Circonferenza
Nel primo paragrafo del capitolo che parla della circonferenza, mi sono trovato in un concetto analogo a quello che ho trovato per la parabola, ma desidererei avere conferme su quanto sto per dire.....
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Risposte
I punti sono l'intersezione fra la retta BC e la circonferenza di centro A e raggio 5: trovi le equazioni di queste due curve e le metti a sistema. Controlli poi la soluzione algebrica con la figura.
Come hai fatto a dire che si tratta di una circonferenza? Come faccio a fare il sistema di queste due curve?
Perdonami, ma non sto capendo!
Perdonami, ma non sto capendo!
Ma dai! Sei certo in grado di risponderti da solo: dove stanno i punti che distano 5 da A? Oppure, in altre parole, cos'è una circonferenza?
Per l'altra domanda, hai svolto decine di esercizi in cui si chiedeva di trovare le intersezioni di due curve; impossibile che non ti ricordi come si fa.
Per l'altra domanda, hai svolto decine di esercizi in cui si chiedeva di trovare le intersezioni di due curve; impossibile che non ti ricordi come si fa.
"giammaria":
Dove stanno i punti che distano 5 da A? Oppure, in altre parole, cos'è una circonferenza?
Allora......
Nella geometria, una circonferenza è quel luogo geometrico costituito da punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.
... e quindi, indicando con P un punto, dire "P dista 5 da A" è lo stesso che dire "P sta sulla circonferenza di centro A e raggio 5".
"giammaria":
... e quindi, indicando con P un punto, dire "P dista 5 da A" è lo stesso che dire "P sta sulla circonferenza di centro A e raggio 5".
Hai ragione, sarà stata la stanchezza che non mi ha fatto rendere conto della banalità dell'esercizio!
Ovviamente i punti che interessano a noi sono le intersezioni della circonferenza con la retta, ricavata la retta:
$ x-7y+20=0 $
Ricavata la circonferenza dalla formula che segue:
$ (x-4)^2+(y-7)^2=25 $
Imposto il sistema ed ottengo i punti che mi interessano:
$ { (x-7y+20=0 ),( x^2+y^2-8x-14y+40=0):} $
I punti sono $ A(8,4);B(1,3) $
Bravissimo; penso anch'io che sia stata la stanchezza, unita al caldo di questi giorni. Forse ti conviene concederti qualche pausa ogni tanto.
Si hai ragione, ma adesso preferisco di no, non voglio fermarmi! Pensa che adesso sono in vacanza, tutto ieri ero in viaggio e continuavo a rivedere esercizi e concetti! Diciamo che sono in vacanza, ma dal lavoro, approfitto in queste settimane per andare avanti con i capitoli!
La tua buona volontà è encomiabile, ma prenditi anche qualche ora di svago. Una volta, alla vigilia di un importante esame universitario, mia madre ha preteso che per tutto il giorno la scarrozzassi in auto e non ho potuto aprire libro; al momento dell'esame ho scoperto che la mia mente funzionava molto, molto meglio del solito ed ho avuto un votone. Morale: bisogna studiare ma anche rispettare le necessità del cervello; i dubbi che hai avuto nell'ultimo esercizio lo confermano.
Allora devo cercare di stare un po' lontano dai libri 
Solo che appena passa qualche ora, penso che il mio tempo impiegato nel relax, sia perso! Il consiglio datomi e' da apprezzare, dato che ormai mi conosci, non posso non ascoltarti, fino ad adesso sono riuscito a raggiungere obbiettivi ascoltandoti, penso che se tutti gli studenti avessero un docente con la passione e le capacita' da te possedute, si potrebbero ritenere tutti fortunatissimi!
Solo che appena passa qualche ora, penso che il mio tempo impiegato nel relax, sia perso! Il consiglio datomi e' da apprezzare, dato che ormai mi conosci, non posso non ascoltarti, fino ad adesso sono riuscito a raggiungere obbiettivi ascoltandoti, penso che se tutti gli studenti avessero un docente con la passione e le capacita' da te possedute, si potrebbero ritenere tutti fortunatissimi!
Esercizio 14
Scrivere le equazioni delle circonferenze di raggio $ 1 $ che passano per $ A(3,-1)^^B(4,-2) $ .
Se io conosco il raggio che e' $ r=1 $ e conosco un punto che appartiene alla circonferenza, quello che mi manca è il centro, giusto?
L'unica cosa che mi è venuta in mente è determinare la retta passante per il punto $ A(3,-1) $ in questo modo:
$ y+1=m(x-3) $
$ y+1=0(x-3) $
$ y=-1 $
Adesso so che il punto distante $ 1 $ dal punto $ A(3,-1) $, appartiene alla retta $ y=-1 $, ma non mi viene in mente come fare a ricavare quel segmento lungo $ 1 $ da $ A $ appartenente alla retta!
Scrivere le equazioni delle circonferenze di raggio $ 1 $ che passano per $ A(3,-1)^^B(4,-2) $ .
Se io conosco il raggio che e' $ r=1 $ e conosco un punto che appartiene alla circonferenza, quello che mi manca è il centro, giusto?
L'unica cosa che mi è venuta in mente è determinare la retta passante per il punto $ A(3,-1) $ in questo modo:
$ y+1=m(x-3) $
$ y+1=0(x-3) $
$ y=-1 $
Adesso so che il punto distante $ 1 $ dal punto $ A(3,-1) $, appartiene alla retta $ y=-1 $, ma non mi viene in mente come fare a ricavare quel segmento lungo $ 1 $ da $ A $ appartenente alla retta!
No, non c'è nessun motivo per supporre che sia $m=0$. Il problema può essere risolto in modi diversi; uno di essi è prendere l'equazione della circonferenza nalla forma $x^2+y^2+ax+by+c=0$ e poi imporre che 1) la circonferenza passi per A; 2) la circonferenza passi per B; 3) il raggio, calcolabile con la formula $r^2=(a/2)^2+(b/2)^2-c$, valga 1.
Oppure, detto C(x,y) il centro, puoi trovarlo risolvendo il sistema dato da CA=1 e CB=1; sapendo centro e raggio è poi facile scrivere l'equazione della ciconferenza.
Oppure, detto C(x,y) il centro, puoi trovarlo risolvendo il sistema dato da CA=1 e CB=1; sapendo centro e raggio è poi facile scrivere l'equazione della ciconferenza.
Allora se impongo il passaggio per $ A(3,-1) $ avrò:
$ 9+1+3a-b+c=0 $
$ 3a-b+c+10=0 $
Giusto?
$ 9+1+3a-b+c=0 $
$ 3a-b+c+10=0 $
Giusto?
Giusto.
"giammaria":
Giusto.
E poi come devo continuare?
Non sto capendo come fare, come utilizzo l'equazione che passa per A e quella che passa per B
${(9+1+3a-b+c=0 " perchè la curva passa per A"),(16+4+4a-2b+c=0 " perché la curva passa per B"),(a^2/4+b^2/4-c=1 " perché il raggio è 1"):}$
Io non ho pensato a questo sistema perchè ho pensato a cosa centra la circonferenza che passa per A con quella che passa per B Se sono due circonferenze a se, per quale motivo posso metterle a sistema Oppure ho compreso male la traccia e quindi passano per A e B contemporaneamente
Se sono due circonferenze a se, per quale motivo posso metterle a sistema Oppure ho compreso male la traccia e quindi passano per A e B contemporaneamente
"giammaria":
${(9+1+3a-b+c=0 " perchè la curva passa per A"),(16+4+4a-2b+c=0 " perché la curva passa per B"),(a^2/4+b^2/4-c=1 " perché il raggio è 1"):}$
$ { ( c=-2a ),( b=10+a ),( a^2+14a+48=0 ):} $
Ok, sono riuscito a risolverlo!
Solo che mi resta il dubbio sul fatto se le circonferenze appartengono ad entrambi i punti o ai punti singolarmente ad A e a B!
Effettivamente il testo non è chiarissimo, ma intende che la stessa circonferenza passa per A e B. Usa il plurale perché ci sono due soluzioni ma se avesse voluto due circonferenze diverse si sarebbe espresso in altro modo, ad esempio dicendo "due circonferenze, passanti una per A e l'altra per B".
A suo tempo, il mio professore mi aveva insegnato a ragionare sulla figura: se cerchi di farla ti accorgi subito che ci sono infinite circonferenze passanti per A (o per B) e di raggio 1 e che occorre pensare al passaggio per entrambi i punti.
A suo tempo, il mio professore mi aveva insegnato a ragionare sulla figura: se cerchi di farla ti accorgi subito che ci sono infinite circonferenze passanti per A (o per B) e di raggio 1 e che occorre pensare al passaggio per entrambi i punti.
Ok! !
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