Caso particolare integrale
Scusate io mi trovo l integrale
$int 1/(2x^2x+1)$
$int 1/((2(1/2)^2+(x-(1/2)^2))$
per farl ha preso il denominatore e ha fatto $(2x^2-2x+1)=2(x^2-x+(1/2))$
poi ha continuato facendo $2(x^2-x+(1/4)-(1/4)+(1/2))$
da qui ha detto che il denomnatore diventa $2((x-(1/2))^2+(1/4))$
poi il risultato viene con un arcotangente perché si rifà a un integrale immediato che non so se bene qual è poi andrò a vedere, però io non ho capito la scomposizione.
Cioè ha detto che è un discriminante, un po come quando si fa la formula per risolvere le disequazioni di secondo grado, ma non ho capito comunque, perché ha detto che si guardano i primi due numeri che sono $x^2-x$ dopo aver raccolto il $2$ , e ha detto che la $x^2$ è il quadrato di $x$ e fino li ho capoito, poi ha detto che invece la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$ non ho capito che significa la frase:'la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$'vorrei sapere che ragionamento ha fatto, me lo potete spiegare per favore?
grazie
scusate il disturbo
Cordiali saluti
$int 1/(2x^2x+1)$
$int 1/((2(1/2)^2+(x-(1/2)^2))$
per farl ha preso il denominatore e ha fatto $(2x^2-2x+1)=2(x^2-x+(1/2))$
poi ha continuato facendo $2(x^2-x+(1/4)-(1/4)+(1/2))$
da qui ha detto che il denomnatore diventa $2((x-(1/2))^2+(1/4))$
poi il risultato viene con un arcotangente perché si rifà a un integrale immediato che non so se bene qual è poi andrò a vedere, però io non ho capito la scomposizione.
Cioè ha detto che è un discriminante, un po come quando si fa la formula per risolvere le disequazioni di secondo grado, ma non ho capito comunque, perché ha detto che si guardano i primi due numeri che sono $x^2-x$ dopo aver raccolto il $2$ , e ha detto che la $x^2$ è il quadrato di $x$ e fino li ho capoito, poi ha detto che invece la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$ non ho capito che significa la frase:'la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$'vorrei sapere che ragionamento ha fatto, me lo potete spiegare per favore?
grazie
scusate il disturbo
Cordiali saluti
Risposte
Vogliamo che il termine di primo grado sia il doppio prodotto del quadrato di un binomio, quindi pensiamolo come $2x*"qualcosa"$; il qualcosa in questione darà l'altro termine del binomio. Facendo per scritto il passaggio che di solito viene solo pensato e considerando solo il pezzo incriminato, abbiamo
$x^2-x+1/2=x^2-2x*1/2+1/2$
I primi due addendi vengono da $(x-1/2)^2$ ma manca il quadrato del secondo: aggiungiamolo e sottraiamolo scrivendo
$=x^2-2x*1/2+1/4-1/4+1/2=(x-1/2)^2+1/4$
P.S. : non mettere fra parentesi le frazioni: è inutile, disturba la lettura e ti richiede la fatica di digitarle.
$x^2-x+1/2=x^2-2x*1/2+1/2$
I primi due addendi vengono da $(x-1/2)^2$ ma manca il quadrato del secondo: aggiungiamolo e sottraiamolo scrivendo
$=x^2-2x*1/2+1/4-1/4+1/2=(x-1/2)^2+1/4$
P.S. : non mettere fra parentesi le frazioni: è inutile, disturba la lettura e ti richiede la fatica di digitarle.
Per verificare se ho capito, dato che non sono sicuro ti chiedo per favore di darmi 4 esercizi piu o meno dello stesso tipo con magari qualche piccola variante che mi porti a ragionare....
nel frattempo ti pvolevo segnalare una cosa:
oggi sono andato da un prof per vedere un esercizio $int (13x-1)/(x^2+2x-3)$, lui mi fa:'come fai a risolverlo?'
e io dico...be raccolgo fuori il $3$ e diventa al denominaore $3(x^2/3 +2x/3-1)$.
ma lui dice che questo non si fa cosi, mi ha detto di fare il discroiminante trovando cosi i 2 risultati $-3$ e $1$
poi mi ha fatto un altro tipo di discorso che era cosi:
riscrivo al denominatore quei due numeri:
$(13x-1)/[(x+3)(x-1)]$
poi per regola si fa cosi, si scrive $a$ e $b$ e sotto il denominatore spaccato in 2.
$a/(x+3)+b/(x-1)$ si fa poi l'mcm o l'mcd, insomma non so come si chiama
$(x(a+b)+a+3b)/[(x+3)(x-1)]$
ora prendo solo il numeratore e lo eguaglio a qst:
$13x-1=x(a+b)+a+3b$
poi ancora
$(a+b)=13$
$(a+3b)=-1$
poi si risolve per sostituzione,peccato che risolvendo per sostituzione a un certo punto il prof mi dice che devono venire 2 numeri e me li dice anche ma ora non li ricordo.
Io dico che non mi è venuto perché mi viene
$a=-40+3a$
$b=12-3b$
Poi però mi è stato detto che cè un errore ma alla fine non è stato corretto.
Bo, io non ho capito perché per questo esercizio esiste questo metodo e non si fa come quello che ho scritto sul sito in precedenza.
Qual è la differenza fra l'esercizio che ho scritto adesso e quello che avevi risolto tu fino al denominatore?
E poi, perché si usa un metodo nel primo e un altro metodo nel secondo?
Grazie
Cordiali saluti
nel frattempo ti pvolevo segnalare una cosa:
oggi sono andato da un prof per vedere un esercizio $int (13x-1)/(x^2+2x-3)$, lui mi fa:'come fai a risolverlo?'
e io dico...be raccolgo fuori il $3$ e diventa al denominaore $3(x^2/3 +2x/3-1)$.
ma lui dice che questo non si fa cosi, mi ha detto di fare il discroiminante trovando cosi i 2 risultati $-3$ e $1$
poi mi ha fatto un altro tipo di discorso che era cosi:
riscrivo al denominatore quei due numeri:
$(13x-1)/[(x+3)(x-1)]$
poi per regola si fa cosi, si scrive $a$ e $b$ e sotto il denominatore spaccato in 2.
$a/(x+3)+b/(x-1)$ si fa poi l'mcm o l'mcd, insomma non so come si chiama
$(x(a+b)+a+3b)/[(x+3)(x-1)]$
ora prendo solo il numeratore e lo eguaglio a qst:
$13x-1=x(a+b)+a+3b$
poi ancora
$(a+b)=13$
$(a+3b)=-1$
poi si risolve per sostituzione,peccato che risolvendo per sostituzione a un certo punto il prof mi dice che devono venire 2 numeri e me li dice anche ma ora non li ricordo.
Io dico che non mi è venuto perché mi viene
$a=-40+3a$
$b=12-3b$
Poi però mi è stato detto che cè un errore ma alla fine non è stato corretto.
Bo, io non ho capito perché per questo esercizio esiste questo metodo e non si fa come quello che ho scritto sul sito in precedenza.
Qual è la differenza fra l'esercizio che ho scritto adesso e quello che avevi risolto tu fino al denominatore?
E poi, perché si usa un metodo nel primo e un altro metodo nel secondo?
Grazie
Cordiali saluti
Non ho capito bene il tutto (soprattutto il primo integrale) ma la mia idea sarebbe questa ...
Nell'ultimo integrale il DEN è scomponibile in binomi più semplici e il NUM è una funzione con grado inferiore al DEN, quindi la funzione si può scomporre in fratti semplici (che presumo sia la tecnica usata dal prof e sulla quale puoi trovare molto materiale in internet); tecnica che non puoi usare per il primo integrale dato che il DEN è già irriducibile è il numeratore è già una costante; in pratica sei già ai "minimi termini" perciò si usa un'altra tecnica e credo che sia quella del "completamento del quadrato" del DEN per poi riportarsi all'arcotangente (almeno questo mi pare di aver capito).
Cordialmente, Alex
Nell'ultimo integrale il DEN è scomponibile in binomi più semplici e il NUM è una funzione con grado inferiore al DEN, quindi la funzione si può scomporre in fratti semplici (che presumo sia la tecnica usata dal prof e sulla quale puoi trovare molto materiale in internet); tecnica che non puoi usare per il primo integrale dato che il DEN è già irriducibile è il numeratore è già una costante; in pratica sei già ai "minimi termini" perciò si usa un'altra tecnica e credo che sia quella del "completamento del quadrato" del DEN per poi riportarsi all'arcotangente (almeno questo mi pare di aver capito).
Cordialmente, Alex
Attento ai segni! Se li controlli con attenzione vedi che il sistema da risolvere non è quello che scrivi ma
${(a+b=13),(-a+3b=-1):}$ con soluzioni ${(a=10),(b=3):}$
Non mi è poi chiaro come, lavorando per sostituzione, tu possa arrivare a
$a=-40+3a$
$b=12-3b$
e l'unica cosa che riesco a pensare è che tu abbia fatto giri molto viziosi.
Ma veniamo alla domanda importante e cioè
Quando integri una frazione algebrica i metodi sono diversi a seconda di essere nell'uno o nell'altro dei seguenti casi:
- il denominatore è scomponibile in fattori: allora devi fare la scomposizione e continuare come nell'ultimo esercizio;
- il denominatore non è scomponibile: allora devi fare il completamento del quadrato come nell'esercizio precedente.
La prima cosa da fare è quindi stabilire se è scomponibile o no: a volte ne vedi subito la scomposizione ed allora sai di essere nel primo caso. Altre volte però non la vedi subito ed allora ricorri alla formula
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
Devi quindi calcolare $x_1,x_2$ risolvendo l'equazione $ax^2+bx+c=0$:
- se $Delta>=0$ ci sono soluzioni reali e per scomporre puoi applicare quella formula;
- se invece $Delta<0$ sei nel caso in cui il denominatore non è scomponibile.
${(a+b=13),(-a+3b=-1):}$ con soluzioni ${(a=10),(b=3):}$
Non mi è poi chiaro come, lavorando per sostituzione, tu possa arrivare a
$a=-40+3a$
$b=12-3b$
e l'unica cosa che riesco a pensare è che tu abbia fatto giri molto viziosi.
Ma veniamo alla domanda importante e cioè
Qual è la differenza fra l'esercizio che ho scritto adesso e quello che avevi risolto tu fino al denominatore?
E poi, perché si usa un metodo nel primo e un altro metodo nel secondo?
Quando integri una frazione algebrica i metodi sono diversi a seconda di essere nell'uno o nell'altro dei seguenti casi:
- il denominatore è scomponibile in fattori: allora devi fare la scomposizione e continuare come nell'ultimo esercizio;
- il denominatore non è scomponibile: allora devi fare il completamento del quadrato come nell'esercizio precedente.
La prima cosa da fare è quindi stabilire se è scomponibile o no: a volte ne vedi subito la scomposizione ed allora sai di essere nel primo caso. Altre volte però non la vedi subito ed allora ricorri alla formula
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
Devi quindi calcolare $x_1,x_2$ risolvendo l'equazione $ax^2+bx+c=0$:
- se $Delta>=0$ ci sono soluzioni reali e per scomporre puoi applicare quella formula;
- se invece $Delta<0$ sei nel caso in cui il denominatore non è scomponibile.
Buonasera, scusate iil disturbo, riprendo un attimo l'integrale che avevo scritto per primo:
$int 1/(2x^2-x+1)dx$
$int 1/[2(x^2-x/2+1/2)]dx$
$1/2int 1/(x^2-2x/2+1/2)dx$
ora qua mi racconto una 'storiella':
1)ok manca il numero $(1/2)^2$ e io spezzo in2 il denominatore e faccio $(x^2-2x/2)$ e $(+1/2)$
rispetto a $(x^2-2x/2)$prendo la radice del 1°termine cioè $x$ e la meta del coefficiente del 2° termine cioè se il 2° termine è $x$ prendo solo $1/2x$ cancellando la $x$.
2)Rispetto all'$1/2$ lo prendo e lo elevo $(1/2)^2$.
riscrivo cosi l'intergrale
$1/2int1/[(x-1/2)^2+(1/2)^2] $
il risultato viene
$1/2[1/(1/2)]arctan(x-1/2)/(1/2)$
ora però avrei 3 domande:
1)la 'storiella' che ho fatto prima per ricavare la giusta scomposizione del denominatore puo andare bene?
2)Non riesco a capire perche nel risultato $1/2[1/(1/2)]arctan(x-1/2)/(1/2)$ c'è quel $[1/(1/2)]$
3)L'integrale immediato a cui si riconduce tale integrale è $int 1/(1+x^2)dx='arctan'x+c$.....vedendolo dico:'si ok ma cosi non si capisce, non si potrebbe riscrivere come $int 1/(n+x^2)dx='arctan' x/n+c$?(scusate cè la 'g' che mi va come se fosse a numeratore e non so toglierla)
Grazie
Buonaserata
$int 1/(2x^2-x+1)dx$
$int 1/[2(x^2-x/2+1/2)]dx$
$1/2int 1/(x^2-2x/2+1/2)dx$
ora qua mi racconto una 'storiella':
1)ok manca il numero $(1/2)^2$ e io spezzo in2 il denominatore e faccio $(x^2-2x/2)$ e $(+1/2)$
rispetto a $(x^2-2x/2)$prendo la radice del 1°termine cioè $x$ e la meta del coefficiente del 2° termine cioè se il 2° termine è $x$ prendo solo $1/2x$ cancellando la $x$.
2)Rispetto all'$1/2$ lo prendo e lo elevo $(1/2)^2$.
riscrivo cosi l'intergrale
$1/2int1/[(x-1/2)^2+(1/2)^2] $
il risultato viene
$1/2[1/(1/2)]arctan(x-1/2)/(1/2)$
ora però avrei 3 domande:
1)la 'storiella' che ho fatto prima per ricavare la giusta scomposizione del denominatore puo andare bene?
2)Non riesco a capire perche nel risultato $1/2[1/(1/2)]arctan(x-1/2)/(1/2)$ c'è quel $[1/(1/2)]$
3)L'integrale immediato a cui si riconduce tale integrale è $int 1/(1+x^2)dx='arctan'x+c$.....vedendolo dico:'si ok ma cosi non si capisce, non si potrebbe riscrivere come $int 1/(n+x^2)dx='arctan' x/n+c$?(scusate cè la 'g' che mi va come se fosse a numeratore e non so toglierla)
Grazie
Buonaserata
Il denominatore che scrivi adesso non è lo stesso che c'era al'inizio e quindi richiede calcoli diversi; vedendoli verifichi da solo se la tua "storiella" va bene o no. Io non saprei dirtelo con sicurezza perché non è chiarissima.
$2x^2-x+1=2(x^2-x/2+1/2)=2(x^2-2x*1/4+1/2)=2[x^2-2x*1/4+(1/4)^2-(1/4)^2+1/2]=2[(x-1/4)^2-1/16+1/2]=2[(x-1/4)^2+7/16]$
Per le altre due domande, ti prego di riscriverle tenendo presente che per il compilatore il simbolo dell'arcotangente è arctan. Alla disperata scrivi "arctg", fra virgolette oppure abbonda in parentesi.
$2x^2-x+1=2(x^2-x/2+1/2)=2(x^2-2x*1/4+1/2)=2[x^2-2x*1/4+(1/4)^2-(1/4)^2+1/2]=2[(x-1/4)^2-1/16+1/2]=2[(x-1/4)^2+7/16]$
Per le altre due domande, ti prego di riscriverle tenendo presente che per il compilatore il simbolo dell'arcotangente è arctan. Alla disperata scrivi "arctg", fra virgolette oppure abbonda in parentesi.
Scusa ma non dovrebbe essere $2x^2-x+1=2(x^2-x/2+1/2)=2(x^2-2x/2+1/2)$?Cioè tu avevi scritto sopra $1/4$ al posto del mio $x/2$...non lo so per carità sbaglio io. A ogni modo non capisco il risulatato perchhè c'è quel $[1/1/2]$.
Continuo a pensare all'integrale:
$int 1/(n+x^2)='arctan'x/n+c$ Ho inserito la $n$ al posto dell'$1$ usato sul libro di testo perchè secondo me la formula è piu intuibile ma ditemelo pure se sbaglio.
A ogni modo non capisco questo $[1/1/2]$ come fa a 'formarsi' diciamo.
Perchè per come la interpreto io quella formula io scriverei il risultato cosi:
$1/2'arctan'(x-1/2)/(1/2)$ che diventa $1/2'arctan'2(x-1/2)$
Continuo a pensare all'integrale:
$int 1/(n+x^2)='arctan'x/n+c$ Ho inserito la $n$ al posto dell'$1$ usato sul libro di testo perchè secondo me la formula è piu intuibile ma ditemelo pure se sbaglio.
A ogni modo non capisco questo $[1/1/2]$ come fa a 'formarsi' diciamo.
Perchè per come la interpreto io quella formula io scriverei il risultato cosi:
$1/2'arctan'(x-1/2)/(1/2)$ che diventa $1/2'arctan'2(x-1/2)$
"ramarro":
$=2(x^2-x/2+1/2)=2(x^2-2x/2+1/2)$
NO: facendo i calcoli a ritroso, vedi che $-2x/2=-x$ e non il $-x/2$ che avevi. In generale se vuoi che una frazione sia scritta come 2* qualcosa devi moltiplicare per 2 il suo denominatore perché solo cosi semplificando il prodotto torneresti al valore iniziale. Esempi:
$1/3=2*1/6$
$3/5x=2x*3/10$
Veniamo ora all'integrale di cui parli, e che purtroppo è sbagliato. Con la sostituzione $x=sqrtn*u->dx=sqrtndu$ hai
$int(dx)/(n+x^2)=int (sqrt ndu)/(n(1+u^2))=1/sqrtn int(du)/(1+u^2)=1/sqrtnarctanu+c=1/sqrt n arctan \fracx sqrtn+c$
Quanto al tuo integrale iniziale, eri arrivato a
$1/2int(dx)/((x-1/2)^2+(1/2)^2)$
che, con la sostituzione $x-1/2=1/2u->dx=1/2du$ diventa
$=1/2 int(1/2du)/(1/4u^2+1/4)=1/4int(du)/(1/4(u^2+1))=arctanu+c=arctan(2x-1)+c$
Tu dai come risultato $1/2arctan2(x-1/2)+c=1/2arctan(2x-1)+c$: il coefficiente iniziale non va bene ma il resto sì.
Non occorre mettere fra apici il simbolo arctan.
speigazione incredibile, scusa potresti tu o qualcun altro passarmi 4 esercizi simili sulla stessa tipologia di integrale che li faccio per favore?
Grazie
Cordiali saluti
Grazie
Cordiali saluti
Ma non ce l'hai un libro con esercizi? Dai un'occhiata alle soluzioni: se vedi un arcotangente è quasi certamente di questa tipologia.
Scusa di questo però non ho il risultato perchè rientra nella categoria di quell senza istruzioni per farlo:
$int 1/(x^2-4x+5)dx$
$int 1/(5(x^2/5)-4/5x+1)$
$int 1/((sqrtx^2/5-4/5)^2+(4/5)^2)dx$
sostituisco $t=sqrtx^2-4/5sqrt5$ cioè $4/5sqrt5+t=x$, dx=dt
$int 1/5int 1/((1/5t)^2+(4/5)^2)dt$
$1/5int 1/(t^2/25+16/25)dt$
$1/5[1/(1/25)]arctant+c$
$5arctan(sqrtx^2-4/5sqrt5)$
mi viene il dubbio che sia giusto anche perchè qui non è come negli altri casi in cui si porta fuori il coefficiente di $a$, ma ho portato fuori il coefficiente del termine $c$ del polinomio....ma anche qui chi mmi dice che non debba invece portare fuori il coefficiente del termine $b$?
Ciao Ciao
$int 1/(x^2-4x+5)dx$
$int 1/(5(x^2/5)-4/5x+1)$
$int 1/((sqrtx^2/5-4/5)^2+(4/5)^2)dx$
sostituisco $t=sqrtx^2-4/5sqrt5$ cioè $4/5sqrt5+t=x$, dx=dt
$int 1/5int 1/((1/5t)^2+(4/5)^2)dt$
$1/5int 1/(t^2/25+16/25)dt$
$1/5[1/(1/25)]arctant+c$
$5arctan(sqrtx^2-4/5sqrt5)$
mi viene il dubbio che sia giusto anche perchè qui non è come negli altri casi in cui si porta fuori il coefficiente di $a$, ma ho portato fuori il coefficiente del termine $c$ del polinomio....ma anche qui chi mmi dice che non debba invece portare fuori il coefficiente del termine $b$?
Ciao Ciao
Lo dice il fatto che vogliamo avere a denominatore una formula del tipo $(x+-a)^2+b$ (con $b>0$); il tutto può essere moltiplicato per un fattore costante, che non ci interessa perché lo portiamo subito fuori dall'integrale. Se calcoli quel quadrato vedi che $x^2$ ha coefficiente $1$ e quindi è questo che dobbiamo ottenere: si mette in evidenza sempre e solo il coefficiente $a$.
Nel caso del tuo esercizio non c'è niente da mettere in evidenza e passi direttamente al calcolo successivo. Prova; il risultato finale è $arctan(x-2)+c$
Non scrivere $sqrtx^2$: MOLTO meglio scrivere semplicemente $x$.
Aggiungo qualche altro esercizio da svolgere nello stesso modo; dopo l'uguale scrivo il risultato finale.
1) $int(dx)/(x^2+2x+5)=1/2arctan \frac{x+1]2+c$
2) $int(dx)/(3x^2-2x+4)=1/sqrt11arctan \frac(3x-1)(sqrt11)+c$
3) $int(dx)/(3x^2+3x+1)=2/sqrt3arctan[sqrt3(2x+1)]+c$
Nel caso del tuo esercizio non c'è niente da mettere in evidenza e passi direttamente al calcolo successivo. Prova; il risultato finale è $arctan(x-2)+c$
Non scrivere $sqrtx^2$: MOLTO meglio scrivere semplicemente $x$.
Aggiungo qualche altro esercizio da svolgere nello stesso modo; dopo l'uguale scrivo il risultato finale.
1) $int(dx)/(x^2+2x+5)=1/2arctan \frac{x+1]2+c$
2) $int(dx)/(3x^2-2x+4)=1/sqrt11arctan \frac(3x-1)(sqrt11)+c$
3) $int(dx)/(3x^2+3x+1)=2/sqrt3arctan[sqrt3(2x+1)]+c$
Per ora scrivo il primo
int $1/(x^2-4x+5)dx$ poi diciamo che in un foglio a parte si prende solo il denominatore e lo si 'rimaneggia'$(((x-2(4x/2))^2-(2)^2+5)$
continuo sul foglio a parte per fare qualche calcolo se si puo...in questo caso si sottrae il $5-4$quindi:
$((x-2)^2+1)$
ora lo riscrivo nell'integrale
$int 1/((x-2)^2+1)dx=arctan[(x-2)/1]$
int $1/(x^2-4x+5)dx$ poi diciamo che in un foglio a parte si prende solo il denominatore e lo si 'rimaneggia'$(((x-2(4x/2))^2-(2)^2+5)$
continuo sul foglio a parte per fare qualche calcolo se si puo...in questo caso si sottrae il $5-4$quindi:
$((x-2)^2+1)$
ora lo riscrivo nell'integrale
$int 1/((x-2)^2+1)dx=arctan[(x-2)/1]$
Non mi pare che corrisponda alla soluzione di giammaria ... 
Perchè no?il denominatore è come se fosse $1$ nella soluzione di giammaria e nel mio caso viene $1$ perchè non va bene?
Scusami ma pensavo ti riferissi al PRIMO di giammaria, ho visto solo adesso che è un altro integrale ... sorry 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Stavo facendo quello che mi hai dato $int 1/(x^2+2x+5)dx$ ma non mi viene:
Allora Ho preso il denom:
$(((x+2(2x/2))^2-2+5)$
C'è qualcosa che non va gia da qui, devo fare una regola che mi permetta di non sbagliare quando scompongo il denominatore, nel caso precedente funzionava:
Allora:
1)Prendo i primi 2 termini
2)faccio la radice del primo $x^2->x$ e la metà del coefficiente del 2°termine $2x$ il coefficiente è $2$, la metà $1$ e viene $(x+1)^2$ e fino qui va bene, perchè è come fare $x^2+2(x*1)+1$ che coincide a $(x+a)^2$ ora il termine $b$ sarebbe $2$ che va sottratto e a me verrebbe
$(x+1)^2-2+5$ e verrebbe $arctan((x+1)/3)$ ma non coincide, vorrei trovare l'errore per poi formare una regola da seguire senza ragionamenti, perchè con questo ragionamento non viene....
Niente aspetto vostra risposta
Grazie
Cordiali saluti
Allora Ho preso il denom:
$(((x+2(2x/2))^2-2+5)$
C'è qualcosa che non va gia da qui, devo fare una regola che mi permetta di non sbagliare quando scompongo il denominatore, nel caso precedente funzionava:
Allora:
1)Prendo i primi 2 termini
2)faccio la radice del primo $x^2->x$ e la metà del coefficiente del 2°termine $2x$ il coefficiente è $2$, la metà $1$ e viene $(x+1)^2$ e fino qui va bene, perchè è come fare $x^2+2(x*1)+1$ che coincide a $(x+a)^2$ ora il termine $b$ sarebbe $2$ che va sottratto e a me verrebbe
$(x+1)^2-2+5$ e verrebbe $arctan((x+1)/3)$ ma non coincide, vorrei trovare l'errore per poi formare una regola da seguire senza ragionamenti, perchè con questo ragionamento non viene....
Niente aspetto vostra risposta
Grazie
Cordiali saluti
Se hai $x^2+bx+c$ allora puoi ottenere $(x+p)^2+q$ dove $p=b/2$ e $q=c-p^2$.
Infatti se svolgiamo $(x+p)^2+q$ otteniamo $x^2+2px+p^2+q=x^2+2b/2x+c-q+q=x^2+bx+c$
Se il coefficiente di $x^2$ è diverso da $1$ allora raccogliamo tale coefficiente e siccome parliamo di integrali lo portiamo fuori; in tal modo ci riconduciamo al caso precedente.
Cordialmente, Alex
Infatti se svolgiamo $(x+p)^2+q$ otteniamo $x^2+2px+p^2+q=x^2+2b/2x+c-q+q=x^2+bx+c$
Se il coefficiente di $x^2$ è diverso da $1$ allora raccogliamo tale coefficiente e siccome parliamo di integrali lo portiamo fuori; in tal modo ci riconduciamo al caso precedente.
Cordialmente, Alex
@ ramarro. Per sapere se i tuoi calcoli sono giusti o sbagliati, c'è un metodo semplicissimo: parti dal tuo risultato e fai i calcoli a ritroso. Ad esempio, hai ottenuto $(x+1)^2-2+5$ ed adesso proviamo a calcolarlo: otteniamo
$x^2+2x+1-2+5=x^2+2x+4$
e non è la nostra partenza: c'è qualcosa di sbagliato.
Come regola puoi adottare quella suggerita da axpgn oppure la seguente:
- se davanti ad $x^2$ c'è un coefficiente, mettilo in evidenza e portalo fuori dall'integrale; qui non c'era, quindi non lo facciamo;
- scriviamo o pensiamo il termine di primo grado come $2x*"qualcosa"$; qui lo pensiamo come $2x*1$;
- scriviamo $(x+"qualcosa")^2$ e calcoliamolo mentalmente; troveremo i primi due termini del trinomio ma non il terzo e lo compensiamo sottrendolo. Qui abbiamo $x^2+2x=(x+1)^2-1$ dove il $-1$ è stato messo per poterlo semplicare col $+1$ che verrebbe facendo il quadrato. Al tutto aggiungiamo poi il termine noto che c'era nel trinomio iniziale; nel nostro caso, $+5$.
Per inciso, se davvero tu avessi ottenuto $(x+1)^2+3$ il risultato non sarebbe stato quello che scrivi ma $1/sqrt3arctanfrac(x+1)sqrt3$.
Prova a verificarlo facendo l'opportuna sostituzione.
$x^2+2x+1-2+5=x^2+2x+4$
e non è la nostra partenza: c'è qualcosa di sbagliato.
Come regola puoi adottare quella suggerita da axpgn oppure la seguente:
- se davanti ad $x^2$ c'è un coefficiente, mettilo in evidenza e portalo fuori dall'integrale; qui non c'era, quindi non lo facciamo;
- scriviamo o pensiamo il termine di primo grado come $2x*"qualcosa"$; qui lo pensiamo come $2x*1$;
- scriviamo $(x+"qualcosa")^2$ e calcoliamolo mentalmente; troveremo i primi due termini del trinomio ma non il terzo e lo compensiamo sottrendolo. Qui abbiamo $x^2+2x=(x+1)^2-1$ dove il $-1$ è stato messo per poterlo semplicare col $+1$ che verrebbe facendo il quadrato. Al tutto aggiungiamo poi il termine noto che c'era nel trinomio iniziale; nel nostro caso, $+5$.
Per inciso, se davvero tu avessi ottenuto $(x+1)^2+3$ il risultato non sarebbe stato quello che scrivi ma $1/sqrt3arctanfrac(x+1)sqrt3$.
Prova a verificarlo facendo l'opportuna sostituzione.
Scusa, per ora sono al 2°, volevo chiederti, hai forse portato fuori il numero $9$ come $3^2$ dalla radice?
Scrivo i miei contI:
$int1/(3x^2-2x+4)$
$int1/(3(x^2-2/3x+4/3))=1/3int1/(((x-4/3(1/2))^2+(4/3-(2/(2*3)))$
$=1/3int1/((x-4/3)^2+(4/3-1/9))=1/3(1/sqrt(11/9))arctan((x-1/3)/sqrt(11/9))$
Scrivo i miei contI:
$int1/(3x^2-2x+4)$
$int1/(3(x^2-2/3x+4/3))=1/3int1/(((x-4/3(1/2))^2+(4/3-(2/(2*3)))$
$=1/3int1/((x-4/3)^2+(4/3-1/9))=1/3(1/sqrt(11/9))arctan((x-1/3)/sqrt(11/9))$
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