Circonferenza
Nel primo paragrafo del capitolo che parla della circonferenza, mi sono trovato in un concetto analogo a quello che ho trovato per la parabola, ma desidererei avere conferme su quanto sto per dire.....
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Risposte
Non capisco quando dice che la seguente equazione:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
E' una equazione algebrica di secondo grado in due variabili che e' priva del termine $ xy $ ed ha il coefficiente $ x^2 $ uguale a quello di $ y^2 $ (entrambi riducibili a 1).
Poi dice che questa equazione avente queste particolarita', non rappresenta una circonferenza!
Allora mi chiedo perche' non rappresenta una circonferenza?
Dice che la risposta sta in questa equazione:
$ x^2+y^2+4=0 $
Perche'?
In piu' dice che non e' verificata da alcuna coppia di valori reali!
Perche'?
Giustifica questo, dicendo che qualsiasi sia il valore di $ x $ ed $ y $ al primo membro si avra' un valore $ >=4 $ !
Che sia maggiore uguale a quattro, e' chiarissimo, ma non ho capito perché non potra' essere rappresentato da nessuna coppia di numeri reali! Perche'?
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
E' una equazione algebrica di secondo grado in due variabili che e' priva del termine $ xy $ ed ha il coefficiente $ x^2 $ uguale a quello di $ y^2 $ (entrambi riducibili a 1).
Poi dice che questa equazione avente queste particolarita', non rappresenta una circonferenza!
Allora mi chiedo perche' non rappresenta una circonferenza?
Dice che la risposta sta in questa equazione:
$ x^2+y^2+4=0 $
Perche'?
In piu' dice che non e' verificata da alcuna coppia di valori reali!
Perche'?
Giustifica questo, dicendo che qualsiasi sia il valore di $ x $ ed $ y $ al primo membro si avra' un valore $ >=4 $ !
Che sia maggiore uguale a quattro, e' chiarissimo, ma non ho capito perché non potra' essere rappresentato da nessuna coppia di numeri reali! Perche'?
Nello studio della circonferenza, per determinare il raggio si puo' utilizzare la formula risolutiva della distanza tra' due punti:
$ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $
Non sto ricordando da dove scaturisce questa formula!
So' utilizzarla e so' il significato della formula, ma non ricordo da cosa si inizia per giungere a tale formula!
Grazie mille!
$ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $
Non sto ricordando da dove scaturisce questa formula!
So' utilizzarla e so' il significato della formula, ma non ricordo da cosa si inizia per giungere a tale formula!
Grazie mille!
Dato che
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
e
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $,
allora l'equazione
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
si può scrivere in modo diverso:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 -> (x^2+ax) + (y^2+by)+c=0 ->$
$(x+a/2)^2-a^2/4+(y+b/2)^2-b^2/4+ c=0->$
$(x+a/2)^2+(y+b/2)^2=a^2/4+b^2/4-c->$
$(x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4$.
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
e
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $,
allora l'equazione
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
si può scrivere in modo diverso:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 -> (x^2+ax) + (y^2+by)+c=0 ->$
$(x+a/2)^2-a^2/4+(y+b/2)^2-b^2/4+ c=0->$
$(x+a/2)^2+(y+b/2)^2=a^2/4+b^2/4-c->$
$(x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4$.
Probabilmente il libro dirà che un'equazione avente quelle particolarità non rappresenta necessariamente una circonferenza!
Infatti l'equazione
$x^2+y^2+4=0$
ha quelle caratteristiche, ma non rappresenta una circonferenza.
Infatti è una equazione di secondo grado in due variabili, è priva del termine misto $xy$ ed ha il coefficiente di $x^2$ uguale a quello di $y^2$.
Però non e' verificata da alcuna coppia di valori reali, perché, qualsiasi sia la coppia $(x, y)$, a primo membro c'è un numero che è $>=4$ e che quindi non può essere $=0$.
Infatti l'equazione
$x^2+y^2+4=0$
ha quelle caratteristiche, ma non rappresenta una circonferenza.
Infatti è una equazione di secondo grado in due variabili, è priva del termine misto $xy$ ed ha il coefficiente di $x^2$ uguale a quello di $y^2$.
Però non e' verificata da alcuna coppia di valori reali, perché, qualsiasi sia la coppia $(x, y)$, a primo membro c'è un numero che è $>=4$ e che quindi non può essere $=0$.
"Bad90":
..... la formula risolutiva della distanza tra' due punti:
$ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $
....
No, questa è la formula della distanza di un punto $(x_1, y_1)$ da una retta $ax+by+c=0$.
"chiaraotta":
Però non e' verificata da alcuna coppia di valori reali, perché, qualsiasi sia la coppia $(x, y)$, a primo membro c'è un numero che è $>=4$ e che quindi non può essere $=0$.
Forse avrò un pò di confusione in testa io, ma cosa si intende che non è rappresentata da nessuna coppia di numeri reali?
In questo caso quali sono i numeri reali che non rappresentano .................
Quindi se fosse così:
$x^2+y^2+4>0$
Sarebbe giusto?
Mentre se se fosse:
$x^2+y^2+4>=0$
Non sarebbe giusto?!
Insomma, se si tratta di una disuguaglianza, ci può essere la possibilità che sia vera, ma se si tratta di una uguaglianza, invece no! Quindi se dice che una equazione del tipo:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Rappresenta una circonferenza solo se $ a^2+b^2-4c>0 $ si riferisce a ciò che ho detto in questo messaggio?
Ho Compreso correttamente?
"chiaraotta":
..... la formula risolutiva della distanza tra' due punti:
$ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $
No, questa è la formula della distanza di un punto $(x_1, y_1)$ da una retta $ax+by+c=0$.
Ma sul mio testo, ho trovato che la distanza di un punto è data da
$ d=sqrt((x^2+y^2)) $
Come si arriva a questa?
$ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $
Grazie mille!
Ma nella seguente equazione:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
in base al valore dei coefficienti $ a,b,c $ la circonferenza assume posizioni particolari rispetto agli assi, ok, ma come si può spiegare questo?
Si potrebbe dire es. che $ a $ rappresenta la coordinata $ x $ , mentre $ b $ la coordinata $ y $, e $ c $ cosa rappresenta................
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
in base al valore dei coefficienti $ a,b,c $ la circonferenza assume posizioni particolari rispetto agli assi, ok, ma come si può spiegare questo?
Si potrebbe dire es. che $ a $ rappresenta la coordinata $ x $ , mentre $ b $ la coordinata $ y $, e $ c $ cosa rappresenta................
Domande a risposta aperta
1) L'equazione $ x^2+y^2+1=0 $ rappresenta una circonferenza? Si, no, perchè?
Risp.
Non non rappresenta una circonferenza perchè qualsiasi sia il valore delle incognite, sarà sempre maggiore di 1.
2) L'equazione $ x^2+y^2-3x+t(x^2+y^2-1)=0 $ rappresenta una circonferenza per ogni valore di $ t $ ? Perchè?
Penso che non rappresenta una circonferenza per ogni valore di $ t $ , perchè resta quel $ -3x $ che da fastidio ....
1) L'equazione $ x^2+y^2+1=0 $ rappresenta una circonferenza? Si, no, perchè?
Risp.
Non non rappresenta una circonferenza perchè qualsiasi sia il valore delle incognite, sarà sempre maggiore di 1.
2) L'equazione $ x^2+y^2-3x+t(x^2+y^2-1)=0 $ rappresenta una circonferenza per ogni valore di $ t $ ? Perchè?
Penso che non rappresenta una circonferenza per ogni valore di $ t $ , perchè resta quel $ -3x $ che da fastidio ....
Il controesempio di chiaraotta mi sembra azzeccato.
prova a scriverlo così:
$x^2+y^2=-4$
ti accorgi che al primo membro hai una somma di quadrati e al secondo un numero negativo. Non esistono valori reali di x e y tali che la somma dei quadrati sia un numero negativo!
dimmi se è chiaro
prova a scriverlo così:
$x^2+y^2=-4$
ti accorgi che al primo membro hai una somma di quadrati e al secondo un numero negativo. Non esistono valori reali di x e y tali che la somma dei quadrati sia un numero negativo!
dimmi se è chiaro
"piero_":
Il controesempio di chiaraotta mi sembra azzeccato.
prova a scriverlo così:
$x^2+y^2=-4$
ti accorgi che al primo membro hai una somma di quadrati e al secondo un numero negativo. Non esistono valori reali di x e y tali che la somma dei quadrati sia un numero negativo!
dimmi se è chiaro
Ok, è chiarissimo!
"Bad90":
Ma sul mio testo, ho trovato che la distanza di un punto è data da $ d=sqrt((x^2+y^2)) $
questa è la distanza di un punto dall'origine.
La formula per la distanza tra due punti è questa:
\(\overline {AB} = \sqrt {(x_A - x_B )^2 + (y_A - y_B )^2 } \)
ti accorgi che se a questa formula applichi le coordinate dell'origine ti ritrovi quella da te postata.
"Bad90":
Come si arriva a questa? $ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $
Questa è la distanza tra un punto e una retta
Non bisogna confonderle.
"piero_":
Ti accorgi che se a questa formula applichi le coordinate dell'origine ti ritrovi quella da te postata.
$ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $
Scusami, non voglio stressarti, potresti farmi vedere gli step che ti portano a $ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $, utilizzando le coordinate dell'origine?
Ti ringrazio!
"Bad90":
Si potrebbe dire es. che $ a $ rappresenta la coordinata $ x $ , mentre $ b $ la coordinata $ y $, e $ c $ cosa rappresenta................
no, non si può dire.
Però i coefficienti hanno un significato. Per spiegarlo occorre usare un approccio un po' diverso alla scrittura dell'equazione della circonferenza.
In pratica la metà di $a$ cambiata di segno è l'ascissa del centro della circonferenza, la metà di $b$ cambiata di segno è l'ordinata del centro della circonferenza, la relazione:
\(r= \sqrt{\alpha^2+\beta^2-c}\)
ci dà la misura del raggio.
"Bad90":
potresti farmi vedere gli step che ti portano a $ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $, utilizzando le coordinate dell'origine? Ti ringrazio!
no no, non è questa, ma questa:
$d=sqrt{x^2+y^2}$
questa
$ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $
è la distanza punto-retta e non punto-punto
non confondere la distanza tra due punti con la distanza tra un punto e una retta
Ok, ma quali sono gli step che portano a
$ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $
Grazie mille!
$ d=|ax_1+by_1+c| /(sqrt(a^2+b^2)) $
Grazie mille!
In un messaggio precedente, ho detto che:
Si potrebbe dire es. che $ a $ rappresenta la coordinata $ x $ , mentre $ b $ la coordinata $ y $, e $ c $ cosa rappresenta................
Ho fatto queste affermazioni, perchè il mio testo dice che se:
1)$ a=b=0 $ la circonferenza ha centro in $ O $ con equazione $ x^2+y^2+c=0 $
2)$ a=0 $ la circonferenza ha centro sull'asse $ y $ con equazione $ x^2+y^2+by+c=0 $
3)$ b=0 $ la circonferenza ha centro sull'asse $ x $ con equazione $ x^2+y^2+ax+c=0 $
4)$ c=0 $ la circonferenza passa per l'origine $ O $ con equazione $ x^2+y^2+ax+by=0 $
5)$ a=c=0 $ ha centro sull'asse $ y $, passa per l'origine $ O $ed è tangente all'asse $ x $ con equazione $ x^2+y^2+by=0 $
6)$ b=c=0 $ ha centro sull'asse $ x $, passa per l'origine $ O $ed è tangente all'asse $ y $ con equazione $ x^2+y^2+ax=0 $
A me questi punti ancora non sono chiari!?!??!
Sarà che ho iniziato ieri questo capitolo
Si potrebbe dire es. che $ a $ rappresenta la coordinata $ x $ , mentre $ b $ la coordinata $ y $, e $ c $ cosa rappresenta................
Ho fatto queste affermazioni, perchè il mio testo dice che se:
1)$ a=b=0 $ la circonferenza ha centro in $ O $ con equazione $ x^2+y^2+c=0 $
2)$ a=0 $ la circonferenza ha centro sull'asse $ y $ con equazione $ x^2+y^2+by+c=0 $
3)$ b=0 $ la circonferenza ha centro sull'asse $ x $ con equazione $ x^2+y^2+ax+c=0 $
4)$ c=0 $ la circonferenza passa per l'origine $ O $ con equazione $ x^2+y^2+ax+by=0 $
5)$ a=c=0 $ ha centro sull'asse $ y $, passa per l'origine $ O $ed è tangente all'asse $ x $ con equazione $ x^2+y^2+by=0 $
6)$ b=c=0 $ ha centro sull'asse $ x $, passa per l'origine $ O $ed è tangente all'asse $ y $ con equazione $ x^2+y^2+ax=0 $
A me questi punti ancora non sono chiari!?!??!
Sarà che ho iniziato ieri questo capitolo
Sarebbe meglio che usassi il tasto "rispondi" per rispondere. L'abuso di "cita" è penalmente perseguibile e rende il 3d meno chiaro.
Se mentre si cerca di darti una risposta, tu proponi un'altra domanda ne esce un guazzabuglio inverecondo.
La dimostrazione della formula per la distanza tra punto e retta la trovi sicuramente sul tuo libro.
veniamo ai quesiti:
se hai letto il testo nascosto, prova a disegnare ciascuna circonferenza, partendo dalla generica, e vedi cosa succede per ciascuno dei 6 punti.
ti prego, leggi le risposte e non citare tutto il post.
Se mentre si cerca di darti una risposta, tu proponi un'altra domanda ne esce un guazzabuglio inverecondo.
La dimostrazione della formula per la distanza tra punto e retta la trovi sicuramente sul tuo libro.
veniamo ai quesiti:
se hai letto il testo nascosto, prova a disegnare ciascuna circonferenza, partendo dalla generica, e vedi cosa succede per ciascuno dei 6 punti.
ti prego, leggi le risposte e non citare tutto il post.
Ho provveduto a sistemare il Thread, ho eliminato le volte che ho utilizzato il tasto cita!
Grazie per avermi avvisato!
Scusami se sovrappongo le domande, provvederò a non far succedere più questo inconveniente!
Poi, desidererei che mi insegnassi a postare dei testi in modalità nascosta come hai fatto nel messaggio precedente!
Accipicchia, dopo i miei superati 1249 messaggi, ancora non sono riuscito a postare delle immagini in quel modo!
Ho provveduto a disegnare la circonferenza per ciascuno dei punti, adesso ho le idee più chiare, devo solo fare un bel po' di esercizi e penso che tutto torna a posto!
Grazie per avermi avvisato!
Scusami se sovrappongo le domande, provvederò a non far succedere più questo inconveniente!
Poi, desidererei che mi insegnassi a postare dei testi in modalità nascosta come hai fatto nel messaggio precedente!
Accipicchia, dopo i miei superati 1249 messaggi, ancora non sono riuscito a postare delle immagini in quel modo!
Ho provveduto a disegnare la circonferenza per ciascuno dei punti, adesso ho le idee più chiare, devo solo fare un bel po' di esercizi e penso che tutto torna a posto!
"Bad90":
postare dei testi in modalità nascosta
[spoiler]testo da nascondere[/spoiler]
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