Circonferenza
Nel primo paragrafo del capitolo che parla della circonferenza, mi sono trovato in un concetto analogo a quello che ho trovato per la parabola, ma desidererei avere conferme su quanto sto per dire.....
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Ho questa equazione:
$ x^2+ax=(x+a/2)^2-a^2/4 $
Mi sembra che questi artifizi, vengano utilizzati per ottenere un quadrato! Giusto?
Fa' lo stesso anche in questa:
$ y^2+by=(y+b/2)^2-b^2/4 $
Poi dice che grazie a queste due equazioni, la seguente:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Si puo' ridurre alla forma:
$ (x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a^2+b^2-4c)/4 $
Ma come ha fatto a ridurla in questo modo?
Risposte
Domande aperte 1
1)Scrivere l'equazione di una circonferenza che ha il cento nell' origine degli assi.
Risposta
Sapendo che nell'origine degli assi si trova il centro avente coordinate $ C(0,0) $ , sapendo che il centro e' dato dalla seguente:
$ C(-a/2;-b/2) $
Con equazione in forma generale della circonferenza:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Posso dunque dire che l'equazione sara':
$ x^2+y^2+c^2=0 $
1)Scrivere l'equazione di una circonferenza che ha il cento nell' origine degli assi.
Risposta
Sapendo che nell'origine degli assi si trova il centro avente coordinate $ C(0,0) $ , sapendo che il centro e' dato dalla seguente:
$ C(-a/2;-b/2) $
Con equazione in forma generale della circonferenza:
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
Posso dunque dire che l'equazione sara':
$ x^2+y^2+c^2=0 $
Domande aperte 2
Scrivere l'equazione di una circonferenza che:
a)Ha centro sull'asse x e passa per l'origine.
Ho pensato che puo' essere questa:
$ x^2+y^2+ax=0 $
b)Ha centro sull'asse y e passa per l'origine degli assi.
Ho pensato alla seguente:
$ x^2+y^2+bx=0 $
Scrivere l'equazione di una circonferenza che:
a)Ha centro sull'asse x e passa per l'origine.
Ho pensato che puo' essere questa:
$ x^2+y^2+ax=0 $
b)Ha centro sull'asse y e passa per l'origine degli assi.
Ho pensato alla seguente:
$ x^2+y^2+bx=0 $
Dopo tutte le pagine che ho fatto oggi, ho alcuni dubbi su quanto sto per scrivere.
Se mi viene chiesto di dire se la seguente equazione e' una circonferenza:
$ x^2+2y^2+3x-2y-2=0 $
E' giusto dire che non e' una circonferenza perché ho quel $ 2y^2 $ e quindi bisogna dividere per $ 2 $ tutta l'equazione? In questo caso si parla di un principio di equivalenza, che porta l'equazione a diventare in questo modo:
$ 1/2x^2+y^2+3/2x-y-1=0 $
Adesso penso che si può dire che è una circonferenza, intendo come equazione, per dare la conferma in termini di numeri, bisogna verificare che il raggio abbia un valore maggiore di zero, quindi $ a^2+b^2-4c>0 $. Quindi dopo averla fatta diventare equazione in forma canonica, posso dunque dire che è una circonferenza? Anche perchè il raggio mi risulta essere $ 9+4+8>0 $
E giusto quanto ho detto fin quì??
Provo a fare un esempio che a mio parere può ingannare a prima vista e datemi conferma se sto per dire bene!
Se mi viene chiesto di dire se si tratta di una circonferenza, la seguente equazione:
$ x^2+y^2+2x-3y+10=0 $
Io rispondo che anche se sembra una circonferenza in quanto è scritta in forma canonica, in realta non è una circonferenza perchè il raggio ha valore minore di zero, cioè $ 4+9-4*10<0 $
Dite che sto capendo i concetti?
Grazie mille!
Se mi viene chiesto di dire se la seguente equazione e' una circonferenza:
$ x^2+2y^2+3x-2y-2=0 $
E' giusto dire che non e' una circonferenza perché ho quel $ 2y^2 $ e quindi bisogna dividere per $ 2 $ tutta l'equazione? In questo caso si parla di un principio di equivalenza, che porta l'equazione a diventare in questo modo:
$ 1/2x^2+y^2+3/2x-y-1=0 $
Adesso penso che si può dire che è una circonferenza, intendo come equazione, per dare la conferma in termini di numeri, bisogna verificare che il raggio abbia un valore maggiore di zero, quindi $ a^2+b^2-4c>0 $. Quindi dopo averla fatta diventare equazione in forma canonica, posso dunque dire che è una circonferenza? Anche perchè il raggio mi risulta essere $ 9+4+8>0 $
E giusto quanto ho detto fin quì??
Provo a fare un esempio che a mio parere può ingannare a prima vista e datemi conferma se sto per dire bene!
Se mi viene chiesto di dire se si tratta di una circonferenza, la seguente equazione:
$ x^2+y^2+2x-3y+10=0 $
Io rispondo che anche se sembra una circonferenza in quanto è scritta in forma canonica, in realta non è una circonferenza perchè il raggio ha valore minore di zero, cioè $ 4+9-4*10<0 $
Dite che sto capendo i concetti?
Grazie mille!
"Bad90":
Domande aperte 1
1)Scrivere l'equazione di una circonferenza che ha il cento nell' origine degli assi.
Risposta
.....
Posso dunque dire che l'equazione sara':
$ x^2+y^2+c^2=0 $
No, se $c=0$ allora l'equazione è soddisfatta solo da $(0,0)$; se $c!=0$ l'equazione è impossibile.
"Bad90":
dire se la seguente equazione e' una circonferenza: $x^2+2y^2+3x-2y-2=0 $
E' giusto dire che non e' una circonferenza
è giusto, ma dai una spiegazione sbagliata qui
"Bad90":
l'equazione a diventare in questo modo: $ 1/2x^2+y^2+3/2x-y-1=0 $
Adesso penso che si può dire che è una circonferenza
sbagliato. se non ha i coefficienti di secondo grado uguali sicuramente non è una circonferenza.
Per verificare che un'equazione $x^2+y^2+ax+by+c=0$ è una circonferenza occorre che sia:
(1) il termine di $x^2$ uguale al termine di $y^2$
(2) il raggio positivo cioè deve essere
"Bad90":
Se mi viene chiesto di dire se si tratta di una circonferenza, la seguente equazione:
$ x^2+y^2+2x-3y+10=0 $
non è una circonferenza perchè il raggio ha valore minore di zero, cioè $ 4+9-4*10<0 $
risposta giusta, ma motivazione errata. Non è il raggio che è minore di zero, ma il radicando (il termine sotto radice nella formula del raggio). Dunque il raggio non è reale e l'eq. non rappresenta una circonferenza.
Ok, adesso vedo di meditare sugli errori che ho fatto! 
"chiaraotta":
No, se $c=0$ allora l'equazione è soddisfatta solo da $(0,0)$; se $c!=0$ l'equazione è impossibile.
Scusami, allora posso scrivere così?
$ x^2+y^2=r^2 $
Perchè dovrà essere $ a=b=0 $ Non sto capendo il fatto che: se $c=0$ allora l'equazione è soddisfatta solo da $(0,0)$; se $c!=0$ l'equazione è impossibile.
"piero_":
Sbagliato. se non ha i coefficienti di secondo grado uguali sicuramente non è una circonferenza.
Adesso ho capito, infatti un esempio tipico dove può essere trasformata in una circonferenza è questa:
$ 3x^2+3y^2-5x+6y-2=0 $
Vero?
"Bad90":
[...] può essere trasformata in una circonferenza è questa: $ 3x^2+3y^2-5x+6y-2=0 $
esatto, perchè non è che "viene trasformata in una circonferenza", ma è già una circonferenza.
Già che ci sei, dimmi quali sono le coordinate del centro e la misura del raggio.
Partiamo dal minimo sindacale.
A proposito dell'equazione $x^2+y^2+c^2=0$ i casi sono due.
1) Se $c=0$ l'equazione è $x^2+y^2=0$.
Poiché un quadrato è sempre $>=0$ ed è $=0$ solo se anche la base è $=0$, la somma di due quadrati è $=0$ soltanto se sono $=0$ ambedue i numeri che si elevano al quadrato. Quindi $x^2+y^2=0=>x=0 text( e ) y=0$. Perciò l'equazione è quella dell'origine degli assi $(0, 0)$.
2) Se $c!=0$ l'equazione è $x^2+y^2=-c^2$, dove $-c^2$ è un numero sicuramente $<0$.
Ma la somma dei due quadrati $x^2+y^2$ è sempre $>=0$ e quindi non può mai essere uguale a un numero $<0$. Quindi l'equazione $x^2+y^2=-c^2$, dove $-c^2$ è un numero sicuramente $<0$, non ha soluzioni e dunque non può rappresentare una circonferenza.
1) Se $c=0$ l'equazione è $x^2+y^2=0$.
Poiché un quadrato è sempre $>=0$ ed è $=0$ solo se anche la base è $=0$, la somma di due quadrati è $=0$ soltanto se sono $=0$ ambedue i numeri che si elevano al quadrato. Quindi $x^2+y^2=0=>x=0 text( e ) y=0$. Perciò l'equazione è quella dell'origine degli assi $(0, 0)$.
2) Se $c!=0$ l'equazione è $x^2+y^2=-c^2$, dove $-c^2$ è un numero sicuramente $<0$.
Ma la somma dei due quadrati $x^2+y^2$ è sempre $>=0$ e quindi non può mai essere uguale a un numero $<0$. Quindi l'equazione $x^2+y^2=-c^2$, dove $-c^2$ è un numero sicuramente $<0$, non ha soluzioni e dunque non può rappresentare una circonferenza.
"piero_":
Può essere trasformata in una circonferenza: $ 3x^2+3y^2-5x+6y-2=0 $
esatto, perchè non è che "viene trasformata in una circonferenza", ma è già una circonferenza.
Già che ci sei, dimmi quali sono le coordinate del centro e la misura del raggio.
Partiamo dal minimo sindacale.
Ok, ecco i passaggi:
$ x^2+y^2-5/3x+2y-2/3=0 $
$ C(5/6;-1) $ con raggio $ r=1/6sqrt(85) $
"chiaraotta":
A proposito dell'equazione $x^2+y^2+c^2=0$ i casi sono due.
Adesso è tutto chiaro!
centro e raggio ok.
Esercizio 1
Scrivere l'equazione della circonferenza che hanno i centri ed i raggi indicati:
$ C(1/3,1/4) $ e raggio $ r=3 $
Bene, io sono riuscito ad ottenere, $ a=-2/3;b=-1/2 $ , solo che nel ricavare $ c $ dalla formula del raggio, sono arrivato al seguente risultato, $ c=-1271/144 $ , come posso semplificarlo ulteriormente? Oppure posso lasciarlo così?
Scrivere l'equazione della circonferenza che hanno i centri ed i raggi indicati:
$ C(1/3,1/4) $ e raggio $ r=3 $
Bene, io sono riuscito ad ottenere, $ a=-2/3;b=-1/2 $ , solo che nel ricavare $ c $ dalla formula del raggio, sono arrivato al seguente risultato, $ c=-1271/144 $ , come posso semplificarlo ulteriormente? Oppure posso lasciarlo così?
"Bad90":
Esercizio 1
Scrivere l'equazione della circonferenza che hanno i centri ed i raggi indicati:
$ C(1/3,1/4) $ e raggio $ r=3 $
....
$(x-1/3)^2+(y-1/4)^2=3^2$
Esercizio 2
Scrivere l'equazione della circonferenza di raggio uguale a $ 8sqrt(2) $ che è concentrica alla circonferenza di equazione
$ x^2+y^2-8x+10y-7=0 $
Allora, ho $ a=-8, b=10 $ in questa equazione ho $ c=-7 $
Sto impostando la seguente equazione:
$ 1/2sqrt(a^2+b^2-4c)=8sqrt(2) $
Ma non ottengo il risultato perchè non so come utilizzare quel $ -7 $
Scrivere l'equazione della circonferenza di raggio uguale a $ 8sqrt(2) $ che è concentrica alla circonferenza di equazione
$ x^2+y^2-8x+10y-7=0 $
Allora, ho $ a=-8, b=10 $ in questa equazione ho $ c=-7 $
Sto impostando la seguente equazione:
$ 1/2sqrt(a^2+b^2-4c)=8sqrt(2) $
Ma non ottengo il risultato perchè non so come utilizzare quel $ -7 $
"Bad90":
....circonferenza di raggio uguale a $ 8sqrt(2) $ che è concentrica alla circonferenza di equazione
$ x^2+y^2-8x+10y-7=0 $ ...
$ x^2+y^2-8x+10y-7=0 $ ha centro in $(-a/2, -b/2)->(4, -5)$.
Quindi la circonferenza cercata ha equazione
$(x-4)^2+(y+5)^2=(8sqrt(2))^2$.
"chiaraotta":
$(x-1/3)^2+(y-1/4)^2=3^2$
Quindi basta scrivere l'equazione in questo modo?
$ x^2+y^2-2/3x-1/2y+1/9+1/16=9 $
E se voglio verificare che quella uguaglianza sia veramente $ 9 $ , cosa devo fare?
Che valori bisogna dare alla $ x $ e $ y $
Esercizio 3
Scrivere l'equazione della circonferenza, concentrica alla circonferenza:
$ x^2+y^2-4x+2y-1=0 $
e di raggio $ r=2 $
Ho pensato che se è concentrica, vuol dire che ha lo stesso valore di $ a;b $ quindi posso utilizzare gli stessi valori della circonferenza data dalla traccia, cioè $ -4x+2y $, mentre per il raggio vale l'equazione:
$ 1/2sqrt(16+4-4c)=2 $
Che mi porta al calore di $ c=1 $ , quindi l'equazione sarà:
$ x^2+y^2-4x+2y+1=0 $
Adesso mi chiedo se nelle traccie del genere, quando mi viene detto che la circonferenza è concentrica, posso utilizzare subito gli stessi valori di $ a;b $ dell'equazione di partenza, senza fare calcoli aggiuntivi per questi due valori
Posso fare così?
Scrivere l'equazione della circonferenza, concentrica alla circonferenza:
$ x^2+y^2-4x+2y-1=0 $
e di raggio $ r=2 $
Ho pensato che se è concentrica, vuol dire che ha lo stesso valore di $ a;b $ quindi posso utilizzare gli stessi valori della circonferenza data dalla traccia, cioè $ -4x+2y $, mentre per il raggio vale l'equazione:
$ 1/2sqrt(16+4-4c)=2 $
Che mi porta al calore di $ c=1 $ , quindi l'equazione sarà:
$ x^2+y^2-4x+2y+1=0 $
Adesso mi chiedo se nelle traccie del genere, quando mi viene detto che la circonferenza è concentrica, posso utilizzare subito gli stessi valori di $ a;b $ dell'equazione di partenza, senza fare calcoli aggiuntivi per questi due valori
Posso fare così?
Esercizio 4
Scrivere l'equazione della circonferenza concentrica alla circonferenza
$ x^2+y^2+6x-4y+1=0 $
Passante per il punto $ P(2,1) $
Penso sia un esercizio banale, ma chiedo a voi conferme......
Se il centro e' lo stesso, potrò scrivere l'equazione nel seguente modo:
$ x^2+y^2+6x-4y+c=0 $
In questo caso mi interessa conoscere il valore di c, e quindi prendo le coordinate del punto P, e le sostituisco nell'equazione, avrò $ c=-13 $ , avrò quindi l'equazione che sarà
$ x^2+y^2+6x-4y-13=0 $
Quindi, si può dire che il termine c dell'equazione della circonferenza si riferisce alle coordinate dei punti che giacciono sulla circonferenza?
Grazie mille!
Scrivere l'equazione della circonferenza concentrica alla circonferenza
$ x^2+y^2+6x-4y+1=0 $
Passante per il punto $ P(2,1) $
Penso sia un esercizio banale, ma chiedo a voi conferme......
Se il centro e' lo stesso, potrò scrivere l'equazione nel seguente modo:
$ x^2+y^2+6x-4y+c=0 $
In questo caso mi interessa conoscere il valore di c, e quindi prendo le coordinate del punto P, e le sostituisco nell'equazione, avrò $ c=-13 $ , avrò quindi l'equazione che sarà
$ x^2+y^2+6x-4y-13=0 $
Quindi, si può dire che il termine c dell'equazione della circonferenza si riferisce alle coordinate dei punti che giacciono sulla circonferenza?
Grazie mille!
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