Caso particolare integrale
Scusate io mi trovo l integrale
$int 1/(2x^2x+1)$
$int 1/((2(1/2)^2+(x-(1/2)^2))$
per farl ha preso il denominatore e ha fatto $(2x^2-2x+1)=2(x^2-x+(1/2))$
poi ha continuato facendo $2(x^2-x+(1/4)-(1/4)+(1/2))$
da qui ha detto che il denomnatore diventa $2((x-(1/2))^2+(1/4))$
poi il risultato viene con un arcotangente perché si rifà a un integrale immediato che non so se bene qual è poi andrò a vedere, però io non ho capito la scomposizione.
Cioè ha detto che è un discriminante, un po come quando si fa la formula per risolvere le disequazioni di secondo grado, ma non ho capito comunque, perché ha detto che si guardano i primi due numeri che sono $x^2-x$ dopo aver raccolto il $2$ , e ha detto che la $x^2$ è il quadrato di $x$ e fino li ho capoito, poi ha detto che invece la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$ non ho capito che significa la frase:'la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$'vorrei sapere che ragionamento ha fatto, me lo potete spiegare per favore?
grazie
scusate il disturbo
Cordiali saluti
$int 1/(2x^2x+1)$
$int 1/((2(1/2)^2+(x-(1/2)^2))$
per farl ha preso il denominatore e ha fatto $(2x^2-2x+1)=2(x^2-x+(1/2))$
poi ha continuato facendo $2(x^2-x+(1/4)-(1/4)+(1/2))$
da qui ha detto che il denomnatore diventa $2((x-(1/2))^2+(1/4))$
poi il risultato viene con un arcotangente perché si rifà a un integrale immediato che non so se bene qual è poi andrò a vedere, però io non ho capito la scomposizione.
Cioè ha detto che è un discriminante, un po come quando si fa la formula per risolvere le disequazioni di secondo grado, ma non ho capito comunque, perché ha detto che si guardano i primi due numeri che sono $x^2-x$ dopo aver raccolto il $2$ , e ha detto che la $x^2$ è il quadrato di $x$ e fino li ho capoito, poi ha detto che invece la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$ non ho capito che significa la frase:'la $x$ deve contenere la $x$ stessa e $(1/2)$'vorrei sapere che ragionamento ha fatto, me lo potete spiegare per favore?
grazie
scusate il disturbo
Cordiali saluti
Risposte
anche il 3
$int 1/(3x^2+3x+1)$
$int1/(3(x^2+x+1/3))=1/3int1/(x^2+x+1/3)$
$1/3int1/((x+1/2)^2-(1/3-(1/2)^2))=1/3int1/((x+1/2)^2-(1/3-1/4))=1/3int1/((x+1/2)^2-(1/12))$
$1/3(1/sqrt(1/12))arctan((x+1/2)/sqrt(1/12))=1/3(1/sqrt(1/12))arctan((2x+1)/sqrt(1/12))$
non capisco se si tratta di una semplificazione piu approfondita o se invece cho sbagliato qualcosa...
Ah cmq volevo dire una cosa: non scambiate il fatto che io scriva frequentemente sul sito come un comportamento messo in atto per snervare le persone, cioè io sto scrivendo perchè sto studiando ma non voglio rompere le scatole a nessuno...questo lo dico perchè non si puo mai sapere, magari qualcuno puo pensare che ho voglia di fare casino.
Grazie ciao ciao
$int 1/(3x^2+3x+1)$
$int1/(3(x^2+x+1/3))=1/3int1/(x^2+x+1/3)$
$1/3int1/((x+1/2)^2-(1/3-(1/2)^2))=1/3int1/((x+1/2)^2-(1/3-1/4))=1/3int1/((x+1/2)^2-(1/12))$
$1/3(1/sqrt(1/12))arctan((x+1/2)/sqrt(1/12))=1/3(1/sqrt(1/12))arctan((2x+1)/sqrt(1/12))$
non capisco se si tratta di una semplificazione piu approfondita o se invece cho sbagliato qualcosa...
Ah cmq volevo dire una cosa: non scambiate il fatto che io scriva frequentemente sul sito come un comportamento messo in atto per snervare le persone, cioè io sto scrivendo perchè sto studiando ma non voglio rompere le scatole a nessuno...questo lo dico perchè non si puo mai sapere, magari qualcuno puo pensare che ho voglia di fare casino.
Grazie ciao ciao
Integrale 2
Sì, il $9$ va portato fuori dalla radice.
Non capisco però quali strani calcoli hai fatto a denominatore. Quelli giusti sono:
$3x^2-2x+4=3(x^2-2/3x+4/3)=3(x^2-2x*1/3+4/3)=3[(x-1/3)^2-1/9+4/3]=3[(x-1/3)^2+11/9]$
che vanno poi seguiti dalla sostituzione $x-1/3=sqrt(11/9)u=sqrt11/3u$.
Sì, il $9$ va portato fuori dalla radice.
Non capisco però quali strani calcoli hai fatto a denominatore. Quelli giusti sono:
$3x^2-2x+4=3(x^2-2/3x+4/3)=3(x^2-2x*1/3+4/3)=3[(x-1/3)^2-1/9+4/3]=3[(x-1/3)^2+11/9]$
che vanno poi seguiti dalla sostituzione $x-1/3=sqrt(11/9)u=sqrt11/3u$.
Integrale 3
A parte la mancanza dei $dx$ e del $+c$ finale, va abbastanza bene ma quando hai scritto
$(x+1/2)^2-(1/3-(1/2)^2)" "$ dovevi invece scrivere $" "(x+1/2)^2+(1/3-(1/2)^2)$
Se davvero ci fosse stato il meno, non avresti ottenuto l'arcotangente perché, alla fine della stessa riga, non avevi un quadrato più un numero positivo.
La formula semi-finale può essere scritta meglio notando che $sqrt12=sqrt(4*3)=2sqrt3$ e quindi diventava
$1/3*1/(1/(2sqrt3))arctanfrac(x+1/2)(1/(2sqrt3))=1/3*2sqrt3arctan[(x+1/2)*2sqrt3]=2/sqrt3arctansqrt3(2x+1)$
A parte la mancanza dei $dx$ e del $+c$ finale, va abbastanza bene ma quando hai scritto
$(x+1/2)^2-(1/3-(1/2)^2)" "$ dovevi invece scrivere $" "(x+1/2)^2+(1/3-(1/2)^2)$
Se davvero ci fosse stato il meno, non avresti ottenuto l'arcotangente perché, alla fine della stessa riga, non avevi un quadrato più un numero positivo.
La formula semi-finale può essere scritta meglio notando che $sqrt12=sqrt(4*3)=2sqrt3$ e quindi diventava
$1/3*1/(1/(2sqrt3))arctanfrac(x+1/2)(1/(2sqrt3))=1/3*2sqrt3arctan[(x+1/2)*2sqrt3]=2/sqrt3arctansqrt3(2x+1)$
allora ho rifatto il 2° in realta l'avevo copiato male sul sito,l'unica cosa che volevo dire è che nel caso in risultato fosse cmq giusto io lo lascierei dove sono arrivato perchè altrimenti mi incasinerei con il fatto di 'girare' le frazioni:
$int1/(3(x^2-2/3x+4/3))$
$1/3int1/(((x-2/3(1/2))^2+(4/3-(2/3)^2))$
$1/3int1/((x-1/3)^2+(4/3-4/9))$
$1/3int1/((x-1/3)^2+(11/9))$
$1/3int1/((x-1/3)^2+(11/9))$
$1/3(1/sqrt(11/9))arctan((x-1/3)/sqrt(11/9))$
cioè cosi è giusto? non so se il mio sia un modo diverso di scrivere il risultato(un po come lo scriverebbe uno scimpanzè poco evoluto) o se sia proprio sbagliato
$int1/(3(x^2-2/3x+4/3))$
$1/3int1/(((x-2/3(1/2))^2+(4/3-(2/3)^2))$
$1/3int1/((x-1/3)^2+(4/3-4/9))$
$1/3int1/((x-1/3)^2+(11/9))$
$1/3int1/((x-1/3)^2+(11/9))$
$1/3(1/sqrt(11/9))arctan((x-1/3)/sqrt(11/9))$
cioè cosi è giusto? non so se il mio sia un modo diverso di scrivere il risultato(un po come lo scriverebbe uno scimpanzè poco evoluto) o se sia proprio sbagliato
Ad occhio e croce mi sembra giusto ma se dovessi correggerlo in un compito in classe o di esame lo segnerei come non finito: i risultati vanno sempre scritti nel modo più semplificato possibile.
ok allora riparto dal risultato del 3° per vedere se con l algebra riesco a semplificarlo fino all'osso, poi mi dirai se ci sono o meno.
$1/3(1/(sqrt(1/12)))arctan((2x+1)/(sqrt(1/12))))$
$1/3(1/(sqrt(1/(2^2*3))))arctan((2x+1)/(sqrt(1/(2^2*3)))$
$(1/3)/2(1/sqrt(1/3))arctan((2x+1)/(1/2(sqrt(1/3)))$
$1(2/3)1/((sqrt1)/(sqrt3))arctan((2x+1):(1/2sqrt(1/3))$
$2/3*sqrt3/sqrt1arctan((2x+1)(2sqrt3))$
$2/((sqrt3)(sqrt1))arcatan(4xsqrt3+2sqrt3)$
$1/3(1/(sqrt(1/12)))arctan((2x+1)/(sqrt(1/12))))$
$1/3(1/(sqrt(1/(2^2*3))))arctan((2x+1)/(sqrt(1/(2^2*3)))$
$(1/3)/2(1/sqrt(1/3))arctan((2x+1)/(1/2(sqrt(1/3)))$
$1(2/3)1/((sqrt1)/(sqrt3))arctan((2x+1):(1/2sqrt(1/3))$
$2/3*sqrt3/sqrt1arctan((2x+1)(2sqrt3))$
$2/((sqrt3)(sqrt1))arcatan(4xsqrt3+2sqrt3)$
Abbastanza bene, con le seguenti imprecisioni:
- Nella prima riga, sei partito da una formula sbagliata: dentro all'arcotangente, il numeratore non era $2x+1$ ma $x+1/2$. Sei partito dalla formula finale dell'altro tuo post, ma quella giusta era la precedente.
- All'nizio della terza riga, la prima frazione doveva avere a denominatore $1/2$ e non $2$. Penso che sia dovuto alla trascrizione, perché poi continui come se quell'errore non ci fosse stato.
- Quando si può calcolare facilmente una radice, lo si deve fare: non scrivere $sqrt1$ ma solo $1$
- Nella prima riga, sei partito da una formula sbagliata: dentro all'arcotangente, il numeratore non era $2x+1$ ma $x+1/2$. Sei partito dalla formula finale dell'altro tuo post, ma quella giusta era la precedente.
- All'nizio della terza riga, la prima frazione doveva avere a denominatore $1/2$ e non $2$. Penso che sia dovuto alla trascrizione, perché poi continui come se quell'errore non ci fosse stato.
- Quando si può calcolare facilmente una radice, lo si deve fare: non scrivere $sqrt1$ ma solo $1$
ah grazie per le correzioni, per quanto concerne la corresione numero 2, si avevo sbagliato a trascrivere ma il denominatore mentalmente l'avevo contato come $1/2$, per quanto concerne la correzione 3 credevo che andasse bene lasciare sotto radice $1$ perchè veniva dalla 'spaccatura' della radice grande, però evidentemente era un'idea del cavolo. Cmq va bene, riprendo prossimamante su questo trhead per la tipologia di integrali in cui si fa il discriminante e poi l'operazione con le lettere $A$ e $B$. Tu mi raccomando fai pure con calma a correggermi le cose, ripeto che non sono qui per rompere le scatole alla gente lo dico perchè magari qualcuno lo puo pensare.
Cordiali saluti
Cordiali saluti
Non preoccuparti: questo forum è nato proprio per dare una mano agli studenti in difficoltà. E non ritenermi troppo pedante: lo faccio per aiutarti a migliorare.
No non sei pedante, anzi, devo passare l esame quindi mi piace la pignoleria perchè lo voglio passare senza tante storie!
Cià cià...mi mancava l'esercizio in cui si scomponeva il denominatore:
Allora
$int (15x+2)/(x^2+3x-4)dx$
Quindi ora qua mi devo domandare:' come faccio a sapere se devo fare il completamento del quadrato o la scomposizione?'
Per rispondere a questo, provo a fare il doscriminante
Vedo che i risultati sono$-4$ e $5/2$
Quindi dato che ottengo 2 numeri invece che un risultato impossibile, so che sono nel caso in cui devo scomporre il denominatore con la regola delle $a$ e delle $b$.
Riscrivo l'integrando a parte senza il segno di integrale:
$a/(x+5/2)+b/(x-4)$
$(a+b)/((x+5/2)(x-4))$
$(a(x-4)+b(x+5/2))/((x+5/2)(x-4))$
prendo solo il numeratore e lo eguaglio con il numeratore dell'integrando:
$15x+2=a(x-4)+b(x+5/2)$
$15x+2=ax-4a+bx+5/2b$
$15x+2=x(a+b)-4a+5/2b$
${((a+b)=15),(-4a+5/2b)=2):}$
p.s:scusate ma non riesco a scrivere i sistemi
$b=15-a$
$-4a+5/2(15-a)=2$
continuo a sviluppare i conti per cercare di trovare $a$...
$-4a+(75-5a)/2=2$
$(-12a+75)/2=2$
Tolgo il denominatore perchè tanto non ho un incognita sotto
$-12a+75=4$
insomma dovrebbe venire
$b=109/12$
$a=71/12$
Ovviamente ho fogli e fogli di esercizi presi dal sito ufficiale della scuola senza neanche una soluzione ....va be...
$inta/(x+71/12)+b/(x+109/12)$
spacco l integrale
e viene:
$alog|x+71/12|+blog|x+109/12|$
Va bene?
Cià cià...mi mancava l'esercizio in cui si scomponeva il denominatore:
Allora
$int (15x+2)/(x^2+3x-4)dx$
Quindi ora qua mi devo domandare:' come faccio a sapere se devo fare il completamento del quadrato o la scomposizione?'
Per rispondere a questo, provo a fare il doscriminante
Vedo che i risultati sono$-4$ e $5/2$
Quindi dato che ottengo 2 numeri invece che un risultato impossibile, so che sono nel caso in cui devo scomporre il denominatore con la regola delle $a$ e delle $b$.
Riscrivo l'integrando a parte senza il segno di integrale:
$a/(x+5/2)+b/(x-4)$
$(a+b)/((x+5/2)(x-4))$
$(a(x-4)+b(x+5/2))/((x+5/2)(x-4))$
prendo solo il numeratore e lo eguaglio con il numeratore dell'integrando:
$15x+2=a(x-4)+b(x+5/2)$
$15x+2=ax-4a+bx+5/2b$
$15x+2=x(a+b)-4a+5/2b$
${((a+b)=15),(-4a+5/2b)=2):}$
p.s:scusate ma non riesco a scrivere i sistemi
$b=15-a$
$-4a+5/2(15-a)=2$
continuo a sviluppare i conti per cercare di trovare $a$...
$-4a+(75-5a)/2=2$
$(-12a+75)/2=2$
Tolgo il denominatore perchè tanto non ho un incognita sotto
$-12a+75=4$
insomma dovrebbe venire
$b=109/12$
$a=71/12$
Ovviamente ho fogli e fogli di esercizi presi dal sito ufficiale della scuola senza neanche una soluzione ....va be...
$inta/(x+71/12)+b/(x+109/12)$
spacco l integrale
e viene:
$alog|x+71/12|+blog|x+109/12|$
Va bene?
Il procedimento è corretto, ma gli zeri del denominatore non mi sembrano giusti.
$-4 $ e $ 5/2 $ non sono soluzioni di $ x^2+3x-3=0 $
Il completamento del quadrato devi farlo solo se il discriminante è negativo.
$-4 $ e $ 5/2 $ non sono soluzioni di $ x^2+3x-3=0 $
Il completamento del quadrato devi farlo solo se il discriminante è negativo.
no ma infatti ho copiato male, il denominatore era $x^2+3x-4$
Come ti ha scritto igiul, gli zeri del denominatore non sono quelli ma $-4$ e $1$; i calcoli risultano decisamente meno faticosi. Ammettendo però che gli zeri fossero davvero $-4$ e $5/2$, la formula per la scomposizione del trinomio è
$ax^2-bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
e nel tuo caso diventa $"denominatore"=1(x+4)(x-5/2)$: i segni sono diversi dai tuoi. Naturalmente non si scrive l'uno iniziale, che ho messo solo per indicarti il ragionamento.
Inoltre dopo aver trovato $a,b$ devi sostituirli al loro posto: se avevi
$a/(x+5/2)+b/(x-4)$
ed hai trovato $a=71/12$; $b=109/12$ ottieni
$(71/12)/(x+5/2)+(109/12)/(x-4)$
Un piccolo trucco per controllare i calcoli: parti dal risultato ottenuto, dai denominatore comune e completa come se fosse un'espressione: se tutto è giusto, torni al punto di partenza.
$ax^2-bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
e nel tuo caso diventa $"denominatore"=1(x+4)(x-5/2)$: i segni sono diversi dai tuoi. Naturalmente non si scrive l'uno iniziale, che ho messo solo per indicarti il ragionamento.
Inoltre dopo aver trovato $a,b$ devi sostituirli al loro posto: se avevi
$a/(x+5/2)+b/(x-4)$
ed hai trovato $a=71/12$; $b=109/12$ ottieni
$(71/12)/(x+5/2)+(109/12)/(x-4)$
Un piccolo trucco per controllare i calcoli: parti dal risultato ottenuto, dai denominatore comune e completa come se fosse un'espressione: se tutto è giusto, torni al punto di partenza.
Giusto Giammaria. Ho guardato il procedimento e non ho guardato la scomposizione, pensando che l'avesse effettuata correttamente. Errore che non dovrò più commettere.
Ciao
Ciao
Scusate, io non demordo, ho rifatto l'esercizio ma non capisco come fare a ricontrollare i risultati, cioè se io facessi il denominatore comune con i risultati che ottengo qui di seguito avrei cmq un logaritmo al numeratore:
$int (15x+2)/(x^2+3x-4)$
$x1,x2=(4;-1)$
$a/(x-4)+b/(x+1)$
$ax+a+bx-4b$
$D:(x-4)(x+1)$
$(x(a+b)+a-4b)/((x-4)(x+1))$
$a+b=15$
$(a-4b)=2$
$b=15-a;a=4b+2$
$15-a=4b+2$
$a=13-4b$
ora sostituisco $a$
$13-4b=4b+2$
$a=131/8$
$b=-11/8$
$int 131/(8/(x-4))+(-11)/(8(x+1))$
$131/8log|x-4|-11log|8x+8|$
ditemi pure gli errori, di questa tipologia mi manca ancora quelli della 'sottotipologia' $(x^2+x)/p$ ,$p$ sta per pollinomio di 2 grado, poi mi manca la sottotipologia $(x^2+1)/p$ , $(x^2+x+1)/p$, e quelli aventi al posto di $p$ sempre un polinomio di 2 grado ma con qualche termine mancante tipo il termine con la x o con la c. Vorrei appunto provare poi a farli su qui.
Grazie
Cordiali saluti
$int (15x+2)/(x^2+3x-4)$
$x1,x2=(4;-1)$
$a/(x-4)+b/(x+1)$
$ax+a+bx-4b$
$D:(x-4)(x+1)$
$(x(a+b)+a-4b)/((x-4)(x+1))$
$a+b=15$
$(a-4b)=2$
$b=15-a;a=4b+2$
$15-a=4b+2$
$a=13-4b$
ora sostituisco $a$
$13-4b=4b+2$
$a=131/8$
$b=-11/8$
$int 131/(8/(x-4))+(-11)/(8(x+1))$
$131/8log|x-4|-11log|8x+8|$
ditemi pure gli errori, di questa tipologia mi manca ancora quelli della 'sottotipologia' $(x^2+x)/p$ ,$p$ sta per pollinomio di 2 grado, poi mi manca la sottotipologia $(x^2+1)/p$ , $(x^2+x+1)/p$, e quelli aventi al posto di $p$ sempre un polinomio di 2 grado ma con qualche termine mancante tipo il termine con la x o con la c. Vorrei appunto provare poi a farli su qui.
Grazie
Cordiali saluti
1) Spero che il denominatore fosse $x^2-3x-4=0$: allora l'inizio sarebbe giusto. Se invece c'è $+3x$, hai sbagliato i segni di $x_(1,2)$.
2) I sistemi non si risolvono come hai fatto tu. Sono possibili più metodi, ma accontentiamoci di quello di sostituzione. Da una equazione (non da entrambe) si ricava un'incognita e la si sostituisce nell'altra equazione; poi si risolve quest'altra equazione e si sostituisce nella prima il valore trovato. Il tuo sistema era
${(a+b=15),(a-4b=2):}$
La cosa più comoda è ricavare $a$ dalla prima equazione e sostituirla nella seconda: ottieni
${(a=15-b),(15-b-4b=2):}$
Con un passaggio o due dalla seconda ricavi $b=13/5$; il sistema diventa
${(a=15-13/5->a=62/5),(b=13/5):}$
3) Nel penultimo passaggio mi pare che l'idea fosse giusta ma la scrittura è sbagliata; usando i tuoi numeri quella giusta sarebbe stata
$int((131/8)/(x-4)+(-11/8)/(x+1))dx$
ed avresti ottenuto come integrale
$131/8log|x-4|-11/8log|x+1|+c$
4) Non dimenticare il $+c$ finale ed i vari $dx$: sono obbligatori.
Per le ultime domande, quelle che citi non sono nuove tipologie.
- se il numeraratore è di secondo grado o più, inizi facendo la divisione fra numeratore e denominatore e poi applichi la formula
$N/D=Q+R/D$
(N= numeratore; D= denominatore; Q= quoziente; R= resto)
- se a denominatore manca il termine noto, metti in evidenza $x$ e sei nel tipo in cui il denominatore è scomponibile, anzi già scomposto. Se manca il termine con la x: con segni diversi scomponi in fattori come differenza di quadrati, mentre con segni uguali ti viene l'arcotangente.
2) I sistemi non si risolvono come hai fatto tu. Sono possibili più metodi, ma accontentiamoci di quello di sostituzione. Da una equazione (non da entrambe) si ricava un'incognita e la si sostituisce nell'altra equazione; poi si risolve quest'altra equazione e si sostituisce nella prima il valore trovato. Il tuo sistema era
${(a+b=15),(a-4b=2):}$
La cosa più comoda è ricavare $a$ dalla prima equazione e sostituirla nella seconda: ottieni
${(a=15-b),(15-b-4b=2):}$
Con un passaggio o due dalla seconda ricavi $b=13/5$; il sistema diventa
${(a=15-13/5->a=62/5),(b=13/5):}$
3) Nel penultimo passaggio mi pare che l'idea fosse giusta ma la scrittura è sbagliata; usando i tuoi numeri quella giusta sarebbe stata
$int((131/8)/(x-4)+(-11/8)/(x+1))dx$
ed avresti ottenuto come integrale
$131/8log|x-4|-11/8log|x+1|+c$
4) Non dimenticare il $+c$ finale ed i vari $dx$: sono obbligatori.
Per le ultime domande, quelle che citi non sono nuove tipologie.
- se il numeraratore è di secondo grado o più, inizi facendo la divisione fra numeratore e denominatore e poi applichi la formula
$N/D=Q+R/D$
(N= numeratore; D= denominatore; Q= quoziente; R= resto)
- se a denominatore manca il termine noto, metti in evidenza $x$ e sei nel tipo in cui il denominatore è scomponibile, anzi già scomposto. Se manca il termine con la x: con segni diversi scomponi in fattori come differenza di quadrati, mentre con segni uguali ti viene l'arcotangente.
Scusami il metodo per ricavare la $b$ da me usato era sbagliato perchè avrei dovuto ricavare la b da tutte e 2 le equazioni, non è vero?Mentre io l'ho ricavata solo da una, è cosi?
Cmq poi ne faccio un'altra della stessa tipologia.
Per quanto concerne invece una delle tue risposte:'- se il numeraratore è di secondo grado o più, inizi facendo la divisione fra numeratore e denominatore e poi applichi la formula
$N/D=Q+R/D$'
di questa non ho capito come faccio a fare la divisione fra numeratore e denominatore, io non ho mai trovato un esercizio su questa tipologia, nè svolto e nemmeno da fare, ho cercato su internet integrali di tipo $(ax^2+bx+c)/(ax^2+bx+c)$ e non mi esce niente. Piu che altro non capisco quello che hai scritto, cioè che cosa vuol dire fare la divisione fra numeratore e denominatore? Sembra che il metodo sia diverso a sto punto, perchè non ci si ricavano le radici al $D$ come negli altri.
Potresti spiegarmi per favore?(se puoi ovviamente)
Grazie
Cordiali saluti
Cmq poi ne faccio un'altra della stessa tipologia.
Per quanto concerne invece una delle tue risposte:'- se il numeraratore è di secondo grado o più, inizi facendo la divisione fra numeratore e denominatore e poi applichi la formula
$N/D=Q+R/D$'
di questa non ho capito come faccio a fare la divisione fra numeratore e denominatore, io non ho mai trovato un esercizio su questa tipologia, nè svolto e nemmeno da fare, ho cercato su internet integrali di tipo $(ax^2+bx+c)/(ax^2+bx+c)$ e non mi esce niente. Piu che altro non capisco quello che hai scritto, cioè che cosa vuol dire fare la divisione fra numeratore e denominatore? Sembra che il metodo sia diverso a sto punto, perchè non ci si ricavano le radici al $D$ come negli altri.
Potresti spiegarmi per favore?(se puoi ovviamente)
Grazie
Cordiali saluti
Hai mai sentito parlare della divisione tra due polinomi?
Numeratore e denominatore sono due polinomi.
A questo link trovi un esempio
http://matematicamente.it/esercizi-svol ... 2-x-23x2-1
Numeratore e denominatore sono due polinomi.
A questo link trovi un esempio
http://matematicamente.it/esercizi-svol ... 2-x-23x2-1
Quando devi calcolare un integrale di una funzione razionale fratta (cioè un polinomio diviso un altro polinomio) un metodo SEMPRE utilizzabile è quello della scomposizione in frazioni parziali o fratti semplici che dir si voglia ...
Ciò non significa che per le razionali fratte devi usare sempre questo metodo, ma che in mancanza di meglio questo si può sempre usare.
Però perché ciò sia possibile il grado del polinomio al numeratore deve essere inferiore al grado del polinomio al denominatore; se così non fosse basta effettuare la divisione tra polinomi (come giustamente detto da giammaria); la regola di Ruffini per esempio è un caso particolare di divisione tra polinomi.
Prova a dividere questa $(x^3+x)/(x-1)$ e a scomporre questa $(x^4-2x^2+4x+1)/(x^3-x^2-x+1)$
Cordialmente, Alex
Ciò non significa che per le razionali fratte devi usare sempre questo metodo, ma che in mancanza di meglio questo si può sempre usare.
Però perché ciò sia possibile il grado del polinomio al numeratore deve essere inferiore al grado del polinomio al denominatore; se così non fosse basta effettuare la divisione tra polinomi (come giustamente detto da giammaria); la regola di Ruffini per esempio è un caso particolare di divisione tra polinomi.
Prova a dividere questa $(x^3+x)/(x-1)$ e a scomporre questa $(x^4-2x^2+4x+1)/(x^3-x^2-x+1)$
Cordialmente, Alex
"ramarro":
Scusami il metodo per ricavare la $b$ da me usato era sbagliato perchè avrei dovuto ricavare la b da tutte e 2 le equazioni, non è vero?Mentre io l'ho ricavata solo da una, è cosi?
Tu hai contemporaneamente ricavato $b$ dalla prima ed $a$ dalla seconda, poi hai eguagliato fra loro i due secondi membri: in primo luogo non c'è motivo perché siano uguali fra loro e se anche ci fosse ottieni solo un'altra equazione con entrambe le incognite.
Avresti dovuto ricavare solo una delle incognite (in questo caso è meglio la $a$, ma nulla vieta di scegliere $b$) da una sola delle equazioni e poi sostituirla nell'altra equazione. Solo dopo aver fatto questo, da quest'altra equazione (che ora contiene un'incognita sola) ricaverai l'altra incognita.
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