Circonferenza
Nel primo paragrafo del capitolo che parla della circonferenza, mi sono trovato in un concetto analogo a quello che ho trovato per la parabola, ma desidererei avere conferme su quanto sto per dire.....
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Risposte
Non sto capendo un concetto.....
Ma se mi vengono date le coordinate del centro es. $ C(2,5) $ e le coordinate di un punto della circonferenza es. $ P(-1,4) $ , si utilizza un determinato metodo risolutivo per scrivere l'equazione della circonferenza ...., ma perché non si possono utilizzare direttamente i valori di $ C(2,5) $ sostituendoli nell'equazione generale, invece di ricavare le nuove coordinate, mediante $ (-a/2;-b/2) $ ???
Grazie mille!
Ma se mi vengono date le coordinate del centro es. $ C(2,5) $ e le coordinate di un punto della circonferenza es. $ P(-1,4) $ , si utilizza un determinato metodo risolutivo per scrivere l'equazione della circonferenza ...., ma perché non si possono utilizzare direttamente i valori di $ C(2,5) $ sostituendoli nell'equazione generale, invece di ricavare le nuove coordinate, mediante $ (-a/2;-b/2) $ ???
Grazie mille!
puoi procedere in due modi:
(1) ti trovi subito a e b con le coordinate del centro, poi sostituisci le coordinate di P nell'eq. che avrà solo c come incognita e te lo trovi.
(2) calcoli CP che è il raggio r e poi scrivi l'eq. nella forma :$(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
(1) ti trovi subito a e b con le coordinate del centro, poi sostituisci le coordinate di P nell'eq. che avrà solo c come incognita e te lo trovi.
(2) calcoli CP che è il raggio r e poi scrivi l'eq. nella forma :$(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
Esercizio 5
Trovare l'equazione della circonferenza che passa per P(5,-3) ed e' concentrica alla circonferenza di equazione $ x^2+y^2-2x=0 $ .
a)Mostrare che la retta $ 3x-4y+2=0 $ ,stacca sulla circonferenza di raggio maggiore una corda il cui punto medio appartiene all'altra circonferenza.
b) Calcolare l'area della corona circolare determinata dalle due circonferenze.
Risoluzione
La circonferenza che mi richiede la traccia e':
$ x^2+y^2-2x-24=0 $
Adesso ho un po' le idee confuse su come continuare, cosa mi consigliate di fare? Insomma, cosa devo fare per risolvere il punto a)???
Come faccio a dimostrare .....................
Ho fatto varie prove e l'unica cosa che mi è venuta in mente è calcolarmi i punti di intersezione tra la circonferenza e la retta, in tal caso sono riuscito ad ottenere i punti della corda, mettendo a sistema:
$ { ( x^2+y^2-2x-24=0 ),( 3x-4y+2=0 ):} $
$ { ( x^2+y^2-2x-24=0 ),( x=(4y-2)/3 ):} $
Sono arrivato ad ottenere i due punti aventi le seguenti coordinate:
$ A((2+8sqrt(6))/5 ; (4+6sqrt(6))/5) $
$ B((2-8sqrt(6))/5 ; (4-6sqrt(6))/5) $
L'unica cosa che adesso mi viene in mente di fare, è ricavare il punto medio del segmento $ AB $ , e verificare che tale valore sia lo stesso del valore risultante l'intersezione della corda con la circonferenza avente raggio minore!
Dite che è la via corretta per risolvere il punto a)?????
Grazie mille!
Trovare l'equazione della circonferenza che passa per P(5,-3) ed e' concentrica alla circonferenza di equazione $ x^2+y^2-2x=0 $ .
a)Mostrare che la retta $ 3x-4y+2=0 $ ,stacca sulla circonferenza di raggio maggiore una corda il cui punto medio appartiene all'altra circonferenza.
b) Calcolare l'area della corona circolare determinata dalle due circonferenze.
Risoluzione
La circonferenza che mi richiede la traccia e':
$ x^2+y^2-2x-24=0 $
Adesso ho un po' le idee confuse su come continuare, cosa mi consigliate di fare? Insomma, cosa devo fare per risolvere il punto a)???
Come faccio a dimostrare .....................
Ho fatto varie prove e l'unica cosa che mi è venuta in mente è calcolarmi i punti di intersezione tra la circonferenza e la retta, in tal caso sono riuscito ad ottenere i punti della corda, mettendo a sistema:
$ { ( x^2+y^2-2x-24=0 ),( 3x-4y+2=0 ):} $
$ { ( x^2+y^2-2x-24=0 ),( x=(4y-2)/3 ):} $
Sono arrivato ad ottenere i due punti aventi le seguenti coordinate:
$ A((2+8sqrt(6))/5 ; (4+6sqrt(6))/5) $
$ B((2-8sqrt(6))/5 ; (4-6sqrt(6))/5) $
L'unica cosa che adesso mi viene in mente di fare, è ricavare il punto medio del segmento $ AB $ , e verificare che tale valore sia lo stesso del valore risultante l'intersezione della corda con la circonferenza avente raggio minore!
Dite che è la via corretta per risolvere il punto a)?????
Grazie mille!
Devi solo verificare l'appartenenza. Trovato il punto medio, sostituisci le coordinate nell'equazione della circonferenza minore. Se le coordinate verificano l'eq., il punto sta sulla circonferenza.
Quindi ciò che ho fatto, va bene!
Infatti si arriva ad avere il punto medio di coordinate $ x_m=2/5;y_m=4/5 $ , sostituisco nell'equazione della circonferenza minore $ x^2+y^2-2x=0 $ e si ha l'uguaglianza verificata!
Ti ringrazio!
Infatti si arriva ad avere il punto medio di coordinate $ x_m=2/5;y_m=4/5 $ , sostituisco nell'equazione della circonferenza minore $ x^2+y^2-2x=0 $ e si ha l'uguaglianza verificata!
Ti ringrazio!
Ho risolto il punto b), cioè mi sono calcolato l'area della corona circolare, ed ho ottenuto $ A=Pi(24) $ , solo che la formula sono andato a trovara in internet, perchè il capitolo che parla della circonferenza, non parla proprio della corona circolare 
!
Per quale motivo mi fa fare le cose se prima non le mensiona??
! Per quale motivo mi fa fare le cose se prima non le mensiona??
Non le menziona perché ritiene che tu le sappia da anni precedenti o che, anche senza internet, tu pensi che l'area di una corona circolare è data dall'area del cerchio maggiore meno quella del minore: basta guardare la figura!
Perfetto! Bene a sapersi
Esercizio 6
Scrivere l'equazione della circonferenza che ha per diametro il segmento di estremi $ A(-2,0);B(6,0) $
Si fa in questo modo:
$ x_m=2;y_m=0 $ quindi $ C(2,0) $, ricavo la distanza tra due punti per determinare il diametro ed ho $ d=sqrt(16) $
Potrò scrivere l'equazione della circonferenza in questo modo:
$ (x-2)^2+(y-0)^2=r^2 $
che in questo caso si potrà scrivere
$ (x-2)^2+(y-0)^2=16 $
e mi porta alla giusta equazione
$ x^2+y^2-4x-12=0 $
N.B. Adesso mi chiedo il perchè: se ricavo la distanza tra due punti $ AB $ ed ho $ d=sqrt(16) $, questo so che è il diametro, giusto? Bene, so che il raggio è la metà del diametro, ed in questo caso potrò dire che il raggio è $2$, giusto? Allora perchè non posso scrivere la seguente equazione?
$ (x-2)^2+(y-0)^2=r^2 $
$ (x-2)^2+(y-0)^2=2^2 $
Il dubbio mi è venuto anche perchè se calcolo la distanza tra due punti $ CB $ , mi viene fuori sempre $ d=sqrt(16) $, questo è il calcolo del raggio, ma perchè il diametro ha lo stesso valore del raggio?
Scrivere l'equazione della circonferenza che ha per diametro il segmento di estremi $ A(-2,0);B(6,0) $
Si fa in questo modo:
$ x_m=2;y_m=0 $ quindi $ C(2,0) $, ricavo la distanza tra due punti per determinare il diametro ed ho $ d=sqrt(16) $
Potrò scrivere l'equazione della circonferenza in questo modo:
$ (x-2)^2+(y-0)^2=r^2 $
che in questo caso si potrà scrivere
$ (x-2)^2+(y-0)^2=16 $
e mi porta alla giusta equazione
$ x^2+y^2-4x-12=0 $
N.B. Adesso mi chiedo il perchè: se ricavo la distanza tra due punti $ AB $ ed ho $ d=sqrt(16) $, questo so che è il diametro, giusto? Bene, so che il raggio è la metà del diametro, ed in questo caso potrò dire che il raggio è $2$, giusto? Allora perchè non posso scrivere la seguente equazione?
$ (x-2)^2+(y-0)^2=r^2 $
$ (x-2)^2+(y-0)^2=2^2 $
Il dubbio mi è venuto anche perchè se calcolo la distanza tra due punti $ CB $ , mi viene fuori sempre $ d=sqrt(16) $, questo è il calcolo del raggio, ma perchè il diametro ha lo stesso valore del raggio?
"Bad90":
ha per diametro il segmento di estremi $ A(-2,0);B(6,0) $ ricavo la distanza tra due punti per determinare il diametro ed ho $ d=sqrt(16) $
hai sbagliato i conti, il diametro vale 8, dunque il raggio 4. l'eq. giusta risulta questa:
$ (x-2)^2+(y-0)^2=4^2 $
Ok, ti ringrazio!
Esercizio 7
Scrivere l'equazione della circonferenza che ha per il diametro il segmento staccato dagli assi cartesiani sulla retta $ y=x+4 $
E quì cosa mi tocca fare? Come faccio a fare l'intersezione con i dati che posseggo?
Scrivere l'equazione della circonferenza che ha per il diametro il segmento staccato dagli assi cartesiani sulla retta $ y=x+4 $
E quì cosa mi tocca fare? Come faccio a fare l'intersezione con i dati che posseggo?
interseca (fai il sistema) la retta data con ciascuna eq. degli assi cartesiani.
trovi un punto di intersezione con l'asse x, uno con l'asse y. L'esercizio diventa analogo al numero 6.
trovi un punto di intersezione con l'asse x, uno con l'asse y. L'esercizio diventa analogo al numero 6.
"piero_":
interseca (fai il sistema) la retta data con ciascuna eq. degli assi cartesiani.
trovi un punto di intersezione con l'asse x, uno con l'asse y. L'esercizio diventa analogo al numero 6.
Perfetto, sono riuscito a ricavare l'equazione cercata:
$ x^2+y^2+4x-4y=0 $
Non avevo pensato proprio di ricavare l'intersezione con le equazioni degli assi, per ricavare i punti che mi interessavano!
Ti ringrazio!
Esercizio 8
Scrivere l'equazione della circonferenza di centro C e tangente alla retta t nel seguente caso:
$ C(6,3) $ Con retta $ t:5x+12y-1=0 $
Come bisogna procedere?
Sono riuscito a risolverlo utilizzando la formula della distanza punto-retta,
Grazie mille!
Scrivere l'equazione della circonferenza di centro C e tangente alla retta t nel seguente caso:
$ C(6,3) $ Con retta $ t:5x+12y-1=0 $
Come bisogna procedere?
Sono riuscito a risolverlo utilizzando la formula della distanza punto-retta,
Grazie mille!
Ho un dubbio su un passaggio algebrico, chiedo gentilmente voi delle conferme....
Nello svolgere un esercizio simile a quello del messaggio precedente, con il punto C(3,-2) e la retta $ y=-1/2x+4 $ , mi sono calcolato la distanza punto-retta:
$ d=|3-4-8|/sqrt(5) $
Quindi il raggio sarà $ r=(9sqrt(5))/5 $ , bene l'equazione della circonferenza, sarà:
$ x^2+y^2-6x+4x+13=81/5 $
Adesso come continuo a semplificare l'equazione?
Devo fare così?
$ x^2+y^2-6x+4x=81/5 -13$
$ x^2+y^2-6x+4x=16/5 $
Quindi
$ x^2+y^2-6x+4x-16/5=0$
Ho fatto bene? Oppure devo fare il minimo comune multiplo per tutta l'equazione? Oppure il minimo comune multiplo si fa solo nei termini noti? Se si, perché?
Insomma il testo mi scrive il risultato in questo modo:
$ x^2+y^2-6x+4x-16/5=0$
Mi sembra che si concentra a fare i calcoli facendo il minimo comune multiplo solo per i termini noti, per quale motivo?
Nello svolgere un esercizio simile a quello del messaggio precedente, con il punto C(3,-2) e la retta $ y=-1/2x+4 $ , mi sono calcolato la distanza punto-retta:
$ d=|3-4-8|/sqrt(5) $
Quindi il raggio sarà $ r=(9sqrt(5))/5 $ , bene l'equazione della circonferenza, sarà:
$ x^2+y^2-6x+4x+13=81/5 $
Adesso come continuo a semplificare l'equazione?
Devo fare così?
$ x^2+y^2-6x+4x=81/5 -13$
$ x^2+y^2-6x+4x=16/5 $
Quindi
$ x^2+y^2-6x+4x-16/5=0$
Ho fatto bene? Oppure devo fare il minimo comune multiplo per tutta l'equazione? Oppure il minimo comune multiplo si fa solo nei termini noti? Se si, perché?
Insomma il testo mi scrive il risultato in questo modo:
$ x^2+y^2-6x+4x-16/5=0$
Mi sembra che si concentra a fare i calcoli facendo il minimo comune multiplo solo per i termini noti, per quale motivo?
Nulla vieta di dare denominatore comune a tutto e qualche libro lo fa; il tuo preferisce invece lasciare in forma canonica (cioè iniziare con $x^2+y^2$ senza coefficienti) e penso anch'io che sia meglio così. Piccolo errore di battitura: hai scritto $+4x$ intendendo sicuramente $+4y$.
Si, scusatemi ho digitato male!
Quindi i passaggi che ho fatto io sono giusti? Sono gli stessi che ha fatto il libro? Limitandosi a fare il minimo comune multiplo dei valori noti?
Quindi i passaggi che ho fatto io sono giusti? Sono gli stessi che ha fatto il libro? Limitandosi a fare il minimo comune multiplo dei valori noti?
Sì, sono giusti; io avrei preferito portare a primo membro $(81)/5$ ma non è obbligatorio.
Perfetto!
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