Circonferenza
Nel primo paragrafo del capitolo che parla della circonferenza, mi sono trovato in un concetto analogo a quello che ho trovato per la parabola, ma desidererei avere conferme su quanto sto per dire.....
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Risposte
Esercizio 15
Scrivere le equazioni delle circonferenze di raggio 5 che passano per i punti M(6,2), N(-1,-5).
A me sembra analogo all'esercizio 14 , ma sto avendo problemi in qualche passaggio algebrico!
E' giusto iniziare con il seguente sistema?
$ { ( 6a+2b+c+40=0 ),( -a-5b+c+26=0 ),( (a/2)^2+(b/2)^2-c=25 ):} $
Non sto capendo il perchè, ma arrivo al seguente punto e mi blocco sulla equazione di secondo grado che mi da un $ Delta<0 $ , ecco dove mi blocco:
$ { ( b=-2-a ),( c=-4a-36),( a^2+6a+24=0):} $
Scrivere le equazioni delle circonferenze di raggio 5 che passano per i punti M(6,2), N(-1,-5).
A me sembra analogo all'esercizio 14
, ma sto avendo problemi in qualche passaggio algebrico! E' giusto iniziare con il seguente sistema?
$ { ( 6a+2b+c+40=0 ),( -a-5b+c+26=0 ),( (a/2)^2+(b/2)^2-c=25 ):} $
Non sto capendo il perchè, ma arrivo al seguente punto e mi blocco sulla equazione di secondo grado che mi da un $ Delta<0 $ , ecco dove mi blocco:
$ { ( b=-2-a ),( c=-4a-36),( a^2+6a+24=0):} $
Direi di sì.
"giammaria":
Direi di sì.
Allora ci sarà un errore di battitura da parte del testo??
E' da due ore che faccio e rifaccio questo esercizio, ma niente, non riesco a risolverlo!
Secondo te, è un errore nel testo?
Pensa che il testo mi dice che i risultati sono:
1) $ x^2+y^2-4x+2y-20=0 $
2) $ x^2+y^2-6x+4y-12=0 $
Ma non riesco proprio ad arrivare a questi due risultati!
I risultati del libro sono corretti, controlla la terza equaz. del sistema
"piero_":
I risultati sono corretti
Ma io non riesco
ad arrivare a quei risultati, personalmente non riseco a dire che sono corretti! Sto facendo tanti altri esercizi tipo questo e non sto avendo problemi, ma non capisco perchè con questo non riesco!
Ho provato a rivedere la terza equazione, ma viene fuori ancora $ 2a^2+12a+48=0 $ !
Non so proprio cosa dire!
$a^2+10a+24=0$
se non ti trovi, ti posto i calcoli.
se non ti trovi, ti posto i calcoli.
"piero_":
$a^2+10a+24=0$
se non ti trovi, ti posto i calcoli.
E come hai fatto?
Se si arriva a questo punto:
$ a^2+b^2-4c-100=0 $
e poi:
$ a^2+4-4a+a^2+16a+144-100=0 $
$ 2a^2+12a+48=0 $
Non so dove sto sbagliando?!?!?
"Bad90":
$ a^2+4-4a+a^2+16a+144-100=0 $
il doppio prodotto è positivo:
\(a^2+b^2-4c=100\)
\(a^2+(-2-a)^2-4(-4a-36)=100\)
\( a^2+4+4a+a^2+16a+144-100=0 \)
\(2a^2+20a+48=0\)
\(a^2+10a+24=0\)
da cui
\(a_1=-4 \qquad a_2=-6\)
Ma scusa, come può essere tutto positivo?
Se faccio:
$ (-2-a)^2 $
Questo non sarà così? $ 4-4a+a^2 $
Oppure in questi casi bisogna considerare tutti i valori all'interno delle parentesi sempre positivi perchè i tratta di un quadrato
E' come se fosse un valore assoluto, giusto?
Se faccio:
$ (-2-a)^2 $
Questo non sarà così? $ 4-4a+a^2 $
Oppure in questi casi bisogna considerare tutti i valori all'interno delle parentesi sempre positivi perchè i tratta di un quadrato
E' come se fosse un valore assoluto, giusto?
quadrato del primo termine $(-2)^2=4$
doppio prodotto del primo termine per il secondo \( ( -2) \cdot (-2)=+4\)
quadrato del secondo termine $(-a)^2=a^2$
in pratica: se i segni sono concordi tutti i termini sono positivi, se sono discordi il doppio prodotto è negativo.
doppio prodotto del primo termine per il secondo \( ( -2) \cdot (-2)=+4\)
quadrato del secondo termine $(-a)^2=a^2$
in pratica: se i segni sono concordi tutti i termini sono positivi, se sono discordi il doppio prodotto è negativo.
Scusami, ma io pensavo si potesse fare il quadrato del primo termine, meno il doppio prodotto del primo per il secondo termine, piu il quadrato del secondo termine, in questo modo:
Es.
$ (-a-b)^2=>a^2 -2*(-a)*(-b)+b^2 $
Insomma, io metto un meno in più, quindi la regola da rispettare e' quella che mi hai fatto notare?
Es.
$ (-a-b)^2=>a^2 -2*(-a)*(-b)+b^2 $
Insomma, io metto un meno in più, quindi la regola da rispettare e' quella che mi hai fatto notare?
Sì, la regola è sempre più doppio prodotto (che ha il meno se i due termini hanno segno diverso). Puoi anche vederla così:
$(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=+(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=+(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
"giammaria":
Sì, la regola è sempre più doppio prodotto (che ha il meno se i due termini hanno segno diverso). Puoi anche vederla così:
$(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=+(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Adesso è tutto chiaro
Mi chiedo come mai in tanti esercizi che ho fatto tempo fa sui quadrati di binomio...., non mi sia capitata questa regola!
Ma se mi viene chiesto di verificare che una retta avente equazione es. $ 3x-4y=12 $ sia tangente ad una circonferenza es. $ x^2+y^2-6x-6y+9=0 $ , cosa devo fare
Allora, metto a sistema retta e circonferenza e dovrò avere un sistema con una equazione di secondo grado il cui $ Delta=0 $, questo conferma che il punto di intersezione retta circonferenza, è un punto solo!
Allora, metto a sistema retta e circonferenza e dovrò avere un sistema con una equazione di secondo grado il cui $ Delta=0 $, questo conferma che il punto di intersezione retta circonferenza, è un punto solo!
Sì, è un modo giusto. Oppure puoi trovare centro e raggio della circonferenza (cosa comunque necessaria per fare la figura) e poi verificare che la distanza del centro dalla retta è uguale al raggio; ricordi certo la formula per la distanza retta-punto.
Esercizio 16
Scrivere l'equazione delle circonferenze che passano per il punto A(4,-2) e sono tangenti ai due assi cartesiani. Calcolare l'area del trapezio non intrecciato che ha come vertici i punti di contatto delle circonferenze con gli assi.
Come faccio a determinare le equazioni delle circonferenze
Scrivere l'equazione delle circonferenze che passano per il punto A(4,-2) e sono tangenti ai due assi cartesiani. Calcolare l'area del trapezio non intrecciato che ha come vertici i punti di contatto delle circonferenze con gli assi.
Come faccio a determinare le equazioni delle circonferenze
"giammaria":
Ricordi certo la formula per la distanza retta-punto.
Si, e':
$ d=|ax_1+by_1+c|/sqrt(a^2+b^2) $
Esercizio 16
Anche qui il plurale è dovuto al fatto che la soluzione non è unica; ragioniamo però su una sola circonferenza.
Se una circonferenza è tangente all'asse x il suo centro C ne dista quanto il raggio, quindi $|y_C|=r$; analogamente se è tangente all'asse y si ha $|x_C|=r$; nel tuo problema valgono entrambe. I valori assoluti danno fastidio ma possiamo toglierli con questo ragionamento: se è tangente agli assi non li attraversa; un suo punto è nel quarto quadrante quindi tutta la circonferenza ed anche il suo centro è lì e ne deduciamo il segno da prendere. Ora prova a continuare tu.
Anche qui il plurale è dovuto al fatto che la soluzione non è unica; ragioniamo però su una sola circonferenza.
Se una circonferenza è tangente all'asse x il suo centro C ne dista quanto il raggio, quindi $|y_C|=r$; analogamente se è tangente all'asse y si ha $|x_C|=r$; nel tuo problema valgono entrambe. I valori assoluti danno fastidio ma possiamo toglierli con questo ragionamento: se è tangente agli assi non li attraversa; un suo punto è nel quarto quadrante quindi tutta la circonferenza ed anche il suo centro è lì e ne deduciamo il segno da prendere. Ora prova a continuare tu.
Allora, il punto è nel quarto quadrante e quindi ho coordinate con segno $ x;-y $ , giusto? Infatti le coordinate del punto sono $ A(4,-2) $, quindi i centri delle circonferenze saranno sulla bisettrice avente equazione $ x=-y $ , va bene fin quì?
I segni sono giusti ma sai anche i valori: il centro è $C (r,-r)$ ed effettivamente sta su quella bisettrice.
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