O(0,-2);A(4,0);B(0,-2) $ , dite che ho fatto bene?
Grazie mille!
Esercizio 10
Esercizio analogo all'esercizio 9, sulla seguente traccia:
$ x^2+y^2-3x+4y+2=0 $
Prima di dare le conclusioni, volevo chiedere a voi conferma su un passaggio algebrico fatto, cioè, arrivati a risolvere il seguente sistema:
$ { ( x^2+y^2-3x+4y+2=0 ),( x=0 ):} $
Arrivo ad una equazione di secondo grado, cioè questa:
$ { ( y^2+4y+2=0 ),( x=0 ):} $
Mi è venuto in mente di risolvere quella equazione di secondo grado, con un metodo che mi avete fatto vedere qualche tempo fa, ecco quì:
$ y^2+4y+2=0=>y^2+4y+4-2=0=>y^2+4y+4=2=>(y+2)^2=2 $
Bene, arrivati a questa:
$ (y+2)^2=2 $
La faccio diventare così:
$ (y+2)=+-sqrt(2) $
alla fine
$ y=-2+-sqrt(2) $
Dite che va bene?
Esercizio analogo all'esercizio 9, sulla seguente traccia:
$ x^2+y^2-3x+4y+2=0 $
Prima di dare le conclusioni, volevo chiedere a voi conferma su un passaggio algebrico fatto, cioè, arrivati a risolvere il seguente sistema:
$ { ( x^2+y^2-3x+4y+2=0 ),( x=0 ):} $
Arrivo ad una equazione di secondo grado, cioè questa:
$ { ( y^2+4y+2=0 ),( x=0 ):} $
Mi è venuto in mente di risolvere quella equazione di secondo grado, con un metodo che mi avete fatto vedere qualche tempo fa, ecco quì:
$ y^2+4y+2=0=>y^2+4y+4-2=0=>y^2+4y+4=2=>(y+2)^2=2 $
Bene, arrivati a questa:
$ (y+2)^2=2 $
La faccio diventare così:
$ (y+2)=+-sqrt(2) $
alla fine
$ y=-2+-sqrt(2) $
Dite che va bene?
"Bad90":
Esercizio 9
Determina i punti in cui la seguenti circonferenza interseca gli assi cartesiani.
$ x^2+y^2-4x+2y=0 $
...
1 $ { ( x^2+y^2-4x+2y=0 ),( x=0 ):} ->{(x=0),(y(y+2)=0):}->(0,0), (0,-2)$
2 $ { ( x^2+y^2-4x+2y=0 ),( y=0 ):} ->{(y=0),(x(x-4)=0):}->(0,0), (4,0)$
Esercizio 11
Determina i punti in cui la seguenti circonferenza interseca gli assi cartesiani.
$ x^2+y^2+2x-7y+6=0 $
Non sto capendo una cosa....
Se imposto il sistema che segue ho:
$ { ( x^2+y^2+2x-7y+6=0 ),( x=0 ):} $
$ { ( y^2-7y+6=0 ),( x=0 ):} $
$ A(0,6);B(0,1) $
Ma perchè quando imposto il sistema che segue, mi risulta non essere una soluzione?
$ { ( x^2+y^2+2x-7y+6=0 ),( y=0 ):} $
$ { ( x^2+2x+6=0 ),( y=0 ):} $
$ C(-3,0)$
Effettivamente il grafico, mi dice che le intersezioni sono solo $ A(0,6);B(0,1) $, ma cosa mi fa capire che non devo impostare il secondo sistema?
Determina i punti in cui la seguenti circonferenza interseca gli assi cartesiani.
$ x^2+y^2+2x-7y+6=0 $
Non sto capendo una cosa....
Se imposto il sistema che segue ho:
$ { ( x^2+y^2+2x-7y+6=0 ),( x=0 ):} $
$ { ( y^2-7y+6=0 ),( x=0 ):} $
$ A(0,6);B(0,1) $
Ma perchè quando imposto il sistema che segue, mi risulta non essere una soluzione?
$ { ( x^2+y^2+2x-7y+6=0 ),( y=0 ):} $
$ { ( x^2+2x+6=0 ),( y=0 ):} $
$ C(-3,0)$
Effettivamente il grafico, mi dice che le intersezioni sono solo $ A(0,6);B(0,1) $, ma cosa mi fa capire che non devo impostare il secondo sistema?
"Bad90":
Esercizio 10
....
Dite che va bene?
Sì
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]Esercizio 10
....
Dite che va bene?
Sì[/quote]
Tra l'altro, mi hai insegnato tu questo modo di risolvere alcune equazioni di secondo grado!
Quindi se adesso so fare questo, è grazie ai tuoi consigli!
Grazie mille!
"Bad90":
Esercizio 11
Determina i punti in cui la seguenti circonferenza interseca gli assi cartesiani.
....
Non ho capito da dove ricavi $ C(-3,0)$.
Comunque il fatto che l'equazione $ x^2+2x+6=0 $ non abbia soluzioni significa semplicemente che quella circonferenza non interseca l'asse $x$.
E' vero, ho sbagliato a leggere equazione ed ho fatto confusione, il secondo sistema, porta ad un caso impossibile in $ R $
perchè $ Delta<0 $ , quindi non ci sono intersezioni.
$ { ( x^2+y^2+2x-7y+6=0 ),( y=0 ):} $
$ { ( x^2+2x+6=0 ),( y=0 ):} $
perchè $ Delta<0 $ , quindi non ci sono intersezioni.
$ { ( x^2+y^2+2x-7y+6=0 ),( y=0 ):} $
$ { ( x^2+2x+6=0 ),( y=0 ):} $
Esercizio 12
Determinare , se esistono, le coordinate dei punti di intersezione della retta $ r $ con la circonferenza $ S $ di equazioni, rispettivamente:
$ r: y=2x$ con $ S:x^2+y^2-2x+4y=0 $
Sono corretti gli step risolutivi che seguono?
Risolvo il sistema:
$ { ( y=2x ),( x^2+y^2-2x+4y=0 ):} $
Ottengo $ O(0,0);A(-6/5,-12/5) $ , perfetto, poi cosa si deve fare?
Si devono imporre i passaggi per $ O(0,0);A(-6/5,-12/5) $ e vedere se l'equazione è verificata?
Determinare , se esistono, le coordinate dei punti di intersezione della retta $ r $ con la circonferenza $ S $ di equazioni, rispettivamente:
$ r: y=2x$ con $ S:x^2+y^2-2x+4y=0 $
Sono corretti gli step risolutivi che seguono?
Risolvo il sistema:
$ { ( y=2x ),( x^2+y^2-2x+4y=0 ):} $
Ottengo $ O(0,0);A(-6/5,-12/5) $ , perfetto, poi cosa si deve fare?
Si devono imporre i passaggi per $ O(0,0);A(-6/5,-12/5) $ e vedere se l'equazione è verificata?
"Bad90":
Esercizio 12
...
Il problema chiedeva le coordinate dei punti d'intersezione. Le hai trovate. Quindi non c'è altro.
Se hai dei dubbi sul fatto che le soluzioni siano giuste, puoi fare la prova controllando se le coordinate dei due punti soddisfano entrambe le equazioni.
Ok, infatti sto facendo le verifiche, anche se è in più rispetto a ciò che chiede la traccia!
Grazie mille!
Grazie mille!
Esercizio 13
Dati il punto $ A(4,7) $ e la retta passante per i punti $ B(-6,2) $ e $ C(15,5) $ ,determinare su questa retta due punti che abbiano distanza da $ A $ uguale a $ 5 $ . Fare la verifica grafica.
Come posso impostare gli step risolutivi?
Dati il punto $ A(4,7) $ e la retta passante per i punti $ B(-6,2) $ e $ C(15,5) $ ,determinare su questa retta due punti che abbiano distanza da $ A $ uguale a $ 5 $ . Fare la verifica grafica.
Come posso impostare gli step risolutivi?
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